Une approche unifiée pour les formules sommatoires

(1)

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Une approche unifiée pour les formules sommatoires

Jean-Christophe Feauveau

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Jean-Christophe Feauveau. Une approche unifiée pour les formules sommatoires. 2016. �hal-01295429�

(2)

Une approche unifi´ee pour les formules sommatoires

Jean-Christophe Feauveau

¹

28 mars 2016

Abstract. Les formules sommatoires sont des outils classiques de l’analyse : Formule de Taylor- MacLaurin, d’Euler-MacLaurin, de Poisson, de Vorono¨ı, du Cercle. . .

Nous établirons comment, à partir d’une expression-souche, il est possible d’unifier ces formules et bien d’autres dans un même formalisme. De fait, ces formules vont par couples : à chaque formule sommatoire est associée un développement asymptotique. Par exemple, la formule d’Euler-MacLaurin se révèlera être le développement asymptotique associé à la formule de Poisson, la formule de Taylor- MacLaurin étant bien sûr celui de la fonction initiale.

Comme c’est généralement le cas en sciences, ce concept unificateur est aussi générateur de résultats nouveaux. On produira les développements asymptotiques pour les formules de Vorono¨ı et du Cer- cle, puis on montrera comment développer une formule sommatoire de Möbius-Poisson avec son développement asymptotique d’Euler-Möbius-Poisson.

Key words. formules sommatoires, d´eveloppements asymptotiques, Euler-MacLaurin, Poisson, Vorono¨ı, M¨obius.

Classification A.M.S. 2010 : 30B10, 30D10, 30E20.

I - Motivation

Des motivations fort diverses, mais avant tout l’exp´erimentation, conduisent les physiciens th´eoriciens

`

a rechercher un cadre aussi synthétique que possible pour rendre compte des phénomènes physiques.

Les lois de Maxwell ou l’unification des intéractions entre particules élémentaires en sont des exemples.

Les mathématiques n’ont pas réellement la possibilité d’une confrontation au concret. Néanmoins, l’unification de divers concepts mathématiques est souvent fécond et générateur de connaissances. Pour s’en convaincre, il suffit de songer à la notion de classe d’équivalence (extraction des concepts de congruence, rang d’une application linéaire. . . ), d’isomorphisme ou de foncteur.

Bien plus modestement, le but de cet article est de montrer comment s’unifient certaines formules sommatoires usuelles, et comment il est possible d’en générer de nouvelles de par le formalisme développé.

Il ne s’agit pas de présenter des résultats “optimaux” en terme d’hypothèses, mais d’établir l’existence d’une source commune, même si chacune de ces formules provient de développements “naturels” et de contextes “historiques” variés.

L’expression-souche donnant acc`es aux formules sommatoires s’´ecrit (0) ∀y >0, H[F](y) = 1

2iπ Z

C∞

Γ(−s)K(−s)F^(s)(0)(y)^sds.

Dans cette relation,F est la fonction entrée en argument dans la formule sommatoire etF^(z)sa dérivée d’ordrez∈C,Kest un noyau etC_∞un chemin (en fait une limite de chemins) propres à chaque formule sommatoire. La stratégie consiste à évaluer cette intégrale de deux manières (en général une transformée de Mellin inverse et un calcul de résidus) afin de faire apparaˆıtre la formule. Le même formalisme permet d’ailleurs d’obtenir en parallèle un développement asymptotique pour chaque formule sommatoire.

L’expression (0) apparait ainsi comme un g´en´erateur pour formules sommatoires.

1Jean-Christophe Feauveau,

Professeur en classes pr´eparatoires au lyc´ee Bellevue,

135, route de Narbonne BP. 44370, 31031 Toulouse Cedex 4, France, email : Jean-Christophe.Feauveau@ac-toulouse.fr

(3)

Expression sommatoire

Chemin Noyau K(s) Nom de la formule sommatoire

D´eveloppement asymptotique F(t) <(s) =−1

2 1 Identit´e Taylor-MacLaurin

+∞

X

n=0

F(nt) <(s) =−3

2 ζ(s) Poisson Euler-MacLaurin

+∞

X

n=0

dnF(nt) <(s) =−1

2 ζ(s)² Vorono¨ı Euler-Vorono¨ı

+∞

X

n=0

rnF(nt) <(s) =−1 2 ζ(s)

+∞

X

k=0

(−1)^k

(2k+ 1)^s Cercle Euler-Cercle

+∞

X

n=0

µ_n n F(t

n) |s| →+∞ (2π)^−s

ζ(−s+ 1) M¨obius-Poisson Euler-M¨obius- Poisson

Certaines formules du tableau précédent ne sont pas répertoriées. Les noms proposés sont alors ceux qui ont semblé les plus naturels en fonction du sens de chacune.

Le cas Taylor-MacLaurin est `a part : il correspond `a la suite des poids (1,0,0, . . .) dans la sommation.

L’expression n’est pas réellement sommatoire (il s’agit de la fonctionF elle-même) mais donnera lieu à un développement asymptotique : la formule de Taylor-MacLaurin.

Pour toutes les autres expressions du tableau, nous ´etablirons dans l’ordre

• la formule asymptotique avec un reste d’ordre N,

• la formule sommatoire proprement dite qui relie l’expression étudiée à la transformée de Fourier deF.

Pour des raisons liées à la définition de la dérivée fractionnaire d’une fonction, nous considérerons pour les formules asymptotiques des applicationsF:R−→C. La variable, toujours notéet, sera donc négative.

Les formules sommatoires étudiées agissent naturellement sur la partie paire des fonctions. C’est pourquoi, dans ce cadre, celle-ci seront alors prises paires, avec une variabley positive. On passe d’une variable à l’autre par t=−y.

Enfin, et afin de comprendre le mécanisme commun à ces formules, nous nous placerons dans des hypothèses larges concernantF : des fonctions C^∞ à décroissance rapide.

II - D´erivation fractionnaire

Pour a ∈ R, on note S(]− ∞, a],C) l’espace des applications F ∈ C^∞(]− ∞, a],C) v´erifiant

t→−∞lim |t|^mF⁽ⁿ⁾(t) = 0 pour tout entiersnet m.

PourF ∈S(]− ∞, a],C) ett∈]− ∞, a] fix´es, on pose : (1) ∀s∈C, <(s)<0, F^(s)(t) = 1

Γ(−s) Z t

−∞

(t−u)^−s−1F(u)du= 1 Γ(−s)

Z +∞

0

u^−s−1F(t−u)du.

