09juin2006 EtudeduCompteRendudel’AcadémiedesSciencesdeParis:”Chainingpartiallyorderedsets”deTatYungKongetPauloRibenboimDelMondoGéraldine Etudedespointsfixesdelapuissancedel’applicationdeKong-Ribenboim

(1)

C.R.A.S :

”Chaining partially ordered sets”

Notions introductives Principe Enonc é du´ th éor ème R ésultats pr éliminaires Le th éor ème Lemme Nombre d’antichaˆınes maximales pour l’inclusion Programmation Perspectives

Etude des points fixes de la puissance de l’application de Kong - Ribenboim

Etude du Compte Rendu de l’Acad ´emie des Sciences de Paris : ”Chaining partially ordered sets” de Tat Yung

Kong et Paulo Ribenboim

Del Mondo G ´eraldine

Laboratoire d’Informatique de Nantes Atlantique

09 juin 2006

(2)

C.R.A.S :

Plan

Notions introductives Principe g én éral Enonc é du th éor ème ´ R ésultats pr éliminaires Le th éor ème

Lemme

Probl ´ematique annexe : nombre d’antichaˆıne maximal pour l’inclusion d’un ordre fini ou infini

Programmation

Perspectives

(3)

C.R.A.S :

Plan

Notions introductives Principe g én éral Enonc é du th éor ème ´ R ésultats pr éliminaires Le th éor ème

Lemme

Probl ´ematique annexe : nombre d’antichaˆıne maximal pour l’inclusion d’un ordre fini ou infini

Programmation

Perspectives

(4)

C.R.A.S :

Plan

Notions introductives Principe g én éral Enonc é du th éor ème ´ R ésultats pr éliminaires Le th éor ème

Lemme

Probl ´ematique annexe : nombre d’antichaˆıne maximal pour l’inclusion d’un ordre fini ou infini

Programmation

Perspectives

(5)

C.R.A.S :

Plan

Notions introductives Principe g én éral Enonc é du th éor ème ´ R ésultats pr éliminaires Le th éor ème

Lemme

Probl ´ematique annexe : nombre d’antichaˆıne maximal pour l’inclusion d’un ordre fini ou infini

Programmation

Perspectives

(6)

C.R.A.S :

Plan

Notions introductives Principe g én éral Enonc é du th éor ème ´ R ésultats pr éliminaires Le th éor ème

Lemme

Probl ´ematique annexe : nombre d’antichaˆıne maximal pour l’inclusion d’un ordre fini ou infini

Programmation

Perspectives

(7)

C.R.A.S :

Plan

Notions introductives Principe g én éral Enonc é du th éor ème ´ R ésultats pr éliminaires Le th éor ème

Lemme

Probl ´ematique annexe : nombre d’antichaˆıne maximal pour l’inclusion d’un ordre fini ou infini

Programmation

Perspectives

(8)

C.R.A.S :

Plan

Notions introductives Principe g én éral Enonc é du th éor ème ´ R ésultats pr éliminaires Le th éor ème

Lemme

Probl ´ematique annexe : nombre d’antichaˆıne maximal pour l’inclusion d’un ordre fini ou infini

Programmation

Perspectives

(9)

C.R.A.S :

Plan

Notions introductives Principe g én éral Enonc é du th éor ème ´ R ésultats pr éliminaires Le th éor ème

Lemme

Probl ´ematique annexe : nombre d’antichaˆıne maximal pour l’inclusion d’un ordre fini ou infini

Programmation

Perspectives

(10)

C.R.A.S :

Plan

Notions introductives Principe g én éral Enonc é du th éor ème ´ R ésultats pr éliminaires Le th éor ème

Lemme

Probl ´ematique annexe : nombre d’antichaˆıne maximal pour l’inclusion d’un ordre fini ou infini

Programmation

Perspectives

(11)

C.R.A.S :

Plan

Notions introductives Principe g én éral Enonc é du th éor ème ´ R ésultats pr éliminaires Le th éor ème

Lemme

Probl ´ematique annexe : nombre d’antichaˆıne maximal pour l’inclusion d’un ordre fini ou infini

Programmation

Perspectives

(12)

C.R.A.S :

Ordre strict P

P est un couple (V (P), <

_P

) avec V(P) un ensemble d’ ´el ´ements et <

_P

une relation d’ordre sur ces ´el ´ements.

Relation d’ordre

Une relation d’ordre stricte <

_P

est une relation binaire transitive et antir ´eflexive de base V (P).

i Un ordre large P est un couple (V (P), 6

P

) tel que (V (P), <

_P

) soit un ordre strict et 6

P

= <

_P

∪ {(x, x) : x ∈ V(P)}.

Comparabilit é entre él éments

Soit l’ordre P = (V (P), <

_P

), x, y ∈ V (P) sont dits comparables dans P si x <

_P

y ou y <

_P

x , (not ´e x ∼

_P

y ) ils sont dits incomparables (not ´e x k

_P

y ) sinon.

Chaˆıne C, Antichaˆıne A

Une chaˆıne dans un ordre P est un sous-ensemble de V (P) d’ él éments deux à deux comparables dans P. Le sous-ordre induit par les él éments d’une chaˆıne est un ordre total.

Une antichaˆıne dans un ordre P est un sous-ensemble de V (P)

d’ él éments deux à deux incomparables dans P.

(13)

C.R.A.S :

Ordre strict P

P est un couple (V (P), <

_P

) avec V(P) un ensemble d’ ´el ´ements et <

_P

une relation d’ordre sur ces ´el ´ements.

