Chapitre 13
Homoth´ eties dans le plan
13.1 G´ en´ eralit´ es
13.1.1 D´ efinition, exemple
D´efinition 1 SoitΩun point du plan et kun r´eel non nul.
On appelle homoth´etie de centreΩet de rapportkl’application hdu plan dans le plan qui, `a tout pointM du plan associe le point M0 tel que−−→
ΩM =k−−→
ΩM0. Exemples :
F F'
F
F'
Une homoth´etie de centre Ω et de rapport 2. Une homoth´etie de centre Ω et de rapport− 1 3.
Th´eor`eme 1 Soithune homoth´etie de rapport k6= 0 et de centreΩ. SiM0 est l’image deM par l’homoth´etiehalors les M0,M et Ωsont align´es.
Justification et remarque :d’apr`es la d´efinition, les vecteurs−−→
ΩM et−−→
ΩM0 sont colin´eaires, les points M0,M et Ω sont align´es. Ce th´eor`eme permet de ”localiser” le centre de l’homoth´etie connaissant deux points distincts et leurs images.
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Cas particuliers :
• k= 1 : pour tout pointM du plan,−−→
ΩM0 =−−→
ΩM d’o`u les pointsM0 et M sont confondus.
Une homoth´etie de rapport 1est l’application identit´e.
• k=−1 : pour tout pointM du plan,−−→
ΩM0=−−−→
ΩM d’o`u Ω est le milieu de [M0M].
Une homoth´etie de rapport −1est la sym´etrie centrale de centre Ω.
Point(s) invariant(s) :
Soit h une homoth´etie de rapport k 6= 0 et de centre Ω. Si A est un point invariant par h, alors h(A) = A, d’o`u
−→ΩA=k−→
ΩAsoit (1−k)−→
ΩA=−→
0 donc sik6= 1 alorsAet Ω sont confondus.
Une homoth´etie diff´erente de l’identit´e admet un unique point invariant : son centre Remarque : une homoth´etie qui admet deux points distincts invariants est l’identit´e.
13.1.2 Propri´ et´ e fondamentale
Th´eor`eme 2 L’image d’un bipoint(M, N)par une homoth´etie de rapportkest un bipoint(M0, N0)tel que−−−→
M0N0=k−−→
M N.
Cons´equences :Une homoth´etie :
• transforme une droite en une droite ;
• multiplie les distances par|k|;
• transforme un triangle en un triangle semblable.
Propri´et´e 1 de conservation. Une homoth´etie hde rapport k6= 0 conserve
• l’alignement ;
• les angles ;
• le barycentre (en particulier le milieu).
Propri´et´e 2 images de figures usuelles. Une homoth´etiehde rapport k6= 0 transforme
• une droite en une droite parall`ele ;
• un segment [M N]en un segment[M0N0] parall`ele tel queM0N0=|k|M N;
• un cercleC de centreO et de rayon Rest un cercle de centreO0=h(O)et de rayon |k| ×R;
• un triangle en un triangle de mˆeme nature.
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