Par un calcul simple, pour s ∈ −N^∗, on retrouve les primitives itérées de F (avec des constantes d’intégration nulles en −∞). On dispose d’une extension classique de la notion d’intégration lorsque

<(s)<0.

Une translation partpermet de ramener l’étude des propriétés ponctuelles des dérivations fraction- naires ent= 0. Sans perte de généralité, c’est ce cas que nous considérons par la suite.

Théorème : Pour F ∈S(]− ∞,0],C), la fonctions7→F^(s)(0)définie sur <(s)<0 se prolonge de manière unique en une fonction holomorphe surC. Celle-ci co¨ıncide avec la dérivéesî`ême usuelle de F en 0 lorsques∈N.

(4)

Démonstration. Afin d’établir ce résultat, prenonsD(F)(s) := 1 Γ(−s)

Z +∞

0

u^−s−1F(−u)du.

Pour<(s)<0, il vient pour toutn∈N D(F)(s) = 1

Γ(−s) Z +∞

0

u^−s−1F(−u)du= 1 Γ(n−s)

Z 0

−∞

F⁽ⁿ⁾(u)(−u)^n−s−1du=D(F⁽ⁿ⁾)(s−n), qui ´etablit le prolongement holomorphe pour <(s)< npuis surCpar unicit´e.

Enfin, pourn∈N, D(F)(n) =D(F⁽ⁿ⁺¹⁾)(−1) = Z +∞

0

F⁽ⁿ⁺¹⁾(−u)du=F⁽ⁿ⁾(0).

Ceci justifie l’écritureD(F)(s) =F^(s)(0) pour s∈C, et (F⁽ⁿ⁾)^(s)(0) =F^(n+s)(0) pourn∈N. Remarque : Le fait de travailler avect60 peut sembler peu naturel mais est lié à la définition rétenue ici pour la dérivation fractionnaire : celle de Riemann-Liouville. La définition de Weyl permettrait de travailler sur R+, mais l’opérateur associé ne serait plus la dérivation D mais −D et on perdrait le caractère intuitif de la notationF^(s)(0). Or celui-ci est parfois bien utile (Cf. Les formule de Vorono¨ı et du Cercle).

On trouvera une étude détaillée de la dérivation fractionnaire et de ses diverses définitions dans [Ross].

III - Transformation de Mellin

SiF est définie surR+, sa transformée de Mellin s’écrit [Tit1]

(2) M[F(u)](s) =

Z +∞

0

v^s−1F(v)dv.

En général, cette transformée n’est définie de fa¸con certaine que pour des valeurs s dans une bande du type σ0 < <(s) < σ1. C’est typiquement le cas sous l’hypothèse F(u) = o(u^−σ¹) en +∞ et F(u) =o(u^−σ⁰) en 0⁺.

Sous cette hypoth`ese, si pourc∈]σ₀, σ₁[ la fonction t7→ M[F(u)](c+it) est int´egrable surRet F est continue, alors on dispose de la formule d’inversion [Tit1]

(3) ∀v∈R^?+, F(v) = 1

2iπ Z

<(s)=c

M[F(u)](s)v^−sds.

Notation : l’intégration sur <(s) =c est à prendre sur la droite orientée ]c−i∞, c+i∞[.

Par suite, pourF ∈S(]− ∞,0],C), il vient

∀s∈C, <(s)<0, F^(s)(0) = 1

Γ(−s)M[F(−u)](−s) et

∀c >0, ∀v60, F(v) = 1 2iπ

Z

<(s)=c

Γ(s)F^(−s)(0)(−v)^−sds.

IV - Une formule de Ramanujan

Avant d’étudier les formules sommatoires usuelles, voyons comment la dérivation fractionnaire et la transformée de Mellin conduisent formellement à une formule dont Hardy rapporte que Ramanujan

´

etait tr`es friand et dont il faisait un usage assidu [Edwa].

Pour F ∈ S(]− ∞,0],C), on pose Φ(s) = F^(s)(0)

Γ(s+ 1). Un développement de Taylor-MacLaurin de F(−x) dans la définition de F^(−s)(0), via la formule des compléments Γ(s)Γ(1−s) = π(sin(πs))⁻¹, conduit à

π

sin(πs)Φ(−s) = Z +∞

0

x^s−1

+∞

X

n=0

(−1)ⁿxⁿΦ(n)dx.

(5)

C’est pr´ecis´ement la formule de Ramanujan.

V - La formule de Taylor-MacLaurin

Par ce cas - le plus simple - de formule asymptotique, on présente les éléments intervenant par la suite. Le résultat est le suivant.

SoitF ∈S(]− ∞,0],C). Alors (4) ∀N ∈N, ∀t∈R−, F(t) =

N

X

n=0

F⁽ⁿ⁾(0) n! tⁿ+ 1

2iπ Z

<(s)=N+¹₂

Γ(−s)F^(s)(0)(−t)^sds.

En effet, pour (a, b)∈R²,a < betT ∈R+, on noteRa,b,T le chemin rectangulaire joignant les points [a+iT, a−iT, b−iT, b+iT] dans cet ordre.

R iR

a b

iT

−iT

R_a,b,T

- 6

? 6

-

Le théorème des résidus donne, pour tout T >0, 1

2iπ Z

R₋1 2,N+ 12,T

Γ(−s)F^(s)(0)(−t)^sds=−

N

X

n=0

F⁽ⁿ⁾(0) n! tⁿ

puisque les seuls pôles sont dus à Γ(s), qu’ils sont localisés aux points{1, . . . , N}, et qu’ils ont pour résiduRes(Γ,−k) = (−1)^k/k! comme l’indique la formule des compléments.

Reste `a contrˆoler les segments horizontaux deR₋1

2,N+¹₂,T et `a interpr´eter les segments verticaux.

Pourn∈N,

Γ(−s)F^(s)(0)

n

Y

k=0

(−s+k) = Z 0

−∞

(−u)^−s+nF⁽ⁿ⁺¹⁾(u)du,

et la d´ecroissance rapide de F⁽ⁿ⁺¹⁾ entraˆıne l’existence de M_n >0 tel que

Γ(−s)F^(s)(0)

6 Mn

|=(s)|ⁿ pour<(s)6n+¹₂ et|=(s)|>1.

