G192 - Isocèles en terres polynomiales

Zig a tracé un polygone régulier de k côtés et dit à Puce:"Quand je choisis au hasard¹ trois

sommets de ce polygone, la probabilité d'obtenir un triangle isocèle est égale à 1/3. Peux-tu me dire quel est ce polygone?"

Puce: "Je ne sais pas répondre car il y a plusieurs solutions possibles".

Zig:"Sache que si je construis un polygone régulier qui a 7 côtés de plus, la probabilité d'obtenir un triangle isocèle avec ce nouveau polygone est égale à 1/5"

Puce:"Maintenant, je sais répondre"

Zig:"Peux-tu me dire alors la probabilité d'obtenir un triangle isocèle avec un polygone régulier qui aurait 10 côtés de plus que ce deuxième polygone?"

Aidez Puce à répondre à cette dernière question.

On peut tracer k(k-1)(k-2)/6 triangles distincts avec les sommets d’un polygone régulier.

Il y a [(k-1)/2] triangles isocèles de sommet donné, soit en tout k[(k-1)/2] sauf si k est divisible par 3, auquel cas les triangles équilatéraux sont comptés trois fois : il n’y a alors que k([(k-1)/2]-2/3).

La probabilité d’obtenir un triangle isocèle est donc égale à 1/3 pour k=10 et 11 et à 1/5 pour k=16 et 17. Le couple répondant à la question est donc (10, 17).

Enfin pour k=27, la probabilité est de 11,38 %.

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