1 Fonctions d´erivables
D´ efinition et propri´ et´ es de la d´ eriv´ ee
cours Analyse II r´eelle
Felice Ronga
December 27, 2004
1 Fonctions d´erivables
D´ efinition de la d´ erivabilit´ e
Soient Ω⊂Rn un ouvert et f : Ω→Rp une application.
Soita∈Ω. On dit que f est d´erivable (ou diff´erentiable) au point as’il existe une application lin´eaire A∈ L(Rn,Rp) telle que, pour h∈Rn,khkassez petit :
[width=5cm]
f(a+h) =f(a) +A(h) +r(h) , avec lim
h→0
r(h) khk = 0
1 Fonctions d´erivables
D´ efinition de la d´ erivabilit´ e
Soient Ω⊂Rn un ouvert et f : Ω→Rp une application.
Soita∈Ω. On dit que f est d´erivable (ou diff´erentiable) au point as’il existe une application lin´eaire A∈ L(Rn,Rp) telle que, pour h∈Rn,khkassez petit :
[width=5cm]
f(a+h) =f(a) +A(h) +r(h) , avec lim
h→0
r(h) khk = 0
1 Fonctions d´erivables
f(a+h) =f(a) +A(h) +r(h) , avec lim
h→0
r(h) khk = 0 Autrement dit :
f(a+h)−f(a)−A(h) khk
→0 si h→0
ou encore :
∀ε >0∃δε tel que khk ≤δε⇒ kf(a+h)−f(a)−A(h)k ≤ε·khk . Si l’on poseφ(h) = f(a+h)−fkhk(a)−A(h), cela veut encore dire que :
f(a+h) =f(a) +A(h) +φ(h)· khk , avec φ(h)→0 sih →0
1 Fonctions d´erivables
f(a+h) =f(a) +A(h) +r(h) , avec lim
h→0
r(h) khk = 0 Autrement dit :
f(a+h)−f(a)−A(h) khk
→0 si h→0 ou encore :
∀ε >0∃δε tel que khk ≤δε⇒ kf(a+h)−f(a)−A(h)k ≤ε·khk .
Si l’on poseφ(h) = f(a+h)−fkhk(a)−A(h), cela veut encore dire que :
f(a+h) =f(a) +A(h) +φ(h)· khk , avec φ(h)→0 sih →0
1 Fonctions d´erivables
f(a+h) =f(a) +A(h) +r(h) , avec lim
h→0
r(h) khk = 0 Autrement dit :
f(a+h)−f(a)−A(h) khk
→0 si h→0 ou encore :
∀ε >0∃δε tel que khk ≤δε⇒ kf(a+h)−f(a)−A(h)k ≤ε·khk . Si l’on poseφ(h) = f(a+h)−fkhk(a)−A(h), cela veut encore dire que :
f(a+h) =f(a) +A(h) +φ(h)· khk , avec φ(h)→0 sih →0
1 Fonctions d´erivables
Propri´ et´ es de la d´ eriv´ ees
• Si f est d´erivable au point a, elle est continue en ce point, mais la r´eciproque est fausse: penser `a|x|en 0.
• Si f est d´erivable au point a∈Ω et v ∈Rn,v6= 0, la limite suivante existe :
∂f
∂v(a) = lim
t→0
f(a+t·v)−f(a)
t =A(v)
On appelle ∂f∂v(a) lad´eriv´ee de f dans la direction du vecteur v au point a. Ainsi on voit queAest enti`erement d´etermin´ee par f; on l’appelle la d´eriv´ee def au point a, et on la note
dfa ou f0(a)
1 Fonctions d´erivables
• Si f = (f1, . . . ,fp) : Ω→Rp est d´erivable au point a∈Ω, la matrice de sa d´eriv´eedfa=f0(a) :Rn→Rp est appel´ee matrice jacobienne (invent´ee par Carl Jacobi, 1804–1851); elle s’´ecrit :
∂fi
∂xj (a)
o`u
∂fi
∂xj(a) = lim
t→0
fi(a1, . . . ,aj−1,aj +t,aj+1, . . . ,an)−fi(a) t
Par abus de langage, on ´ecrit souvent dfa=∂f
i
∂xj(a)
. Les
∂fi
∂xj(a) sont appel´eesd´eriv´ees partielles de f au point a.
1 Fonctions d´erivables
On a le r´esultat fondamental : Proposition
Si les ∂x∂fi
j(x) existent pour x dans un voisinage de a, et sont continues sur ce voisinage, alors f est d´erivable au point a.
D’autres propri´et´es :
• Si A:Rn→Rp est une application lin´eaire sa d´eriv´ee en tout point x ∈Rn coincide avecA elle-mˆeme, en effet :
A(x+h) =A(x) +A(h)
et donc les conditions de la d´efinition de d´erivabilit´e sont satisfaites avec r(h)≡0. La matrice jacobienne dans ce cas n’est autre que la matrice de l’application lin´eaire A.
• D´erivation de fonctions compos´ees : si f est d´erivable en a, b =f(a), etg est d´erivable enb, alors la compos´eeg ◦f est d´erivable ena et
d(g◦f)a=dgb◦dfa
1 Fonctions d´erivables
Le parapluie de Whitney... :
1 Fonctions d´erivables
...et le ruban de Moebius