L’entier N ∈N^∗ ´etant fix´e, on obtient lim

T→+∞

Z N+1/2+iT

−1/2+iT

Γ(−s)F^(s)(0)(−t)^sds= 0 pourn=N, de même sur le segment [−¹₂ −iT, N+¹₂−iT]. Cet argument sera réutilisé par la suite.

La formule d’inversion de Mellin donne alors

∀t∈R−, F(t) = 1 2iπ

Z

<(s)=−¹₂

Γ(−s)F^(s)(0)(−t)^sds

=

N

X

n=0

F⁽ⁿ⁾(0) n! tⁿ+ 1

2iπ Z

<(s)=N+¹₂

Γ(−s)F^(s)(0)(−t)^sds.

On obtient au passage une expression du reste d’ordreN de Taylor-MacLaurin :

∀t60, RT_N(F)(t) = 1 Γ(N+ 1)

Z t

0

F^(N⁺¹⁾(u)(t−u)ⁿdt= 1 2iπ

Z

<(s)=c

Γ(−s)F^(s)(0)(−t)^sds

(6)

pour toutc∈]N, N+ 1[, faute de pˆole surN <<(s)< N+ 1.

Ainsi, la formule de Taylor-MacLaurin résulte d’un calcul de (0) par deux manières différentes : un calcul de résidu et une inversion de Mellin.

VI - La formule d’Euler - MacLaurin

PourF ∈S(]− ∞,0],C) ett <0, la formule s’´enonce

+∞

X

n=0

F(nt) =−F⁽⁻¹⁾(0)t⁻¹+F(0)

2 +

N

X

k=1

(−1)^k2ζ(2k)

(2π)^2kF^(2k−1)(0)t^2k−1+REN(F).

L’´equation fonctionnelle deζ s’´ecrit

(5) ∀s∈C− {0,1}, ξ(1−s) =ξ(s), avec ξ(s) =π^−s/2Γ(s/2)ζ(s).

Et Euler-MacLaurin se r´e´ecrit

+∞

X

n=1

F(nt) = −F⁽⁻¹⁾(0)t⁻¹−F(0)

2 +

N

X

k=1

ζ(1−2k)

(2k−1)!F^(2k−1)(0)t^2k−1+RE_N(F)

= −F⁽⁻¹⁾(0)t⁻¹+

2N−1

X

k=0

ζ(−k)

k! F^(k)(0)t^k+REN(F).

Nous allons établir ce résultat classique par un calcul de résidus. Les pôles et résidus de Γ conduisent

`

a ´etudier

H(t) = 1 2iπ

Z

R₋3 2,2N

Γ(−s)ζ(−s)F^(s)(0)(−t)^sds o`u R₋3

2,2N est la limite lorsque T tend vers +∞ des chemins rectangulairesR₋3

2,2N,T de sommets [−³₂+iT,−³₂−iT,2N−iT,2N+iT].

Les pôles de la fonction à intégrer sont ceux de Γ(−s)ζ(−s). Ils sont simples et de résidus

• Res(Γ(−s)ζ(−s),2n−1) = ζ(−2n+ 1)

(2n−1)! pour n∈ {1, . . . , N};

• Res(Γ(−s)ζ(−s),0) = 1

2 en 0 ;

• Res(Γ(−s)ζ(−s),1) =−1 en 1.

Par suite, le calcul de r´esidus donne

H(t) =F⁽⁻¹⁾(0)t⁻¹−

2N−1

X

k=0

ζ(−k)

k! F^(k)(0)t^k. De

Z +∞

0

F(−nu)u^s−1du= 1 n^s

Z +∞

0

F(−u)u^s−1du, on d´eduit

(6) ∀<(s)>1, ζ(s)Γ(s)F^(−s)(0) = Z +∞

0 +∞

X

n=1

F(−nu)u^s−1du.

Enfin, par inversion de Mellin, il vient

+∞

X

n=1

F(nt) = 1 2iπ

Z

<(s)=³₂

Γ(s)ζ(s)F^(−s)(0)(−t)^−sds

(7) = 1

2iπ Z

<(s)=−³₂

Γ(−s)ζ(−s)F^(s)(0)(−t)^sds

(8) = −F⁽⁻¹⁾(0)t⁻¹+

2N−1

X

k=0

ζ(−k)

k! F^(k)(0)t^k+ 1 2iπ

Z

<(s)=2N

Γ(−s)ζ(−s)F^(s)(0)(−t)^sds.

(7)

L’égalité (8) est justifiée par la nullité des intégrales sur les segments horizontaux [−³₂±iT,2N±iT].

En effet, d’après [Tit2], pour toutδ < 0, il existeMδ >0 tel que|ζ(σ+it)|6Mδ|t|¹²^−δ pourσ>δ et |t|>1. L’entier N ∈N^∗étant fixé, on a ici δ=−2N et dans l’argument du paragraphe V, le choix n= 2N+ 1 permet de conclure.

Cette fois encore, on trouve une expression pour le reste d’ordre N de Euler-MacLaurin :

∀t60, REN(F)(t) = 1 2iπ

Z

<(s)=c

Γ(−s)ζ(−s)F^(s)(0)(−t)^sds

pour toutc∈]2N−1,2N+ 1[, en l’absence de pôle sur 2N−1<<(s)<2N+ 1. L’évalution deH de deux manières différentes permet donc de retrouver la formule d’Euler-MacLaurin.

Notons qu’il est possible d’avoir accès à une sommation finie par différence de deux applications de (8).

Pourp < qdes entiers etF ∈S(]− ∞,0],C), on peut appliquer la formule précédente àFp−Fq, avec Fk(u) =F(u+kt),tétant fixé dansR−. Il vient alors

q−1

X

n=p

F(nt) = 1 2iπ

Z

<(s)=−³₂

Γ(−s)ζ(−s)[F^(s)(pt)−F^(s)(qt)](−t)^sds

= −(F⁽⁻¹⁾(pt)−F⁽⁻¹⁾(qt))t⁻¹+

N

X

k=1

(−1)^k2ζ(2k)

(2π)^2k[F^(2k−1)(pt)−F^(2k−1)(qt)]t^2k−1 +F(pt)−F(qt)

2 + 1

2iπ Z

<(s)=2N

Γ(−s)ζ(−s)[F^(s)(pt)−F^(s)(qt)](−t)^sds.

