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èreL Introduction aux suites (la notation indicielle ou indexée)
Il s’agit d’un chapitre numérique.
Il n’y a aucune formule dans ce chapitre.
Objectifs : introduire la notion de suite et la notation indicielle sur des exemples concrets
I. Exemple 1 (phénomène chronologique)
De nombreux phénomènes chronologiques économiques, démographiques etc. peuvent être décrits par une suite dite chronologique.
1°) On s’intéresse à l’évolution des dépenses de médecine de ville depuis 1998.
Année 1998 1999 2000 2001 2002 2003
Dépense 34,3 36,7 38,4 41,8 45,9 52,4
2°) Introduction d’une notation
On prend 1998 pour année de référence (année 0).
On note u0 le montant des dépenses de santé en 1998 en milliards d’euros u1 le montant des dépenses de santé en 1999 en milliards d’euros u2 le montant des dépenses de santé en 2000 en milliards d’euros etc.
Intérêt de cette notation : Lorsque l’on se donne un entier naturel quelconque n (n = 0, 1, 2 etc…) et que l’on parle de un (pour cet entier naturel n), on sait tout de suite que c’est le montant des dépenses de santé au bout de n années (après 1998).
On peut aussi dire que un représente le montant des dépenses de santé l’année 1998 + n (en milliards d’euros).
n 0 1 2 3 4 5
un 34,3 36,7 38,4 41,8 45,9 52,4
II. Exemples (suites logiques)
1°) Définition de quelques suites logiques
On considère les listes de nombres suivants construits sur un principe logique.
L1 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 22 On ajoute 3 à chaque fois.
L2 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128 ; 256 On multiplie par 2 à chaque fois.
L3 15 ; 11 ; 7 ; 4 ; 3 ; –1 ; –5 ; –9 ; –13 On enlève 4 à chaque fois.
L4 40 ; 20 ; 10 ; 5 ; 2,5 On divise par 2 à chaque fois.
L5 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 Carrés parfaits L6 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 13 ; 18 ; 24 ; 31 +1, +2, +3, +4, +5…
2°) Notation
On adopte une notation.
On désigne par :
u0 le premier terme de la suite u1 le deuxième terme de la suite u2 le troisième terme de la suite etc…
(notation indicielle ou indexée)
C’est une première bizarrerie que l’on observe sur les suites : u0est le premier terme de la suite, u1 le deuxième terme de la suite, u2 le troisième terme de la suite etc.
Dans la liste L3, u310 Dans la liste L5, u425
III. Exemple 3 (phénomène chronologique)
L’étude d’une population fait apparaître une augmentation de 1 % par mois à partir du 1er janvier 2000.
On se propose d’étudier l’évolution de cette population chaque mois sachant que cette population est de 100 000 individus le 1er janvier 2000.
Population au 1er février 2000 : 100 000 1,01 = 101 000 Population au 1er mars 2000 : 101 000 1,01 = 102 010 On note P0 la population au 1er janvier 2000
P1 la population au 1er février 2000 P2 la population au 1er mars 2000 etc.
Exemples
La population au 1er mars 2001 est donc P14 P25 désigne la population au 1er février 2002.
1 1,01
n n
P P
IV. Bilan
Pour désigner des éléments d’une suite, on utilise fréquemment une notation que l’on appelle notation indicielle ou indexée.
Ainsi on note fréquemment u0, u1, u2 …. les éléments d’une suite.
Les nombres 0, 1, 2 … sont des entiers naturels que l’on appelle des indices.
Ils doivent être écrits plus petit, en dessous de la ligne.
u0 est lu « u indice 0 », u1 est lu « u indice 1 », u2 est lu « u indice 3 » etc…
u0, u1, u2 …. représentent donc des nombres.
Il est donc tout à fait possible d’écrire des relations entre ces nombres telles que u5u47 ou u52u4 (ce sont des exemples, cela dépend bien évidemment de la suite considérée).
Comprendre des notations telles que l’année 2000 + n.
L’objectif de la suite du cours est d’étudier des phénomènes de croissance ou décroissance pouvant être modélisés par des suites particulières : les suites arithmétiques d’une part (on ajoute ou on soustrait toujours le même nombre), les suites géométriques d’autre part (on multiplie ou on divise toujours par le même nombre.
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èreL Exercices sur l’introduction aux suites
1 On souhaite modéliser le diagramme ci-dessous à l'aide d'une suite.
n = 0 désigne le mois de novembre 2003, n = 1 désigne le mois de décembre 2003 et ainsi de suite...
un désigne l'évolution de l'indice des prix à la consommation en % au mois n.
1°) Que représente u5 et quelle est sa valeur ?
2°) Le 1er novembre 2003, un téléphone portable de marque Alocéki coûtait 100 €.
Estimer son prix le 30 novembre 2003 et le 30 avril 2004.
2 En 1995, une grande marque de téléphones portables proposait un forfait d’une heure pour 30 €.
Elle avait alors 100 000 abonnés.
Depuis chaque tarif baisse de 1,5 euro et le nombre d’abonnés progresse de 20 %.
1°) Recopier et Compléter le tableau ci-dessous jusqu’au rang n = 10.
année rang forfait 1 heure nombre d’abonnés chiffre d’affaire en euros
1995 0 30 100 000 300 000
1996 1
1997 2
1998 3
1999 4
2000 5
2001 6
2002 7
2003 8
2004 9
2005 10
2°) On note un le chiffre d’affaires de cette marque pour l’année de rang n.
Représenter cette suite pour 0 n 10 dans un repère orthogonal (unités : 1 cm pour 1 an en abscisses et 1 cm pour 100 000 € en ordonnées).
3 Le tableau suivant donne l'évolution des naissances et des décès en France de 1994 à 2002.
année naissances (en milliers)
décès (en milliers)
solde naturel (en milliers)
1994 711 520 191
1995 730 532
1996 727 530
1997 740 540
1998 744 541
1999 745 538
2000 775 535
2001 771 531
2002 763 540
On désigne par un le nombre de naissances, vn le nombre de décès et wn le solde naturel pour l'année 1994 + n (le solde naturel est la différence entre les naissances et les décès).
1°) Lire dans le tableau u0, u3, u7, v1, v2 et v8. 2°) Calculer w0, w1 … w8.
Compléter directement les tableaux ci-dessous.
u0 u 3 u 7 v 1 v 2 v 8
w0 w1 w2 w3 w 4 w 5 w6 w 7 w 8
4 Sur le graphique ci-dessous, u0 représente le nombre de MegaWatts produits par les éoliennes en Hollande en 1986. Celui produit en 2004 est noté u18. Donner la valeur de u18.