Relation d’ordre

Une relation d’ordre stricte <

_P

est une relation binaire transitive et antir ´eflexive de base V (P).

i Un ordre large P est un couple (V (P), 6

P

) tel que (V (P), <

_P

) soit un ordre strict et 6

P

= <

_P

∪ {(x, x) : x ∈ V(P)}.

Comparabilit é entre él éments

Soit l’ordre P = (V (P), <

_P

), x, y ∈ V (P) sont dits comparables dans P si x <

_P

y ou y <

_P

x , (not ´e x ∼

_P

y ) ils sont dits incomparables (not ´e x k

_P

y ) sinon.

Chaˆıne C, Antichaˆıne A

Une chaˆıne dans un ordre P est un sous-ensemble de V (P) d’ él éments deux à deux comparables dans P. Le sous-ordre induit par les él éments d’une chaˆıne est un ordre total.

Une antichaˆıne dans un ordre P est un sous-ensemble de V (P)

d’ él éments deux à deux incomparables dans P.

(14)

C.R.A.S :

Ordre strict P

P est un couple (V (P), <

_P

) avec V(P) un ensemble d’ ´el ´ements et <

_P

une relation d’ordre sur ces ´el ´ements.

Relation d’ordre

Une relation d’ordre stricte <

_P

est une relation binaire transitive et antir ´eflexive de base V (P).

i Un ordre large P est un couple (V (P), 6

P

) tel que (V (P), <

_P

) soit un ordre strict et 6

P

= <

_P

∪ {(x, x) : x ∈ V(P)}.

Comparabilit é entre él éments

Soit l’ordre P = (V (P), <

_P

), x, y ∈ V (P) sont dits comparables dans P si x <

_P

y ou y <

_P

x , (not ´e x ∼

_P

y ) ils sont dits incomparables (not ´e x k

_P

y ) sinon.

Chaˆıne C, Antichaˆıne A

Une chaˆıne dans un ordre P est un sous-ensemble de V (P) d’ él éments deux à deux comparables dans P. Le sous-ordre induit par les él éments d’une chaˆıne est un ordre total.

Une antichaˆıne dans un ordre P est un sous-ensemble de V (P)

d’ él éments deux à deux incomparables dans P.

(15)

C.R.A.S :

Ordre strict P

P est un couple (V (P), <

_P

) avec V(P) un ensemble d’ ´el ´ements et <

_P

une relation d’ordre sur ces ´el ´ements.

Relation d’ordre

Une relation d’ordre stricte <

_P

est une relation binaire transitive et antir ´eflexive de base V (P).

i Un ordre large P est un couple (V (P), 6

P

) tel que (V (P), <

_P

) soit un ordre strict et 6

P

= <

_P

∪ {(x, x) : x ∈ V(P)}.

Comparabilit é entre él éments

Soit l’ordre P = (V (P), <

_P

), x, y ∈ V (P) sont dits comparables dans P si x <

_P

y ou y <

_P

x , (not ´e x ∼

_P

y ) ils sont dits incomparables (not ´e x k

_P

y ) sinon.

Chaˆıne C, Antichaˆıne A

Une chaˆıne dans un ordre P est un sous-ensemble de V (P) d’ él éments deux à deux comparables dans P. Le sous-ordre induit par les él éments d’une chaˆıne est un ordre total.

Une antichaˆıne dans un ordre P est un sous-ensemble de V (P)

d’ él éments deux à deux incomparables dans P.

(16)

C.R.A.S :

Ordre strict P

P est un couple (V (P), <

_P

) avec V(P) un ensemble d’ ´el ´ements et <

_P

une relation d’ordre sur ces ´el ´ements.

Relation d’ordre

Une relation d’ordre stricte <

_P

est une relation binaire transitive et antir ´eflexive de base V (P).

i Un ordre large P est un couple (V (P), 6

P

) tel que (V (P), <

_P

) soit un ordre strict et 6

P

= <

_P

∪ {(x, x) : x ∈ V(P)}.

Comparabilit é entre él éments

Soit l’ordre P = (V (P), <

_P

), x, y ∈ V (P) sont dits comparables dans P si x <

_P

y ou y <

_P

x , (not ´e x ∼

_P

y ) ils sont dits incomparables (not ´e x k

_P

y ) sinon.

Chaˆıne C, Antichaˆıne A

Une chaˆıne dans un ordre P est un sous-ensemble de V (P) d’ él éments deux à deux comparables dans P. Le sous-ordre induit par les él éments d’une chaˆıne est un ordre total.

Une antichaˆıne dans un ordre P est un sous-ensemble de V (P)

d’ él éments deux à deux incomparables dans P.

(17)

C.R.A.S :

Ordre strict P

P est un couple (V (P), <

_P

) avec V(P) un ensemble d’ ´el ´ements et <

_P

une relation d’ordre sur ces ´el ´ements.

Relation d’ordre

Une relation d’ordre stricte <

_P

est une relation binaire transitive et antir ´eflexive de base V (P).

i Un ordre large P est un couple (V (P), 6

P

) tel que (V (P), <

_P

) soit un ordre strict et 6

P

= <

_P

∪ {(x, x) : x ∈ V(P)}.

Comparabilit é entre él éments

Soit l’ordre P = (V (P), <

_P

), x, y ∈ V (P) sont dits comparables dans P si x <

_P

y ou y <

_P

x , (not ´e x ∼

_P

y ) ils sont dits incomparables (not ´e x k

_P

y ) sinon.