Enfin, pourt=−1 etG(u) =F(−u), G(p) +G(q)

2 +

q−1

X

n=p+1

G(n) = Z q

p

G(u)du+

N

X

k=1

(−1)^k+12ζ(2k)

(2π)^2k[G^(2k−1)(p)−G^(2k−1)(q)] +REp,q(G) avecREp,q(G) := 1

2iπ Z

<(s)=c

Γ(−s)ζ(−s)[F^(s)(−p)−F^(s)(−q)]dspour toutc∈]2N−1,2N+ 1[.

C’est une des formes usuelles de la formule d’Euler-MacLaurin.

VII - La formule de Poisson

Sous des conditions à préciser surF, la formule générale de Poisson s’écrit

∀x∈R, ∀y∈R^∗+, X

n∈Z

F(ny+x) = 1 y

X

n∈Z

Fb 2πn

y

e^2iπnx/y,

ce qui conduit `a

(9) ∀y ∈R^∗+, X

n∈Z

F(ny) = 1 y

X

n∈Z

Fb 2πn

y

.

Ces deux formules sont équivalentes. Le paramètreys’interprète comme la période de la fonctionF. La formule sommatoire (9) n’agit en fait que sur la partie paire de la fonctionF. Et par linéarité, il suffit de l’établir pourF paire et réelle.

SoitF ∈S(]− ∞,0],C) que l’on étend en une fonction paire surR. Il est facile de constater par les démonstrations usuelles que la formule de Poisson (9) est vérifiée dans ce cas et c’est dans ce cadre que nous nous pla¸cons. Il s’agit à présent d’établir (9) à l’aide de la formule-souche (0).

(8)

Suivant une approche développée par ailleurs [Mill], nous allons utiliser l’équation fonctionnelle (5) deζ. Compte tenu de la parité, la relation à établir s’écrit

∀y∈R^∗+, F(0)

2 +

+∞

X

n=1

F(ny) =1 y

Fb(0)

2 +

+∞

X

n=1

Fb 2πn

y !

.

Le point de départ est la formule (7) utilisée pour établir Euler-MacLaurin mais avec la variabley >0 (10)

+∞

X

n=1

F(ny) = 1 2iπ

Z

<(s)=−³₂

Γ(−s)ζ(−s)F^(s)(0)y^sds

= −1

2F(0) +1

yF⁽⁻¹⁾(0) + 1 2iπ

Z

<(s)=¹₂

Γ(−s)ζ(−s)F^(s)(0)y^sds.

Par changement de variable, il vient

+∞

X

n=1

F(ny) +1

2F(0)−1

yF⁽⁻¹⁾(0) = 1 2iπ

Z

<(s)=³₂

Γ(1−s)ζ(1−s)F^(s−1)(0)y^s−1ds.

De F(x) = 2b Z +∞

0

F(u) cos(xu)du on d´eduit Fb^(s)(0) = 2 cos(πs/2) Z +∞

0

u^sF(u)du, qui s’´ecrit aussi

(11) Fb^(−s)(0) = 2 cos(πs/2)Γ(1−s)F^(s−1)(0)

sur<(s)<1, puis par prolongement analytique `a C(pours∈N^∗,F^(s−1)(0) et cos(πs/2) compensent alternativement les pˆoles de Γ).

Par ailleurs, la formule de duplication de Legendre Γ(s) = (2π)^−1/22^s−1/2Γ(s/2)Γ((s+ 1)/2) associ´ee

`

a l’´equation fonctionnelle deζ donne

(12) ζ(1−s) = 2(2π)^−sΓ(s) cos(πs/2)ζ(s).

Par suite, et compte tenu de (10), il vient

+∞

X

n=1

F(ny) +1

2F(0)−1

yF⁽⁻¹⁾(0) = 1 2iπ

Z

<(s)=³₂

Γ(s)ζ(s)Fb^(−s)(0)(2π)^−sy^s−1ds.

= 1

y

+∞

X

n=1

Fb(2πn y ).

En remarquant que ¹_tF⁽⁻¹⁾(0) = _2t¹F(0), on trouve bien (7). La formule de Poisson r´b esulte ainsi d’un calcul de (0) de deux manières différentes : la formule d’inversion de Mellin et un calcul de résidus.

VIII - Les formules d’Euler-Vorono¨ı et de Vorono¨ı On noted_n le nombre de diviseurs denet par suite, pour <(s)>1,

+∞

X

n=1

d_n

n^s =ζ(s)².

Sous diverses hypoth`eses sur la fonctionF [Heja], [Endr], [Mill], on dispose de la formule de Vorono¨ı dans laquelleK0 etY0 d´esignent des fonctions de Bessel usuelles :

(13)

+∞

X

n=1

dnF(n) = Z +∞

0

(ln(x) + 2γ)F(x)dx+F(0) 4 + 2π

+∞

X

n=1

dn

Z +∞

0

2

πK0(4π√

nx)−Y0(4π√ nx)

F(x)dx.

(9)

Pour retrouver cette formule, `a l’instar de la formule d’Euler-MacLaurin, et pourF ∈S(]− ∞,0],C) on introduit la quantit´e

(14) ∀t <0, H(t) = 1 2iπ

Z

R₋3 2,2N

Γ(−s)ζ(−s)²F^(s)(0)(−t)^sds

o`uR₋3

2,2N est la limite des chemins rectangulaires de sommets [−³₂+iT,−₂³−iT,2N−iT,2N+iT].

• En 2n−1,n∈ −N, le pˆole est simple etRes(Γ(−s)ζ(−s)²,2n−1) = ζ(−2n+ 1) (2n−1)! .

• En 0, le pˆole est simple etRes(Γ(−s)ζ(−s)²,1) =−1 4.

• En −1, enfin, il y a un pˆole d’ordre 2 : ζ²(−s) = 1

(s+ 1)² − 2γ

s+ 1 +O(1), (−t)^s=−1

t(1 + ln(−t)(s+ 1) +O((s+ 1)²) et

F^(s)(0)Γ(−s) =F⁻¹(0)−(s+ 1) Z +∞

0

F(−u) ln(u)du+O((s+ 1)²).

Par suite, Res(Γ(−s)ζ(−s)²F^(s)(0)(−t)^s,1) =− Z +∞

0

F(−u) ln(u

−t)du−2γ Z +∞

0

F(−u)du.

