G219. Les pieds de la table
Une table rectangulaire a quatre pieds verticaux qui sont fixés aux sommets du rectangle et ont une même longueur de 100 centimètres. Chaque pied peut être raccourci d’une longueur L qui est un nombre entier de centimètres compris entre 1 et 100. De combien de manières peut-on opérer pour que la table reste stable (c’est à dire que les quatre pieds touchent le sol sans que nécessairement le dessus de la table reste horizontal)?
Solution proposée par Claudio Baiocchi
Il est bien connu que, à partir des coordonnées de quatre points dans l’espace, on peut construire une matrice dont le déterminant donne le volume du tétraèdre ayant les quatre points comme sommets ; en particulier les quatre points sont dans un même plan si et seulement si ce déterminant s’annule. Lorsqu’on fixe comme table un rectangle ABCD de côtés X et Y on s’aperçoit que, indépendamment de X et Y, le déterminant s’annule si et seulement si la somme (longueur du pied A) + (longueur du pied C) coïncide avec la somme (longueur du pied B) + (longueur du pied D). Cette propriété est d’ailleurs très naturelle : elle exprime tout simplement que les diagonales tracées par les extrémités des pieds se rencontrent dans leur point milieu!
Remarque En particulier le résultat reste valable si la table est un parallélogramme; et devient faux si (par exemple) la table a la forme d’un cerf-volant.
Dans la discussion suivante on va se borner à compter les classes de configurations ; deux configurations étant considérées égales si l’une s’obtient de l’autre par rotation et/ou symétrie. En particulier on notera la, lb, lc et ld la longueur des pieds A, B, C et D respectivement; ces noms étant choisis de façon que A est le pied le plus court et, parmi les pieds voisins, B est plus court que C. Deux remarques s’occuperont de l’évaluation (bien plus simple!) du nombre des configurations, sans aucune identification.
Solution par ordinateur
Trois boucles vont suffire; par exemple, la fonction div correspondant à la division entière:
Faire N=0
Pour la qui va de 0 à 100
o Pour lc qui va de la à 100
Pour lb qui va de la à (la + lc) div 2
Choisir ld = la + lc - lb
Afficher le quadruplet (la, lb, lc, ld)
Faire N=N+1
Next lb o Next lc
Next la
Afficher N
Par ailleurs, si l’on n’est pas intéressé à afficher les quadruplets, la boucle la plus interne peut être remplacée tout simplement par la commande
Faire N=N+1 + (la-lc) div 2
La quantité 1 + (la-lc) div 2 = (la+lc) div 2 – la + 1 correspondant au nombre des possibles valeurs de lb.
Le programme, d’exécution immédiate dans n’importe quel langage de programmation, donne pour N la valeur 89726; naturellement la longueur initiale 100 pour les pieds de la table peut être remplacée par n’importe quelle valeur positive M.
Remarque Si on veut compter les configurations, et non pas les classes d’équivalences, il suffit de modifier tout simplement les limites des cycles:
Faire N=0
Pour la qui va de 0 à 100
o Pour lc qui va de 0 à 100
Pour lb qui va de 0 à 100
Choisir ld = la + lc – lb
Si ld est compris entre 0 et 100
o Afficher le quadruplet (la, lb, lc, ld) o Faire N=N+1
Continuer
Next lb o Next lc
Next la
Afficher N
Encore ici la boucle sur lb peut être remplacée par une seule commande:
Faire N = N + 1 + Min(la + lc , 100) – Max(la + lc – 100 , 0)
et la longueur initiale 100 pour les pieds de la table peut être remplacée par n’importe quelle valeur positive M. Pour M=100 le résultat est 686901, valeur comprise entre 7 et 8 fois le nombre de classes.
Solution à la main
On va noter N(L) le nombre de (classes de) configurations correspondantes à une longueur initiale L des pieds de la table; on obtiendra une formule pour N(L) qui dépend de la parité de L:
N(2h-1) = h*(4h+5)*(h+1)/6
N(2h) = (h+2)*(4h+3)*(h+1)/6
En particulier, pour ce qui concerne N(100), on retrouve la valeur 89726.
