G219 : Les pieds de la table
Une table rectangulaire a quatre pieds verticaux qui sont fixés aux sommets du rectangle et ont une même longueur de 100 centimètres. Chaque pied peut être raccourci d’une longueur L qui est un nombre entier de centimètres compris entre 1 et 100. De combien de manières peut on opérer pour que la table reste stable (c’est à dire que les quatre pieds touchent le sol sans que nécessairement le dessus de la table reste horizontal)?
La table sera stable si les extrémités des pieds sont coplanaires, donc si les milieux des segments formés par les extrémités diagonalement opposées coïncident. La condition est nécessaire, car les milieux appartiennent à l’axe central du rectangle, et suffisante car un quadrilatère ayant un centre de symétrie est plan.
Si p, q, r, s sont les longueurs des pieds (comprises entre 0 et 100), on doit donc avoir p+r=q+s, et si l’on désigne par n cette valeur commune, n peut varier de 0 à 200. Pour n≤100, chaque couple (p,r) et (q,s) peut prendre n+1 valeurs, soit (n+1)2 manières ; pour 100≤n≤200, il y en aura (201-n)2. Soit en tout 2(12 +...+1002 )+1012
=100*101*201/3+1012 =101*(100*67+101), ou 686901 manières d’obtenir une table stable (dont l’état initial) soit 686900 façons de raccourcir les pieds.