L’argument conduisant `a (6) puis (8) s’´ecrit ici (15)

+∞

X

n=1

dnF(nt) = 1 2iπ

Z

<(s)=³₂

ζ(s)²Γ(s)F^(−s)(0)(−t)^−sds

= 1

2iπ Z

<(s)=−³₂

ζ(−s)²Γ(−s)F^(s)(0)(−t)^sds

(16) = −1

t Z +∞

0

F(−u)(ln( u

−t) + 2γ)du+F(0)

4 +

N

X

n=1

ζ(−2n+ 1)²

(2n−1)! t²ⁿ⁻¹F⁽²ⁿ⁻¹⁾(0) + 1

2iπ Z

<(s)=2N

Γ(−s)ζ(−s)²F^(s)(0)(−t)^sds.

La dernière égalité (16) est à nouveau justifiée par la nullité des intégrales sur les segments horizontaux limite [−³₂ ±iT,2N ±iT] lorsqueT → +∞, pour la raison développée lors du passage de (7) à (8) (choisirn= 4N+ 2).

Cette formule sommatoire est à celle de Vorono¨ı ce que la formule d’Euler-MacLaurin est à celle de Poisson. Pour cette raison, il est légitime de l’appeler formule d’Euler-Vorono¨ı.

On poursuit vers la formule de Vorono¨ı. La démarche est identique à celle adoptée pour la formule de Poisson. Soient doncF ∈S(]− ∞,0],R) que l’on prolonge surRen une fonction paire, ety >0.

Ce qui précède, permet d’écrire H1(y) =

+∞

X

n=1

dnF(ny)− 1

y Z +∞

0

F(u)(ln(u

y) + 2γ)du+F(0) 4

= 1

2iπ Z

<(s)=¹₂

Γ(−s)ζ(−s)²F^(s)(0)y^sds.

Les relations (11) et (12) donnent

(10)

H1(y) = 1 2iπ

Z

<(s)=³₂

Γ(1−s)ζ(1−s)²F^(s−1)(0)y^s−1ds

= 1

2iπ Z

<(s)=³₂

ζ(s)²

2(2π)^−2sΓ(s)²cos(πs/2)ζ(s)²Fb^(−s)(0)y^s−1 ds

La relation (15) entraine alorsH1(y) =1 y

+∞

X

n=1

dnS n

y

, avec

S(u) = 1 2iπ

Z

<(s)=³₂

2(2π)^−2sΓ(s)²cos(πs/2)Fb^(−s)(0)u^−sds.

Or, siL(y) = Z +∞

0

My x

N(x)dx

x, alorsM[L](s) =M[M](s)M[N](s) s’inverse en (17) L(x) =M⁽⁻¹⁾[Γ(s)²M^(−s)(0)N^(−s)(0)](x).

Et dans le cas pr´esent,

S(u) = Z +∞

0

Gu x

Fb(x)dx x

où G vérifieG^(−s)(0) = 2(2π)^−2scos (sπ/2). Bien qu’elle ne soit pas dans S([−∞, a],C), la solution G(x) = 2 cos(4π²x) est évidente : il suffit de savoir dériver la fonction cosinus !

Par suiteH₁(y) =2 y

+∞

X

n=1

d_n Z +∞

0

cos 4π²n

xy

Fb(x)dx

x. Enfin,

+∞

X

n=1

dnF(ny) = 1 y

Z +∞

0

F(u)

ln u

y

+ 2γ

du+F(0) 4 +2

y

+∞

X

n=1

dn

Z +∞

0

cos 4π²n

xy

Fb(x)dx x.

C’est bien la formule de Vorono¨ı dans la mesure o`u il est connu que, pour α >0, la transform´ee de Fourier de |x|⁻¹cos(αx⁻¹) est 2K₀(2√

αx)−πY₀(2√

αx) au sens des distributions.

Ne serait-ce que d’un point de vue esthétique, cette dernière écriture de la formule de Vorono¨ı est plus agréable que l’originale, mais ne semble pas référencée dans la littérature. Néanmoins, certaines caractéristiques deF (en particulier son support) sont moins apparentes ici.

IX - Les formules d’Euler-Cercle et du Cercle

PourF paire et sous certaines hypoth`eses, on a la formule du Cercle [Mill]

(18) F(0) +

+∞

X

n=1

rnF(n) =π Z +∞

0

F(x)dx+π

+∞

X

n=1

rn

Z +∞

0

J0(2π√

nx)F(x)dx

!

o`u rn= #{(a, b)∈Z² / a²+b²=n}, n∈N, etJ0 est la premi`ere fonction de Bessel.

Des considérations arithmétiques [Mill] conduisent à ζ(s)L(s, χ4) =1

4

+∞

X

n=1

rnn^−s, avec L(s, χ4) =

+∞

X

k=0

(−1)^k (2k+ 1)^s.

Tout comme pourζ, on dispose pour cette fonction de Dirichlet d’une l’´equation fonctionnelle [Mill] :

(19) ∀s∈C, ξ4(1−s) =ξ4(s), avec ξ4(s) = 2^sπ^−(s+1)/2Γ(s+ 1

2 )L(s, χ4).

(11)

Afin de retrouver (18) par une int´egrale de contours, pourF ∈S(]− ∞,0],C) on introduit pourt <0 H(t) = 1

2iπ Z

<(s)=³₂

ζ(s)L(s, χ4)Γ(s)F^(−s)(0)(−t)^−sds

(20) = 1

4

+∞

X

n=1

rnF(nt)

= −L(1, χ4)

t F⁽⁻¹⁾(0)−L(0, χ4)

2 F(0) + 1 2iπ

Z

<(s)=−¹₂

Γ(s)ζ(s)L(s, χ4)F^(−s)(0)(−t)^−sds

(21) = −π

4tF⁽⁻¹⁾(0)−1

4F(0) + 1 2iπ

Z

<(s)=−¹₂

Γ(s)ζ(s)L(s, χ4)F^(−s)(0)(−t)^−sds.

L’équation (19) indique en effet queL(−2n+ 1, χ4) = 0 pour toutn∈N^?. Or on a aussiζ(−2n) = 0, d’où l’absence de pôle pour Γ(s)ζ(s)L(s, χ4) sur<(s)<0.

Pour toutc >0, on d´eduit donc des ´equations finctionnelles deξet ξ₄ 1

4

+∞

X

n=1

rnF(nt) = −π

4tF⁽⁻¹⁾(0)−1

4F(0) + 1 2iπ

Z

<(s)=c

Γ(−s)ζ(−s)L(−s, χ4)F^(s)(0)(−t)^sds

(22) = −π

4tF⁽⁻¹⁾(0)−1

4F(0) + 1 4iπ

Z

<(s)=c

ξ(s+ 1)ξ₄(s+ 1)F^(s)(0)(−t)^sds La partie régulière du développement asymptotique de cette formule que l’on peut appeler Euler- Cercle est donc stationnaire à partir de l’ordre 0.