Chaˆıne C, Antichaˆıne A

Une chaˆıne dans un ordre P est un sous-ensemble de V (P) d’ él éments deux à deux comparables dans P. Le sous-ordre induit par les él éments d’une chaˆıne est un ordre total.

Une antichaˆıne dans un ordre P est un sous-ensemble de V (P)

d’ él éments deux à deux incomparables dans P.

(18)

C.R.A.S :

Rang d P (x), Hauteur d (P )

Le rang de x , d

P

(x), dans l’ordre P est la taille maximale d’une chaˆıne de P se terminant par x .

i On note P(k) = {x : x ∈ V (P) : d

P

(x) = k}

La hauteur d(P) est le nombre d’ ´el ´ements d’une plus longue chaˆıne de P.

Exemple

d(P) = 5

d

P

(0) = d

P

(1) = 1 d

P

(x) = 3

Une chaˆıne de P : {0, 2, x, 5, 7}

Une chaˆıne de P : {2, x, 4}

Une antichaˆıne de P : {0, 1}

Une antichaˆıne de P : {x}

0 1

2 3

x

4 5

6 7

(19)

C.R.A.S :

Rang d P (x), Hauteur d (P )

Le rang de x , d

P

(x), dans l’ordre P est la taille maximale d’une chaˆıne de P se terminant par x .

i On note P(k) = {x : x ∈ V (P) : d

P

(x) = k}

La hauteur d(P) est le nombre d’ ´el ´ements d’une plus longue chaˆıne de P.

Exemple

d(P) = 5

d

P

(0) = d

P

(1) = 1 d

P

(x) = 3

Une chaˆıne de P : {0, 2, x, 5, 7}

Une chaˆıne de P : {2, x, 4}

Une antichaˆıne de P : {0, 1}

Une antichaˆıne de P : {x}

0 1

2 3

x

4 5

6 7

(20)

C.R.A.S :

Rang d P (x), Hauteur d (P )

Le rang de x , d

P

(x), dans l’ordre P est la taille maximale d’une chaˆıne de P se terminant par x .

i On note P(k) = {x : x ∈ V (P) : d

P

(x) = k}

La hauteur d(P) est le nombre d’ ´el ´ements d’une plus longue chaˆıne de P.

Exemple

d(P) = 5

d

P

(0) = d

P

(1) = 1 d

P

(x) = 3

Une chaˆıne de P : {0, 2, x, 5, 7}

Une chaˆıne de P : {2, x, 4}

Une antichaˆıne de P : {0, 1}

Une antichaˆıne de P : {x}

0 1

2 3

x

4 5

6 7

(21)

C.R.A.S :

Rang d P (x), Hauteur d (P )

Le rang de x , d

P

(x), dans l’ordre P est la taille maximale d’une chaˆıne de P se terminant par x .

i On note P(k) = {x : x ∈ V (P) : d

P

(x) = k}

La hauteur d(P) est le nombre d’ ´el ´ements d’une plus longue chaˆıne de P.

Exemple

d(P) = 5

d

P

(0) = d

P

(1) = 1 d

P

(x) = 3

Une chaˆıne de P : {0, 2, x, 5, 7}

Une chaˆıne de P : {2, x, 4}

Une antichaˆıne de P : {0, 1}

Une antichaˆıne de P : {x}

0 1

2 3

x

4 5

6 7

(22)

C.R.A.S :

Rang d P (x), Hauteur d (P )

Le rang de x , d

P

(x), dans l’ordre P est la taille maximale d’une chaˆıne de P se terminant par x .

i On note P(k) = {x : x ∈ V (P) : d

P

(x) = k}

La hauteur d(P) est le nombre d’ ´el ´ements d’une plus longue chaˆıne de P.

Exemple

d(P) = 5

d

P

(0) = d

P

(1) = 1 d

P

(x) = 3

Une chaˆıne de P : {0, 2, x, 5, 7}

Une chaˆıne de P : {2, x, 4}

Une antichaˆıne de P : {0, 1}

Une antichaˆıne de P : {x}

0 1

2 3

x

4 5

6 7

(23)

C.R.A.S :

Rang d P (x), Hauteur d (P )

Le rang de x , d

P

(x), dans l’ordre P est la taille maximale d’une chaˆıne de P se terminant par x .

i On note P(k) = {x : x ∈ V (P) : d

P

(x) = k}

La hauteur d(P) est le nombre d’ ´el ´ements d’une plus longue chaˆıne de P.

Exemple

d(P) = 5

d

P

(0) = d

P

(1) = 1 d

P

(x) = 3

Une chaˆıne de P : {0, 2, x, 5, 7}

Une chaˆıne de P : {2, x, 4}

Une antichaˆıne de P : {0, 1}

Une antichaˆıne de P : {x}

0 1

2 3

x

4 5

6 7

(24)

C.R.A.S :

Rang d P (x), Hauteur d (P )

Le rang de x , d

P

(x), dans l’ordre P est la taille maximale d’une chaˆıne de P se terminant par x .

i On note P(k) = {x : x ∈ V (P) : d

P

(x) = k}

La hauteur d(P) est le nombre d’ ´el ´ements d’une plus longue chaˆıne de P.

Exemple

d(P) = 5

d

P

(0) = d

P

(1) = 1 d

P

(x) = 3

Une chaˆıne de P : {0, 2, x, 5, 7}

Une chaˆıne de P : {2, x, 4}

Une antichaˆıne de P : {0, 1}

Une antichaˆıne de P : {x}

0 1

2 3

x

4 5

6 7

(25)

C.R.A.S :

Rang d P (x), Hauteur d (P )

Le rang de x , d

P

(x), dans l’ordre P est la taille maximale d’une chaˆıne de P se terminant par x .

i On note P(k) = {x : x ∈ V (P) : d

P

(x) = k}

La hauteur d(P) est le nombre d’ ´el ´ements d’une plus longue chaˆıne de P.

