D613-Quatre points dans le plan et un carré.
Solution
On suppose que la configuration des quatre points A,B,C et D est telle que les segments AB et CD ne sont ni parallèles ni perpendiculaires entre eux. Si c’est le cas, on choisit alors le couple (AC,BD) ou à défaut le couple (AD,BC). Si les quatre points forment un système orthocentrique tel que tout segment délimité par deux des quatre points est perpendiculaire au deuxième segment délimité par les deux derniers points ( i.e. les trois sommets d’un triangle et le point d’intersection des trois hauteurs), la construction des quatre droites n’est pas possible. La démonstration ci-après en donnera la raison.
Soient u et v les angles formés par les vecteurs AB et CD avec l’axe X’X et θ l’angle des vecteursAB et CD entre eux. On a θ(AB,CD)uv et l’on peut choisir l’orientation des vecteurs ABet CD de telle sorte que0θ90.On mène par A la parallèle p à CD et du 1 point B on mène la perpendiculaire p à la droite 2 p qu’elle coupe au point H. Le cercle de 1 centre B et de rayon CD coupe p en E. On trace la droite AE puis de B la parallèle à cette 2 droite et enfin de C et de D les perpendiculaires à cette même droite pour avoir les quatre droites recherchées et leurs points d’intersection délimitent le carré PQRS.
En effet, on a RS = CD.cos(w) avec angle w(AE,AH)et PS = AB.sin(θ+w) = AB.(sin(θ)cos(w)+cos(θ)sin(w)) = AB.cos(w).(sin(θ)+cos(θ).tg(w)).
Or tg(w)=HE/AH = (BE-BH)/AH = (CD-AB.sin(θ))/AB.cos(θ) qui est mesuré positivement ou négativement selon la valeur de CD – AB.sin(θ).
Dès lors PS = AB.cos(w).(sin(θ)+ (CD-AB.sin(θ))/AB) = CD.cos(w) = RS.
On vérifie bien que si les droites AB et CD sont orthogonales entre elles, la droite p est 2 confondue avec AB, le point H est confondu avec le A et la droite AE est confondue avec la droite AB. Le carré PQRS est dégénéré en un point qui est à l’intersection de AB et de CD.