Notons que les égalités (20), (21) et (22) sont à nouveau justifiées par la nullité des intégrales sur des segments horizontaux limite [a±iT, b±iT] par des argument identiques à ceux développés à la section V.

On poursuit vers la formule du Cercle proprement dite avec cette foisy >0 etF est prolong´ee surR en une fonction paire. Pour y=−t >0. On d´eduit de (21)

H(y)− π

4yF⁽⁻¹⁾(0) +1

4F(0) = 1 2iπ

Z

<(s)=³₂

Γ(1−s)ζ(1−s)L(1−s, χ4)F^(−1+s)(0)y^s−1ds.

Puis, comme pour la formule de Poisson, H(y)− π

4yF⁽⁻¹⁾(0) +1

4F(0) = 1 2iπ

Z

<(s)=³₂

Fb^(−s)(0)

2 cos(πs/2)2 cos(πs/2)(2π)^−sΓ(s)ζ(s)L(1−s, χ₄)y^s−1ds.

= 1

2iπ Z

<(s)=³₂

Γ(s)Fb^(−s)(0)(2π)^−s2^2s−1π^−(s+1)/2Γ(^s+1₂ )

π^−(2−s)/2Γ(^2−s₂ )ζ(s)L(s, χ4)y^s−1ds.

= 1

2iπ Z

<(s)=³₂

√π 2

2 π²

s

Γ(s)Fb^(−s)(0)Γ(^s+1₂ )

Γ(^2−s₂ )ζ(s)L(s, χ₄)y^s−1ds.

Par suite, grˆace `a (20),H(y)− π

4yF⁽⁻¹⁾(0) +1

4F(0) = 1 4y

+∞

X

n=1

rnS n

y !

avec cette fois

S(u) = 1 2iπ

Z

<(s)=³₂

Γ(s)²

√π 2

2 π²

^s

Fb^(−s)(0) Γ(^s+1₂ )

Γ(s)Γ(^2−s₂ )u^−sds.

L’argument (17) d´evelopp´e pour la formule de Vorono¨ı donne ici S(u) =

Z +∞

0

Fb(x)Gu x

dx x o`uG v´erifieG^(−s)(0) =

√π 2

2 π²

^s Γ(^s+1₂ )

Γ(s)Γ(^2−s₂ ) =π^−2ssinπs 2

d’apr`es la formule de duplication de Legendre.

(12)

Ainsi,G(x) =−sin(π²x) et S(u) =− Z +∞

0

Fb(x) sin π²u

x dx

x Et finalement,

(23)

+∞

X

n=0

rnF(ny) =π y

Z +∞

0

F(u)du+1 y

+∞

X

n=1

rn

Z +∞

0

sin π²n

yu

Fb(u)du u. Il est connu que pourα >0, la transform´ee de Fourier dex⁻¹sin αx⁻¹

estπJ0(2√

αx). Par suite, la formule du cercle se déduit de (23) par la formule de Plancherel. La remarque finale concernant la formule de Vorono¨ı reste valable ici : la relation (23) est plus esthétique que la formule de Vorono¨ı et fait intervenir des fonctions plus faciles à controler (sinus contre J0), mais l’information sur le support deF est moins bien prise en compte ici.

X - Les formules d’Euler-Möbius-Poisson et de Möbius-Poisson Une inversion de Möbius formelle de la formule de Poisson donnerait (24)

+∞

X

n=1

µ_n n F

2πt n

≈ − 1 2πt

+∞

X

n=1

µ_n n Fb

1 nt

.

Des tests numériques sur la fonctionF(t) =e^−t²^/2 montre que cette égalité est vérifiée au premier abord, mais se révèle fausse dès lors que la précision augmente.

Un d´eveloppement formel de cette inversion s’´ecrit

(25) 2π

+∞

X

k=1

F^(2k)(0) (2k)!

(2π)^2kt^2k ζ(2k+ 1) ≈

+∞

X

k=1

Fb^(2k)(0) (2k)!

t^−2k−1 ζ(2k+ 1). Le membre de droite et les sections pr´ec´edentes permettent d’induire

1 2iπ

Z

C∞

Γ(−s)F^(s)(0) (2π)^s

ζ(s+ 1)(−t)^sds= 1 2iπ

Z

C∞

Γ(s)F^(−s)(0) (2π)^−s

ζ(−s+ 1)(−t)^−sds= 0 o`uC_∞est la limite d’une suite de chemins rectangulaires.

Pour ´etablir cette relation, on supposera par la suite queF est paire et dansS(]− ∞,0],C).

Notons les hypoth`eses

- (H0) : il existe deux r´eelsA >0,α < π

2 v´erifiant pours=σ+iτ,τ∈[−¹₂,³₂],

F^(−s)(0)

6Ae^α|τ|. - (H) : il existe deux r´eelsA >0,α < π

2 v´erifiant pours=σ+iτ,τ ∈R,

F^(−s)(0)

6Ae^α|τ|. Suivant la formule de Weil [Weil], montrons le lemme suivant.

Lemme : SoitF une fonction v´erifiantH0. Alors il existe une suite (TN)N∈N, avecN6TN 6N+ 1, telle que pour toutθ∈Cv´erifiantα+|<(θ)|< π/2, on ait

N→+∞lim Z

S_N

F^(−s)(0)e^isθ 2 cos(πs/2)ζ(s)

ds= 0

o`u (S_N) d´esigne une des suites de segments ([−1/2+iTN,3/2+iT_N])_n∈_Net ([−1/2−iTN,3/2−iTN])_n∈_N.

(13)

Démonstration. On rappelle pour cela une estimation délicate mais classique [Tit2] : sis=σ+iτ et si on noteρ=β+iγ les zéros génériques non triviaux deζ, alors

∀σ∈[−1,2], ln(ζ(s)) = X

|τ−γ|6¹

ln(s−ρ) +O(ln(τ)),

uniformément par rapport àσ, ln désignant la détermination principale du logarithme.

Pour σ∈ [−1 2,3

2] et |τ| >1, on d´eduit l’existence de a >0 tel que

1 ζ(s)

6|τ|^a

Y

|τ−γ|6¹

(s−ρ)

−1

. On sait par ailleurs [Tit2] que le nombre de z´eros dans la bande=(s)∈ ±[N, N+ 1] est aussiO(ln(N)).

