UPMC 3M270 Algèbre 2018-2019
Devoir no2
Exercice 1. On noteGle groupe additifZ/54Z×Z/35Z×Z/105Z×Z/126Z. 1) Déterminer les facteurs invariants deG.
2) Déterminer le nombre d’éléments d’ordre5 deG.
Exercice 2. Déterminer, à isomorphisme près, tous les groupes abéliens d’ordre4851.
Exercice 3. Soient Gun groupe et X un ensemble.
1) Rappeler la définition d’une action deGsurX, ainsi que l’équation aux classes.
2) Montrer que se donner une action deGsurX revient à se donner un morphisme de groupes
G −→ S(X) ,
oùS(X)est le groupe des bijections deX, la loi étant donnée par la composition des applications.
2) SoitH un sous-groupe deG. Montrer que l’on définit une action deGsur l’ensemble quotientG/Hen posant
g0·(gH) = (g0g)H . Quels sont les orbites et les stabilisateurs de cette action ?
Exercice 4. SoitGun groupe fini d’ordre21 agissant sur un ensemble fini de cardinal19. On suppose que l’action n’ait pas de point fixe, c’est-à-dire qu’aucune orbite ne soit de cardinal1. Calculer le nombre d’orbites et le cardinal de chacune d’entre elles.
Exercice 5. Soient Gun groupe fini d’ordren et H un sous-groupe d’indicepde G, où pest le plus petit facteur premier den. Le but est de montrer que H est distingué dansG.
1) On noteX l’ensembleG/Hprivé de la classe de l’élément neutre de G, c’est-à-dire
X = (G/H)\ {H} . Montrer que le morphisme de groupes
G −→ S(G/H)
donné par l’action deGsurG/H définie dans la question2de l’exercice 3induit un morphisme de groupes
ψ : H −→ S(X) .
2) Relier le cardinal deX au nombre premierp. En déduire l’ordre du groupeS(X), et montrer que les facteurs premiers de cet ordre sont tous strictement plus petits que p.
3) Montrer que le morphisme de groupesψest trivial,i.e.que tout élément deH est envoyé sur l’élément neutre deS(X). Indication : on pourra commencer par montrer que pour tout élémenthdeH, l’ordre deψ(h)divise celui deh, puis utiliser la question précédente.
4) Conclure.
