     Formules sommatoires d’expressions trigonométriques

(1)

Formules sommatoires

d’expressions trigonométriques

 désigne une réel fixé qui n’est pas de la forme 2m avec m. n est un entier naturel fixé.

On pose

 

0

C cos

n

k





 ^et

^{ }

0

S sin

n

k





 ^.

On pose ZC iS .

ZC iS

     

0

cos i sin

n

k

k k





  

ⁱ

0

e

n k

k







 

ⁱ

0

e

n

k







 

ⁱ ¹

i

e 1

 n





  (car eⁱ^ 1)

 

i 1

i

e 1

n 



 



 1  1  1

i i i

2 2 2

i i i

2 2 2

e e e

n  n  n 



  



 

  

 

 

  



 

 

(astuce : argument moitié)

 

i2 1

e 2i sin 2 2i sin

2

n^ n 

 

(2)

 

i2 1

e sin 2 sin2

n^ n 

 



¹



cos sin

2 2

C Re Z

sin2

n n 

 

 

 

 





¹



sin sin

2 2

S Im Z

sin2

n n 

 

 

 

 



Formules utilisées :

 Formule de la somme des puissances consécutives d’un nombre différent de 1 (à relier avec la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique)

1

0

1 1

n n

k

q q q





 



 ⁽^q^^^{\ 1}

^{ }

⁾

 Formules d’Euler

i i

e^xe^ ^x 2 cosx

i i

e^xe^^x 2i sinx