Soitb >0 etN₀ tels que ce nombre soit major´e parbln(N) pourN _>N₀. Pour N >N₀, on peut alors trouverT_N ∈[N, N + 1] tel que|TN −γ|> 1

2bln(N) pour toute partie imaginaireγ de z´ero deζ.

Par suite pours∈[−1±iTN,2±iTN], ζ(s)⁻¹

6(N+ 1)^a(2bln(N))^b^ln(N⁾et

∀σ∈[−1 2,3

2], ∀θ∈C,

F^(−s)(0)e^isθ 2 cos(πs/2)ζ(s)

6Ae˜ −N π/2+(N+1)(α+|<(θ)|)(N+ 1)â(2bln(N))^b^ln(N⁾ pour un certain Ã >0, et le lemme s’en déduit.

Pourθ v´erifiant|<(θ)|<−α+π

2, notons L(s, θ) = 1

2iπ

1

2 cos(πs/2)ζ(s)F^(−s)(0)e^isθ= 1 2iπ

(2π)^−s

ζ(−s+ 1)Γ(s)F^(−s)(0)e^isθ. Avec les notations de la partie V, siC_0,N =R₋1

2,³₂,T_N, il vient lim

N→+∞

Z

C0,N

L(s, θ)ds= lim

N→+∞

Z ³₂+iTN

3 2−iTN

L(s, θ)ds−

Z −¹₂+iTN

−¹₂−iTN

L(s, θ)ds

! .

On note Z

C0,∞

L(s, θ)dscette derni`ere quantit´e.

Remarquons que le lemme précédent s’applique de la même fa¸con, sous l’hypothèseH, pourτ∈[a, b], ceci pour tous réelsa < b. Pour obtenir un développement asymptotique, on désire repousser les droites d’intégration<(s) =−1/2 et<(s) = 3/2. Pour cela, remarquons que le lemme précédent s’applique de la même fa¸con sur les segments ([a±iT_N, b±iT_N])_n∈_N, sous l’hypothèseH, ceci pour tous réelsa < b.

Sur des segments de partie réelle incluse dans [3/2,+∞[, le fait que|ζ(s)|⁻¹soit borné sur<(s)>3/2 permet de conclure. De même, l’équation fonctionnelle de ζ et la décroissance de Γ(1 +iτ) permet d’établir que|ζ(s)|⁻¹ est bornée sur<(s)6−1/2 et on conclut aussi sur des segments de partie réelle incluse dans ]− ∞,−1/2]. Pour toutn∈N^∗, un calcul de résidu immédiat conduit à

N→+∞lim

Z −1/2+iTN

−1/2−iT_N

L(s, θ)ds=

n

X

k=1

F^(2k)(0) (2k)!

(2π)^2ke^−2ikθ

ζ(2k+ 1) + lim

N→+∞

Z −2n−1+iTN

−2n−1−iT_N

L(s, θ)ds et

lim

N→+∞

Z 3/2+iTN

3/2−iTN

L(s, θ)ds= 1 2π

n

X

k=1

Fb^(2k)(0) (2k)!

e^(2k+1)iθ

ζ(2k+ 1)+ lim

N→+∞

Z 2n+2+iTN

2n+2−iTN

L(s, θ)ds.

Cette dernière égalité exploite la relation (11) pour les fonctions paires. Finalement, Z

C0,∞

L(s, θ)ds = 1 2π

n

X

k=1

Fb^(2k)(0) (2k)!

e^(2k+1)iθ ζ(2k+ 1)−

n

X

k=1

F^(2k)(0) (2k)!

(2π)^2ke^−2ikθ ζ(2k+ 1) + lim

N→+∞

Z 2n+2+iT_N

2n+2−iTN

L(s, θ)ds− lim

N→+∞

Z −2n−1+iTN

−2n−1−iTN

L(s, θ)ds.

(14)

Enfin, sous des hypoth`eses assez larges, on constate que lim

n→+∞

Z ±(2n+1/2)+i∞

±(2n+1/2)−i∞

L(s, θ)ds= 0.

Ainsi pour|<(θ)|< π 2 −α,

(26) 1

2iπ Z

C0,∞

F^(−s)(0)e^isθ

2 cos(πs/2)ζ(s)ds= 1 2π

+∞

X

k=1

Fb^(2k)(0) (2k)!

e^(2k+1)iθ ζ(2k+ 1)−

+∞

X

k=1

F^(2k)(0) (2k)!

(2π)^2ke^−2ikθ ζ(2k+ 1) . que l’on peut nommer formule d’Euler-M¨obius-Poisson.

En revenant à une variable réelle positive y = e^−iθ, le développement de Dirichlet de ζ⁻¹ et une application licite du théorème de Fubini conduisent à

(27) ∀y >0, 1 2iπ

Z

C₀,∞

F^(−s)(0)y^−s

2 cos(πs/2)ζ(s)ds= 1 2πy

+∞

X

n=1

µ_n n Fb

1 ny

−

+∞

X

n=1

µ_n n F

2πy n

que l’on peut appeler formule de Möbius-Poisson cette fois. Notons que cette dernière relation exploite l’égalité due à Euler

+∞

X

n=1

µn

n = 0.

Pour finir, remarquons que les relations (26) et (27) mettent en ´evidence l’erreur dans l’inversion formelle des r´elations (25) et (24).

Prospective : sous l’hypoth`ese de Riemann

On se place sous des hypothèses de validité des formules (26) et (27). En supposant vraie l’hypothèse de Riemann selon laquelle les zéros non triviaux deζ sont simples et sur la droite<(s) = 1

2, on noteZ l’ensemble des z´eros deζ.

Poury >0, (27) devient X

ρ∈Z

F^(−ρ)(0)

2 cos(πρ/2)ζ⁰(ρ)y^−ρ = 1 2πy

+∞

X

n=1

µn

n Fb 1

ny

−

+∞

X

n=1

µn

n F 2πy

n

que l’on sym´etrise en posantz=√

2πy >0,

(28) X

ρ∈Z

F^(−ρ)(0)(2π)^ρ/2

2 cos(πρ/2)ζ⁰(ρ)z^−ρ+1/2= 1

√2πz

+∞

X

n=1

µ_n n Fb

√2π n

1 z

!

−√ z

+∞

X

n=1

µ_n n F

√2π n z

! .