Exemple

d(P) = 5

d

P

(0) = d

P

(1) = 1 d

P

(x) = 3

Une chaˆıne de P : {0, 2, x, 5, 7}

Une chaˆıne de P : {2, x, 4}

Une antichaˆıne de P : {0, 1}

Une antichaˆıne de P : {x}

0 1

2 3

x

4 5

6 7

(26)

C.R.A.S :

Rang d P (x), Hauteur d (P )

Le rang de x , d

P

(x), dans l’ordre P est la taille maximale d’une chaˆıne de P se terminant par x .

i On note P(k) = {x : x ∈ V (P) : d

P

(x) = k}

La hauteur d(P) est le nombre d’ ´el ´ements d’une plus longue chaˆıne de P.

Exemple

d(P) = 5

d

P

(0) = d

P

(1) = 1 d

P

(x) = 3

Une chaˆıne de P : {0, 2, x, 5, 7}

Une chaˆıne de P : {2, x, 4}

Une antichaˆıne de P : {0, 1}

Une antichaˆıne de P : {x}

0 1

2 3

x

4 5

6 7

(27)

C.R.A.S :

Rang d P (x), Hauteur d (P )

Le rang de x , d

P

(x), dans l’ordre P est la taille maximale d’une chaˆıne de P se terminant par x .

i On note P(k) = {x : x ∈ V (P) : d

P

(x) = k}

La hauteur d(P) est le nombre d’ ´el ´ements d’une plus longue chaˆıne de P.

Exemple

d(P) = 5

d

P

(0) = d

P

(1) = 1 d

P

(x) = 3

Une chaˆıne de P : {0, 2, x, 5, 7}

Une chaˆıne de P : {2, x, 4}

Une antichaˆıne de P : {0, 1}

Une antichaˆıne de P : {x}

0 1

2 3

x

4 5

6 7

(28)

C.R.A.S :

Rang d P (x), Hauteur d (P )

Le rang de x , d

P

(x), dans l’ordre P est la taille maximale d’une chaˆıne de P se terminant par x .

i On note P(k) = {x : x ∈ V (P) : d

P

(x) = k}

La hauteur d(P) est le nombre d’ ´el ´ements d’une plus longue chaˆıne de P.

Exemple

d(P) = 5

d

P

(0) = d

P

(1) = 1 d

P

(x) = 3

Une chaˆıne de P : {0, 2, x, 5, 7}

Une chaˆıne de P : {2, x, 4}

Une antichaˆıne de P : {0, 1}

Une antichaˆıne de P : {x}

0 1

2 3

x

4 5

6 7

(29)

C.R.A.S :

Objectif

Calculer la borne sup érieure du nombre d’it érations n écessaires pour transformer un ordre quelconque en une chaˆıne.

Moyens

On se donne un ordre large P

i

et l’on d ´esigne par P

i+1

l’ordre large tel que :

P

0

= P.

∀ i > 1, P

i+1

= f (P

i

), avec f : O → O, (V (P

i

),

_Pi

) → (V (P

i+1

),

_Pi+1

).

V (P

i+1

) est l’ensemble des antichaˆınes maximales (pour l’inclusion) de P

i

.

Pi+1

est telle que pour A

1

, A

2

∈ V (P

i+1

), A

1

≺

Pi+1

A

2

⇔ ∀x ∈ A

1

∃y ∈ A

2

tel que x ≺

Pi

y .

Calcul de la borne

Tant que P

i

n’est pas une chaˆıne, on le remplace par P

i+1

, lorsque l’on

s’arr ête, i est le nombre d’it ération n écessaire que l’on recherche.

(30)

C.R.A.S :

Objectif

Calculer la borne sup érieure du nombre d’it érations n écessaires pour transformer un ordre quelconque en une chaˆıne.

Moyens

On se donne un ordre large P

i

et l’on d ´esigne par P

i+1

l’ordre large tel que :

P

0

= P.

∀ i > 1, P

i+1

= f (P

i

), avec f : O → O, (V (P

i

),

_Pi

) → (V (P

i+1

),

_Pi+1

).

V (P

i+1

) est l’ensemble des antichaˆınes maximales (pour l’inclusion) de P

i

.

Pi+1

est telle que pour A

1

, A

2

∈ V (P

i+1

), A

1

≺

Pi+1

A

2

⇔ ∀x ∈ A

1

∃y ∈ A

2

tel que x ≺

Pi

y .

Calcul de la borne

Tant que P

i

n’est pas une chaˆıne, on le remplace par P

i+1

, lorsque l’on

s’arr ête, i est le nombre d’it ération n écessaire que l’on recherche.

(31)

C.R.A.S :

Objectif

Calculer la borne sup érieure du nombre d’it érations n écessaires pour transformer un ordre quelconque en une chaˆıne.

Moyens

On se donne un ordre large P

i

et l’on d ´esigne par P

i+1

l’ordre large tel que :

P

0

= P.

∀ i > 1, P

i+1

= f (P

i

), avec f : O → O, (V (P

i

),

_Pi

) → (V (P

i+1

),

_Pi+1

).

V (P

i+1

) est l’ensemble des antichaˆınes maximales (pour l’inclusion) de P

i

.