Soit N0(L) le nombre des configurations dans lesquelles un des pieds a longueur nulle. On remarquera que la différence N(L) - N0(L) correspond au nombre des configurations ayant chaque pied de longueur au moins 1; pour compter ces configurations il suffit d’imaginer de couper un centimètre à chaque pied, se retrouvant ainsi avec toutes et seules les configurations correspondantes à L-1 comme longueur initiale! On a donc la formule récursive:
N(L) = N0(L) + N(L-1)
qui, quitte à savoir évaluer les quantités N0(L), va nous donner le résultat cherché.
Par ailleurs, si N0[L] est le nombre de configurations telles que le pied opposé à celui de longueur nulle a exactement L comme longueur, on a évidemment
N0(L) = N0[0] + N0[1] + … + N0[L]
L’évaluation des quantités N0[j] , pour petites valeurs de l’indice j se fait aisément à la main et suggère une formule générale qui demande une séparation de cas; suivant que L est pair ou impair on a:
N0(2k-1) = 1 + 1 + 2 + 2 + … + k + k = k*(k+1)
N0(2k) = 1 + 1 + 2 + 2 + … + k + k + (k+1)=(k+1)2
La séparation de cas reste nécessaire aussi lorsque, en appliquant la formule récursive, on établit la valeur de N(L); prenant la somme de N0(k), pour k de 0 à 2h-1 (ou 2h) on trouve:
N(2h-1) = 1+1*2+22+2*3+32+…+h*(h+1)
N(2h) = 1+1*2+22+2*3+32+…+(h+1)2
Prenant le double, et remplaçant chaque triplet du type j2+2j*(j+1)+(j+1)2 par (2j+1)2 on a:
2 N(2h-1) =1+32+52+…+(2h+1)2-(h+1)2
2 N(2h) =1+32+52+…+(2h+1)2+(h+1)2
d’où les formules voulues, grâce au fait que la somme des carrés des nombres impairs de 1 à 2h+1 vaut (2h+1)*(2h+3)*(h+1)/3.
Remarque Ici aussi on peut se demander comment modifier le traitement si l’on voulait évaluer le nombre des configurations, au lieu que le nombre des classes. Les valeurs la, lb, lc et ld sont maintenant à choisir librement entre 0 et 100, avec la seule restriction sur les sommes en diagonale: la + lc = lb + ld.
Le problème étant plus simple, on peut envisager beaucoup de méthodes pour le traiter; ici on va travailler avec une longueur maximale M et seulement à la fin on choisira M = 100. Les sommes en diagonale vont donc varier de 0 à 2M; et pour chaque S de cet intervalle on va noter Num(S) le nombre de décompositions S = la + lc. On remarquera que ce nombre coïncide avec le nombre de choix possibles pour la longueur la; et coïncide aussi avec le nombre de décompositions S = lb + ld. On en conclut que chaque S donne lieu à Num(S)2 possibles quadruplets; et il ne nous reste qu’à évaluer Num(S).
Pour toute valeur de S entre 0 et M-1, tout choix de la entre 0 et S est permis: à la fois la et lc := S – la restent dans l’intervalle admis (0,M). Pour S compris entre 0 et M-1 on a donc Num(S) = S+1. La formule resterait valable aussi pour le cas limite S=M, cas qu’on préfère rattacher au cas ci-après.
Au contraire, lorsque S varie entre M et 2M, on doit choisir la entre la valeur S-M (qui est entre 0 et M et donne pour lc la valeur M) et la valeur M (qui laisse lc positive). Pour S entre M et 2M on a donc Num(S) = 2M-S+1.
La somme des carrés des Num(S) se partage en deux:
la somme de (S+1)2 pour S de 0 à M-1; somme qui coïncide avec la somme des j2 pour j de 1 à M et donc vaut M(M+1)(2M+1)/6;
la somme de (2M-S+1)2 pour S de M à 2M; somme qui coïncide avec la somme des j2 pour j de 1 à M+1 et donc vaut (M+1)(M+2)(2M+3)/6
Le total vaut
(M+1)[(2M2+M)+(2M2+7M+6)]/6 = (M+1)(4M2+8M+6)/6 = (M+1)(2M2+4M+3)/3 et pour M=100 on retrouve la valeur 686901.