Et pour|<(θ)|<π

2 −α, la relation (26) devient X

ρ∈Z

F^(−ρ)(0)

2 cos(πρ/2)ζ⁰(ρ)e^iρθ= 1 2π

+∞

X

k=1

Fb^(2k)(0) (2k)!

e^i(2k+1)θ ζ(2k+ 1) −

+∞

X

k=1

F^(2k)(0) (2k)!

(2π)^2ke^−i2kθ ζ(2k+ 1) que l’on sym´etrise en changeant θparθ−₂ⁱln(2π),

(29) X

ρ∈Z

F^(−ρ)(0)(2π)^ρ/2

2 cos(πρ/2)ζ⁰(ρ)e^i(ρ−¹²^)θ=

+∞

X

k=1

(2π)^k (2k)!ζ(2k+ 1)

1

√

2πFb^(2k)(0)e^i(2k+¹²^)θ−F^(2k)(0)e^−i(2k+¹²^)θ

.

Notons que les sommes sur Z sont `a prendre au sensX

ρ∈Z

= lim

N→+∞

X

ρ∈Z,|=(ρ)|6^TN

.

Application de la relation(29) `a la fonction testF(t) =e^−t²^/2

(15)

Il vientFb(t) =√

2πF(t), F⁽²ⁿ⁾

(2n)!(0) =(−1)ⁿ

2ⁿn! et F^(−s)(0) = Γ(s/2) Γ(s) 2^s/2−1. On rappelle les ´egalit´es

∀N ∈N, |Γ(N+ 1/2 +iτ)|²= π ch(πτ)

N−1

Y

k=0

((k+ 1/2)²+τ²)

2

,

∀N∈N, |Γ(−N−1/2 +iτ)|²= π ch(πτ)

N

Y

k=0

((k+ 1/2)²+τ²)

−2

.

La validit´e de (29) dans ce cas repose sur les points suivants (s=σ+iτ) :

• F v´erifie l’hypoth`eseH. Or pour toutα < π 4,

F^(−s)(0)

6A2^|σ|/2e^α|τ|pour un certainA >0.

• Pour |<(θ)|< π 4, lim

n→+∞

Z 2n+i∞

2n−i∞

2^s/2−1 2 cos(πs/2)ζ(s)

Γ(s/2)

Γ(s) e^isθds= 0.

Puisque s= 2n+iτ, enθ=θ₁+iθ₂ avec|θ1|< π/4, il vient

2^s/2−1 2 cos(πs/2)ζ(s)

Γ(s/2) Γ(s) e^isθ

=

π^1/22^−s/2e^{−τ θ}¹^−2nθ² 2 cos(πs/2)ζ(s)Γ((s+ 1)/2)

6 π^1/22⁻ⁿe^{−τ θ}¹^−2nθ² ch(πτ /2)|Γ((n+ 1/2 +iτ /2)|

et l’égalité connue (formule des compléments et équation fonctionnelle de Γ)

∀n∈N^∗, ∀τ∈R, |Γ(n+ 1/2 +iτ /2)|²= π ch(πτ /2)

n−1

Y

k=0

((k+ 1/2)²+ (τ /2)²)

2

permet de conclure facilement.

• Pour |<(θ)|< π 4, lim

n→+∞

Z −(2n+1)+i∞

−(2n+1)−i∞

(2π)^−s2^s/2−1

ζ(−s+ 1) Γ(s/2)e^isθds= 0.

Le raisonnement est analogue au cas précédent, mais avec l’égalité

∀n∈N^∗, ∀τ∈R, |Γ(−n−1/2 +iτ /2)|²= π ch(πτ /2)

n

Y

k=0

((k+ 1/2)²+ (τ /2)²)

−2

.

En posantρ=¹₂+iτ pourρ∈Z (τ est donc supposé être réel), l’égalité (29) devient i

2 X

ρ∈Z

2^ρπ^ρ/2Γ(ρ/2)

4 cos(πρ/2)Γ(ρ)ζ⁰(ρ)e^{τ θ} =

+∞

X

k=1

(−1)^kπ^k

k!ζ(2k+ 1)sin((2k+ 1/2)θ).

On noteZ⁺les ´el´ements deZ de partie imaginaire positive. On sait queZ=Z⁺∪ {1−ρ, ρ∈Z⁺}.

L’´equation fonctionnelle deζ donne pour ρ ∈ Z : Γ(^ρ₂)ζ⁰(ρ) = −π^ρ−¹²Γ(^1−ρ₂ )ζ⁰(1−ρ). Un calcul direct montre alors que pour ρ∈Z⁺, C(ρ) =−C(1−ρ), o`uC(s) =i 2^ρπ^s/2Γ(s/2)

cos(πs/2)Γ(s)ζ⁰(s).

Enfin, on v´erifie facilement que C(z) = −C(z) et donc C(ρ) ∈ R pour ρ ∈ Z car ρ = 1−ρ par hypoth`ese.

(16)

Par suite,

(30) i X

ρ∈Z⁺

2^ρπ^ρ/2Γ(ρ/2)

4 cos(πρ/2)Γ(ρ)ζ⁰(ρ)sh(τ θ) =

+∞

X

k=1

(−1)^kπ^k

k!ζ(2k+ 1)sin((2k+ 1/2)θ).

Les simulations numériques confirment la convergence du membre de gauche lorsque |<(θ)| < π 4, l’égalité sous cette même hypothèse, et la divergence du membre de gauche pour|<(θ)|> π

4. Bibliographie :

[Edwa] : H.M. Edwards,Riemann’s Zeta Function, Academic Press, New York, 1974.

[Endr] : S. Endres and F. Steiner,A new proof of the Vorono¨ı summation formula, J. Phys. A: Math.

Theor., 2011.

[Heja] : D. A. Hejhal.,A note on the Vorono¨ı summation formula, Monatshefte fr Mathematik, 1979.

[Mill] : S. Miller and W. Schmid,Summation Formulas, from Poisson and Voronoi to the Present, Noncommutative Analysis, in Progress in Mathematics 220, Birkhuser, 2003.

[Ross] : K. S. Miller, B. Ross (Editor), An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, John Wiley and Sons, 1993.

[Tit1] : E. C. Titchmarsh,Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Chelsea Publishing Com- pagny, 1986. Réédition de la seconde édition, Oxford, 1948.

[Tit2] : E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function (revised by D. R. Heath- Brown), Clarendon, Oxford, 1986.

[Weil] : A. Weil, Sur les ”formules explicites” de la th´eorie des nombres premiers, Comm. S´em.

Math. Univ. Lund, 1952.