Pi+1

est telle que pour A

1

, A

2

∈ V (P

i+1

), A

1

≺

Pi+1

A

2

⇔ ∀x ∈ A

1

∃y ∈ A

2

tel que x ≺

Pi

y .

Calcul de la borne

Tant que P

i

n’est pas une chaˆıne, on le remplace par P

i+1

, lorsque l’on

s’arr ête, i est le nombre d’it ération n écessaire que l’on recherche.

(32)

C.R.A.S :

Objectif

Calculer la borne sup érieure du nombre d’it érations n écessaires pour transformer un ordre quelconque en une chaˆıne.

Moyens

On se donne un ordre large P

i

et l’on d ´esigne par P

i+1

l’ordre large tel que :

P

0

= P.

∀ i > 1, P

i+1

= f (P

i

), avec f : O → O, (V (P

i

),

_Pi

) → (V (P

i+1

),

_Pi+1

).

V (P

i+1

) est l’ensemble des antichaˆınes maximales (pour l’inclusion) de P

i

.

Pi+1

est telle que pour A

1

, A

2

∈ V (P

i+1

), A

1

≺

Pi+1

A

2

⇔ ∀x ∈ A

1

∃y ∈ A

2

tel que x ≺

Pi

y .

Calcul de la borne

Tant que P

i

n’est pas une chaˆıne, on le remplace par P

i+1

, lorsque l’on

s’arr ête, i est le nombre d’it ération n écessaire que l’on recherche.

(33)

C.R.A.S :

Objectif

Calculer la borne sup érieure du nombre d’it érations n écessaires pour transformer un ordre quelconque en une chaˆıne.

Moyens

On se donne un ordre large P

i

et l’on d ´esigne par P

i+1

l’ordre large tel que :

P

0

= P.

∀ i > 1, P

i+1

= f (P

i

), avec f : O → O, (V (P

i

),

_Pi

) → (V (P

i+1

),

_Pi+1

).

V (P

i+1

) est l’ensemble des antichaˆınes maximales (pour l’inclusion) de P

i

.

Pi+1

est telle que pour A

1

, A

2

∈ V (P

i+1

), A

1

≺

Pi+1

A

2

⇔ ∀x ∈ A

1

∃y ∈ A

2

tel que x ≺

Pi

y .

Calcul de la borne

Tant que P

i

n’est pas une chaˆıne, on le remplace par P

i+1

, lorsque l’on

s’arr ête, i est le nombre d’it ération n écessaire que l’on recherche.

(34)

C.R.A.S :

Objectif

Calculer la borne sup érieure du nombre d’it érations n écessaires pour transformer un ordre quelconque en une chaˆıne.

Moyens

On se donne un ordre large P

i

et l’on d ´esigne par P

i+1

l’ordre large tel que :

P

0

= P.

∀ i > 1, P

i+1

= f (P

i

), avec f : O → O, (V (P

i

),

_Pi

) → (V (P

i+1

),

_Pi+1

).

V (P

i+1

) est l’ensemble des antichaˆınes maximales (pour l’inclusion) de P

i

.

Pi+1

est telle que pour A

1

, A

2

∈ V (P

i+1

), A

1

≺

Pi+1

A

2

⇔ ∀x ∈ A

1

∃y ∈ A

2

tel que x ≺

Pi

y .

Calcul de la borne

Tant que P

i

n’est pas une chaˆıne, on le remplace par P

i+1

, lorsque l’on

s’arr ête, i est le nombre d’it ération n écessaire que l’on recherche.

(35)

C.R.A.S :

Objectif

Calculer la borne sup érieure du nombre d’it érations n écessaires pour transformer un ordre quelconque en une chaˆıne.

Moyens

On se donne un ordre large P

i

et l’on d ´esigne par P

i+1

l’ordre large tel que :

P

0

= P.

∀ i > 1, P

i+1

= f (P

i

), avec f : O → O, (V (P

i

),

_Pi

) → (V (P

i+1

),

_Pi+1

).

V (P

i+1

) est l’ensemble des antichaˆınes maximales (pour l’inclusion) de P

i

.

Pi+1

est telle que pour A

1

, A

2

∈ V (P

i+1

), A

1

≺

Pi+1

A

2

⇔ ∀x ∈ A

1

∃y ∈ A

2

tel que x ≺

Pi

y .

Calcul de la borne

Tant que P

i

n’est pas une chaˆıne, on le remplace par P

i+1

, lorsque l’on

s’arr ête, i est le nombre d’it ération n écessaire que l’on recherche.

(36)

C.R.A.S :

Exemple

0 1

2 3

x

4 5

6 7

Les antichaˆınes maximales de P sont :

{0, 1}; {0, 3}; {2, 3}; {x}; {4, 5}; {6, 5}; {6, 7}.

(37)

C.R.A.S :

Exemple

{0, 1} {0, 3}

{2, 3}

{x}

{4, 5}

{6, 5} {6, 7}

Les antichaˆınes maximales de P

1

sont :

{{0, 1}, {0, 3}}; {{2, 3}, {0, 3}}; {{x}}; {{6, 5}, {4, 5}}; {{6, 5}, {6, 7}}.

(38)

C.R.A.S :

Exemple

{{0,1},{0,3}} {{2,3},{0,3}}

{{6,5},{4,5}} {{6,5},{6,7}}

Les antichaˆınes maximales de P

2

sont :

{{{0, 1}, {0, 3}}, {{2, 3}, {0, 3}}}; {{{x}}}; {{{6, 5}, {4, 5}}, {{6, 5}, {6, 7}}}.

