Les pieds de la table Une table rectangulaire a quatre pieds verticaux qui sont fixés aux sommets du rectangle et ont une même longueur de 100 centimètres

G219. Les pieds de la table

Une table rectangulaire a quatre pieds verticaux qui sont fixés aux sommets du rectangle et ont une même longueur de 100 centimètres. Chaque pied peut être raccourci d’une longueur L qui est un nombre entier de centimètres compris entre 1 et 100. De combien de manières peut on opérer pour que la table reste stable (c’est à dire que les quatre pieds touchent le sol sans que nécessairement le dessus de la table reste horizontal)?

Solution proposée par Christian Pont

En retournant la table, et en fixant un repère de l'espace sur un pied de table, le plan principal étant celui du plateau, on obtient la figure suivante, dans laquelle les extrémités des pieds de table sont reperés par M1, M2, M3 et M4 et a et b désignent la largeur et longueur de la table.

Les coordonnées de chacun de ces points dans le repère choisi sont les suivantes :

X Y Z

M1 0 0 z1

M2 a 0 z2

M3 0 b z3

M4 a b z4

Une fois les pieds coupés à des hauteurs variables (de z1 à z4), dire que la table est stable et que ceux-ci touchent le sol, c'est dire que les 4 points sont coplanaires, ce qui se traduit par le fait que les vecteurs M₁M₂,M₁M₃,M₁M₄sont colinéaires.

Donc Det (M₁M₂,M₁M₃,M₁M₄) = 0, soit

a 0 a

0= 0 b b

z2-z1 z3-z1 z4-z1 Soit

0= a* b b

+(z2-z1)* 0 a

z3-z1 z4-z1 b b

z

x y

a b

M1 M2

M3 M4

Soit 0=a*b*[(z4-z1)-(z3-z1)]+(z2-z1)*(-a*b) Soit z4-z3=z2-z1

et finalement z1+z4=z2+z3.

Chacun des z varie de 0 à 100 cm.

La somme S correspondant à la valeur nécessaire de coplanéité varie donc entre 0 et 200. Compte tenu de la contrainte que les z soient compris entre 0 et 100, à chaque valeur de S correspond un nombre variable de couples possibles (z1, z4) ou (z2, z3).

Plus précisément, il y a S+1 couples possibles, de (0, S) , (1,S-1), … jusqu'à (S, 0).

Tant que S<=100, tous ces S+1 couples sont possibles.

Dès que S>100, il faut enlever des S+1 couples, ceux de (0, S) à (S-101, 101) pour lesquels le deuxième terme est supérieur à 100 et qui sont au nombre de S-100 ; ainsi que les (S-100) couples symétriques [de (101, S-101) à (S, 0)] de premier terme supérieur à 100 ; ce qui fait qu'il ne reste que S+1-2*(S-100)=201-S couples possibles. Et comme S varie de 101 à 200, cette valeur parcourt 100 à 1.

On est conduit au tableau suivant :

Valeurs de S 0 1 ... 99 100 101 ... 200

Nombre de couples

(z1, z4) ou (z2, z3) 1 2 ... 100 101 100 ... 1

Nombre de couples

(z1, z4) ET (z2, z3) 1² 2² ... 100² 101² 100² ... 1²

A un couple (z1, z4) de somme S, on peut associer tous les couples (z2, z3) conduisant à la même somme S. Donc, pour une valeur de S, le nombre de positions possibles du choix de deux couples est donné par le carré du nombre de couples possibles.

Le nombre de positions possibles A est donné la somme de ces carrés, soit A=S2(101) + S2(100), en appelant S2(n) la somme des n premiers carrés, avec S2(n)=[n*(n+1)*(2n+1)]/6.

D'où

A = (100*101*201)/6+(101*102*203)/6 =686 901 que l’on ramène à 686 900 en excluant le cas où la table est laissée en l’état sans que l’on raccourcisse l’un quelconque de ses pieds..