D´ eriv´ ee d’un quotient de fonctions
Note : Ce r´esum´e est ´ecrit par T. Zwissig. Il est ce qu’attend cet enseignant lors de l’oral de maturit´e.
Ce r´esum´e n’est pas une r´ef´erence pour les autres enseignants, leurs attentes sont sans doute diff´erentes.
Th´eor`eme Quotient de fonctions d´erivables
Soitf etg deux fonctions d´efinies sur un intervalleI.
Si f etg sont d´erivables surI et sig n’est jamais nulle surI Alors 1°) la fonction f
g est d´erivable sur I, 2°)
f
g 0
(x) = f0(x)g(x)−g0(x)f(x)
g2(x) pour toutx∈I.
D´emonstration : On remarque que f
g =f·1 g.
Commeg n’est pas nulle surI et comme elle est d´erivable alors la fonction 1
g est d´erivable et la formule de la d´eriv´ee de l’inverse s’applique:
1
g 0
(x) =−g0(x) g2(x).
D’autre part comme le produit de fonctions d´erivables est d´erivable et quef est d´erivable il suit que la fonction f
g est d´erivable sur I.
De plus
f
g 0
(x) =
f·1
g 0
(x)
(1)= f0(x)1
g(x) +f(x)
1
g 0
(x)
(2)= f0(x) 1
g(x)−f(x) g0(x)
g2(x)
(3)= f0(x)g(x)−f(x)g0(x)
g2(x) pour toutx∈I.
L’´egalit´e (1) est l’application de la formule donnant la d´eriv´ee d’un produit de fonctions d´erivables.
L’´egalit´e (2) d´ecoule de la formule de l’inverse rappel´ee ci-dessus et de la d´efinition de l’inverse d’une fonction :
1
g
(x) = 1 g(x).
L’´egalit´e (3) d´ecoule d’une manipulation alg´ebrique ´el´ementaire.