(39)

C.R.A.S :

Exemple

{{{0, 1}, {0, 3}}, {{2, 3}, {0, 3}}}

{{{x}}}

{{{6, 5}, {4, 5}}, {{6, 5}, {6, 7}}}

Le nombre d’it ération est ici égal à 3.

(40)

C.R.A.S :

Th ´eor `eme

Soit P un ordre tel que d(P) < ∞, alors il existe m 6 2d(P) − 1 tel que

P

m

soit une chaˆıne.

(41)

C.R.A.S :

Proposition 1

Soit P un ordre large et soient A

1

, A

2

∈ P

1

, alors : A

1

≺

P1

A

2

⇔ ∀ y ∈ A

2

,

∃ x ∈ A

1

tel que x ≺

_P

y

A

1

A

2

Proposition 2

Si d

P

(x) = k < ∞ et x

1

≺

_P

· · · ≺

_P

x

k

= x alors d

P

(x

j

) = j, ∀ j ∈ [k].

Proposition 3

Si d(P) < ∞ alors ∀j 6 d(P) avec j ∈ N

⁺

, P(j) est une antichaˆıne non vide de P.

Proposition 4

Soit P un ordre, A ∈ P

1

, x ∈ A. Si d

P₁

(A) = k alors d

P

(x) > k .

Corollaire : Soit P un ordre, alors d(P) > d (P

1

)

(42)

C.R.A.S :

Proposition 1

Soit P un ordre large et soient A

1

, A

2

∈ P

1

, alors : A

1

≺

P1

A

2

⇔ ∀ y ∈ A

2

,

∃ x ∈ A

1

tel que x ≺

_P

y

A

1

A

2

u v

Proposition 2

Si d

P

(x) = k < ∞ et x

1

≺

_P

· · · ≺

_P

x

k

= x alors d

P

(x

j

) = j, ∀ j ∈ [k].

Proposition 3

Si d(P) < ∞ alors ∀j 6 d(P) avec j ∈ N

⁺

, P(j) est une antichaˆıne non vide de P.

Proposition 4

Soit P un ordre, A ∈ P

1

, x ∈ A. Si d

P₁

(A) = k alors d

P

(x) > k .

Corollaire : Soit P un ordre, alors d(P) > d (P

1

)

(43)

C.R.A.S :

Proposition 2

Si d

P

(x) = k < ∞ et x

1

≺

_P

· · · ≺

_P

x

k

= x alors d

P

(x

j

) = j, ∀ j ∈ [k].

Proposition 3

Si d(P) < ∞ alors ∀j 6 d(P) avec j ∈ N

⁺

, P(j) est une antichaˆıne non vide de P.

Proposition 4

Soit P un ordre, A ∈ P

1

, x ∈ A. Si d

P₁

(A) = k alors d

P

(x) > k .

Corollaire : Soit P un ordre, alors d(P) > d (P

1

)

(44)

C.R.A.S :

Proposition 2

Si d

P

(x) = k < ∞ et x

1

≺

_P

· · · ≺

_P

x

k

= x alors d

P

(x

j

) = j, ∀ j ∈ [k].

Proposition 3

Si d(P) < ∞ alors ∀j 6 d(P) avec j ∈ N

⁺

, P(j) est une antichaˆıne non vide de P.

Proposition 4

Soit P un ordre, A ∈ P

1

, x ∈ A. Si d

P₁

(A) = k alors d

P

(x) > k .

Corollaire : Soit P un ordre, alors d(P) > d (P

1

)

(45)

C.R.A.S :

Proposition 2

Si d

P

(x) = k < ∞ et x

1

≺

_P

· · · ≺

_P

x

k

= x alors d

P

(x

j

) = j, ∀ j ∈ [k].

Proposition 3

Si d(P) < ∞ alors ∀j 6 d(P) avec j ∈ N

⁺

, P(j) est une antichaˆıne non vide de P.

Proposition 4

Soit P un ordre, A ∈ P

1

, x ∈ A. Si d

P₁

(A) = k alors d

P

(x) > k .

Corollaire : Soit P un ordre, alors d(P) > d (P

1

)

(46)

C.R.A.S :

Proposition 2

Si d

P

(x) = k < ∞ et x

1

≺

_P

· · · ≺

_P

x

k

= x alors d

P

(x

j

) = j, ∀ j ∈ [k].

Proposition 3

Si d(P) < ∞ alors ∀j 6 d(P) avec j ∈ N

⁺

, P(j) est une antichaˆıne non vide de P.

Proposition 4

Soit P un ordre, A ∈ P

1

, x ∈ A. Si d

P₁

(A) = k alors d

P

(x) > k .

Corollaire : Soit P un ordre, alors d(P) > d (P

1

)

(47)

C.R.A.S :

Le th ´eor `eme

Soit P un ordre tel que d(P) < ∞, alors il existe m 6 2d(P) − 1 tel que P

m

soit une chaˆıne.

Propri ´et ´e 1

Soit P un ordre non vide tel que d(P

2

) = d (P

1

) = d (P), alors P

1

est une chaˆıne.

Preuve th ´eor `eme

Soit P un ordre et d(P) = k < ∞. Induction sur d(P).

(48)

C.R.A.S :

Le th ´eor `eme

Soit P un ordre tel que d(P) < ∞, alors il existe m 6 2d(P) − 1 tel que P

m

soit une chaˆıne.

Propri ´et ´e 1

Soit P un ordre non vide tel que d(P

2

) = d (P

1

) = d (P), alors P

1

est une chaˆıne.

Preuve th ´eor `eme

Soit P un ordre et d(P) = k < ∞. Induction sur d(P).

(49)

C.R.A.S :

Le th ´eor `eme

Soit P un ordre tel que d(P) < ∞, alors il existe m 6 2d(P) − 1 tel que P

m

soit une chaˆıne.

Propri ´et ´e 1

Soit P un ordre non vide tel que d(P

2

) = d (P

1

) = d (P), alors P

1

est une chaˆıne.

Preuve th ´eor `eme

Soit P un ordre et d(P) = k < ∞. Induction sur d(P).

(50)

C.R.A.S :

Le th ´eor `eme

Soit P un ordre tel que d(P) < ∞, alors il existe m 6 2d(P) − 1 tel que P

m

soit une chaˆıne.

Propri ´et ´e 1

Soit P un ordre non vide tel que d(P

2

) = d (P

1

) = d (P), alors P

1

est une chaˆıne.

Preuve th ´eor `eme

Soit P un ordre et d(P) = k < ∞. Induction sur d(P).

d (P) = 1

(51)

C.R.A.S :

Le th ´eor `eme

Soit P un ordre tel que d(P) < ∞, alors il existe m 6 2d(P) − 1 tel que P

m

soit une chaˆıne.

Propri ´et ´e 1

Soit P un ordre non vide tel que d(P

2

) = d (P

1

) = d (P), alors P

1

est une chaˆıne.

Preuve th ´eor `eme

Soit P un ordre et d(P) = k < ∞. Induction sur d(P).

On suppose la propri ´et ´e vraie pour P tel que d (P) 6 k − 1 et

k > 2. Soit d(P) = k < ∞

(52)

C.R.A.S :

Le th ´eor `eme

Soit P un ordre tel que d(P) < ∞, alors il existe m 6 2d(P) − 1 tel que P

m

soit une chaˆıne.

Propri ´et ´e 1

Soit P un ordre non vide tel que d(P

2

) = d (P

1

) = d (P), alors P

1

est une chaˆıne.

Preuve th ´eor `eme

Soit P un ordre et d(P) = k < ∞. Induction sur d(P).

On suppose la propri ´et ´e vraie pour P tel que d (P) 6 k − 1 et k > 2. Soit d(P) = k < ∞

Nous avons montr ´e que si d(P

2

) = d (P

1

) = d (P) alors P

1

est une

chaˆıne et donc la propri ét é est d émontr ée, m 6 2d(P) − 1.

(53)

C.R.A.S :

Le th ´eor `eme

Soit P un ordre tel que d(P) < ∞, alors il existe m 6 2d(P) − 1 tel que P

m

soit une chaˆıne.

Propri ´et ´e 1

Soit P un ordre non vide tel que d(P

2

) = d (P

1

) = d (P), alors P

1

est une chaˆıne.

Preuve th ´eor `eme

Soit P un ordre et d(P) = k < ∞. Induction sur d(P).

On suppose la propri ´et ´e vraie pour P tel que d (P) 6 k − 1 et k > 2. Soit d(P) = k < ∞

Sinon, le corollaire de la proposition 4 implique que

d (P

2

) 6 d (P

1

) 6 d(P) et donc d(P

2

) 6 d (P) − 1 = k − 1.

(54)

C.R.A.S :

Le th ´eor `eme

Soit P un ordre tel que d(P) < ∞, alors il existe m 6 2d(P) − 1 tel que P

m

soit une chaˆıne.

Propri ´et ´e 1

Soit P un ordre non vide tel que d(P

2

) = d (P

1

) = d (P), alors P

1

est une chaˆıne.

Preuve th ´eor `eme

Soit P un ordre et d(P) = k < ∞. Induction sur d(P).

On suppose la propri ´et ´e vraie pour P tel que d (P) 6 k − 1 et k > 2. Soit d(P) = k < ∞

Sinon, le corollaire de la proposition 4 implique que d (P

2

) 6 d (P

1

) 6 d(P) et donc d(P

2

) 6 d (P) − 1 = k − 1.

On peut appliquer l’hypoth `ese d’induction, ainsi il existe r tel que

P

2+r

soit une chaˆıne et :

(55)

C.R.A.S :

Le th ´eor `eme

Soit P un ordre tel que d(P) < ∞, alors il existe m 6 2d(P) − 1 tel que P

m

soit une chaˆıne.

Propri ´et ´e 1

Soit P un ordre non vide tel que d(P

2

) = d (P

1

) = d (P), alors P

1

est une chaˆıne.

Preuve th ´eor `eme

Soit P un ordre et d(P) = k < ∞. Induction sur d(P).

On suppose la propri ´et ´e vraie pour P tel que d (P) 6 k − 1 et k > 2. Soit d(P) = k < ∞

On peut appliquer l’hypoth `ese d’induction, ainsi il existe r tel que P

2+r

soit une chaˆıne et :

r 6 2d(P) − 1, or d (P

2

) 6 d (P) − 1,

(56)

C.R.A.S :

Le th ´eor `eme

Soit P un ordre tel que d(P) < ∞, alors il existe m 6 2d(P) − 1 tel que P

m

soit une chaˆıne.

Propri ´et ´e 1

Soit P un ordre non vide tel que d(P

2

) = d (P

1

) = d (P), alors P

1

est une chaˆıne.

Preuve th ´eor `eme

Soit P un ordre et d(P) = k < ∞. Induction sur d(P).

On suppose la propri ´et ´e vraie pour P tel que d (P) 6 k − 1 et k > 2. Soit d(P) = k < ∞

On peut appliquer l’hypoth `ese d’induction, ainsi il existe r tel que P

2+r

soit une chaˆıne et :

r 6 2d(P) − 1,

r 6 2(d(P) − 1) − 1

(57)

C.R.A.S :

Le th ´eor `eme

Soit P un ordre tel que d(P) < ∞, alors il existe m 6 2d(P) − 1 tel que P

m

soit une chaˆıne.

Propri ´et ´e 1

Soit P un ordre non vide tel que d(P

2

) = d (P

1

) = d (P), alors P

1

est une chaˆıne.

Preuve th ´eor `eme

Soit P un ordre et d(P) = k < ∞. Induction sur d(P).

On suppose la propri ´et ´e vraie pour P tel que d (P) 6 k − 1 et k > 2. Soit d(P) = k < ∞

On peut appliquer l’hypoth `ese d’induction, ainsi il existe r tel que P

2+r

soit une chaˆıne et :

r 6 2d(P) − 1,

r 6 2(d(P) − 1) − 1

r 6 2d(P) − 2 − 1

(58)

C.R.A.S :

Le th ´eor `eme

Soit P un ordre tel que d(P) < ∞, alors il existe m 6 2d(P) − 1 tel que P

m

soit une chaˆıne.

Propri ´et ´e 1

Soit P un ordre non vide tel que d(P

2

) = d (P

1

) = d (P), alors P

1

est une chaˆıne.

Preuve th ´eor `eme

Soit P un ordre et d(P) = k < ∞. Induction sur d(P).

On suppose la propri ´et ´e vraie pour P tel que d (P) 6 k − 1 et k > 2. Soit d(P) = k < ∞

On peut appliquer l’hypoth `ese d’induction, ainsi il existe r tel que P

2+r

soit une chaˆıne et :

r 6 2d(P) − 1,

r 6 2(d(P) − 1) − 1

r 6 2d(P) − 2 − 1

r + 2 6 2d(P) − 1

(59)

C.R.A.S :

Le th ´eor `eme

Soit P un ordre tel que d(P) < ∞, alors il existe m 6 2d(P) − 1 tel que P

m

soit une chaˆıne.

Propri ´et ´e 1

Soit P un ordre non vide tel que d(P

2

) = d (P

1

) = d (P), alors P

1

est une chaˆıne.

Preuve th ´eor `eme

Soit P un ordre et d(P) = k < ∞. Induction sur d(P).

On suppose la propri ´et ´e vraie pour P tel que d (P) 6 k − 1 et k > 2. Soit d(P) = k < ∞

On peut appliquer l’hypoth `ese d’induction, ainsi il existe r tel que P

2+r

soit une chaˆıne et :

r 6 2d(P) − 1, r 6 2(d(P) − 1) − 1 r 6 2d(P) − 2 − 1 r + 2 6 2d(P) − 1

La propri ét é est v érifi ée en posant m = r + 2.

(60)

C.R.A.S :

Lemme

∀k, b ∈ N tels que 0 6 b 6 2k − 1, il existe un ordre P tel que d (P) = k

et b soit la plus petite valeur de m tel que P

m

soit une chaˆıne.

(61)

C.R.A.S :

Construction de l’ordre

On d ´efinit l’ordre P(s, t) comme suit :

Soient s, t ∈ N , V (P(s, t)) = {i : i ∈ Z | − s 6 i 6 t}

∀ p, q ∈ V (P(s, t)), p

_P(s,t)

q si : p = q ou

p < q 6 0 ou

p < q − 1

(62)

C.R.A.S :

−s

−2

−1

1 0

2k + 1 2k

P(s, t)

(63)

C.R.A.S :

s = 3 et t = 7, V(P(s, t)) = {−3, −2, · · · , 6, 7}

−3

−2

−1

0 1

3 5 7

2 4 6

P(s,t)

(64)

C.R.A.S :

Nombre d’antichaˆıne maximales pour l’inclusion d’un ordre

Cas d’un ordre Fini

Soit P

ⁿ

tel que V (P

ⁿ

) = {α

ij

: i, j ∈ [n]}, soient α

ij

, α

kl

∈ V (P

ⁿ

), α

ij

≺

_Pn

α

kl

si i = k et j < l.

Cas d’un ordre infini

Soit P

^N

tel que V (P

^N

) = N × N . Soient a, b ∈ V (P

^N

), a = (a

1

, a

2

) et b = (b

1

, b

2

), a ≺

_PN

b si a

2

<

_N

b

2

et a

1

= b

1

Injection de 2

^N

dans V (f (P

^N

))

(65)

C.R.A.S :

Cas d’un ordre Fini

Soit P

ⁿ

tel que V (P

ⁿ

) = {α

ij

: i, j ∈ [n]}, soient α

ij

, α

kl

∈ V (P

ⁿ

), α

ij

≺

_Pn

α

kl

si i = k et j < l.

α

11

α

12

α

1k

α

1n

C

1

α

k 1

α

k 2

α

kk

α

kn

C

k

α

n1

α

n2

α

nk

α

nn

C

n

P

ⁿ

Cas d’un ordre infini

Soit P

^N

tel que V (P

^N

) = N × N . Soient a, b ∈ V (P

^N

), a = (a

1

, a

2

) et b = (b

1

, b

2

), a ≺

PN

b si a

2

<

_N

b

2

et a

1

= b

1

Injection de 2

^N

dans V (f (P

^N