Formule sommatoire de Poisson

DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE

Formule sommatoire de Poisson

Leçons : 240, 246, 254, 255,228,235,241¹

[Gou An], problème 4.4 et exercice 3.4 [Wil], exemple 7.29.f) Théorème

Soit f ∈ S(_R). Alors la série

∑

n∈_Z

f(.+n)converge normalement sur tout compact deRet :

∀x∈_R,

∑

n∈_Z

f(x+n) =

∑

n∈_Z

fb(n)e^2iπnx,

où on a noté bf(x) =

Z _+∞

−_∞ f(t)e^−2iπxtdt, pourx∈_R. Démonstration :

1. Comme f ∈ S(R), en particulier,∀k∈N,f^(k)(x) =O+∞

1 x²

. Ainsi,∃M>0,∀x∈R,|x|>1⇒ |f(x)|6 ^M

x².

D’où∀K>0,∀x∈[−K,K],∀n∈_Z,|n|>K+1⇒ |f(x+n)|6 ^M

(x+n)² 6 ^M (|n| −K)^2. Donc la série

∑

n∈Z

f(.+n)converge normalement sur tout compact.² On noteFsa limite simple.

De façon similaire, on montre que

∑

n∈Z

f⁰(.+n)converge normalement sur tout compact, donc uni- formément sur tout segment deR.

On peut donc appliquer le théorème de dérivation des séries de fonctions (on rappelle que f est C¹) : F est donc de classe C¹ sur R (en fait le théorème dit d’abord “sur tout segment deR”) et

∀x∈R,F⁰(x) =

∑

n∈Z

f⁰(x+n).

2. Par ailleurs, soitx∈_R:∀N∈_N,

∑

f(x+1+n) =

N+1

∑

n=−N+1

f(x+n).

Donc en faisant tendreNvers l’infini, on obtientF(x+1) =F(x);Fest donc 1-périodique.

On va calculer ses coefficients de Fourier, pourN∈_Z: cN(F) =

Z ₁

0 F(t)e^−2iπNtdt =

(cvu)

∑

n∈Z Z ₁

0 f(t+n)e^−2iπNtdt=

∑

n∈Z Z _n+1

n f(t)e^−2iπNte^−2iπNndt

=3 Z +∞

−∞ f(t)e^−2iπNtdt= bf(N)

CommeFestC¹surR, sa série de Fourier converge normalement versFsurRet :

∀x∈R,F(x) =

∑

n∈Z

bf(n)_e^2iπnx_.⁴

1. Dans les leçons sur les distributions, on fait le corollaire 1, dans les autres, on fait le corollaire 2.

2. Car à partir de|n|>K+1, on a :

f(.+n)_[−K,K]

∞=O

1 n²

. 3. L’intégrale converge car f(t) =O_+∞

1 t²

. 4. Rappelons que la période deFvaut 1.

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Corollaire (Une distribution invariante par transformation de Fourier) On noteδ_Z=

∑

k∈_Z

δ_k.

DansS⁰(_R), on a :δ_Z=δc_Z =

∑

k∈_Z

e^2iπk.

Démonstration :

1. Montrons queδ_Zdéfinit bien un élément deS⁰(_R). D’après ce qu’on vient de faire :∀ϕ∈ S(_R),hδ_Z,ϕi=

∑

k∈Z

ϕ(k)est bien défini.

Reste à montrer queδ_Zest une distribution tempérée.

On rappelle quek.k_n,p : ϕ 7→sup

x∈R

xⁿϕ^(p)(x), oùn,p ∈ N, sont les semi-normes qui définissent la topologie deS(_R)_.

∀ϕ∈ S(R),|hδ_Z,ϕi|6

∑

k∈Z

|ϕ(k)|=|ϕ(0)|+

∑

k∈Z^∗

1 k²

k²ϕ(k)

6kϕk_0,0+

∑

k∈Z^∗

1

k²kϕk_2,06 ^π

2

3 (kϕk_0,0+kϕk_2,0) Ainsi,δ_Z ∈ S⁰(_R).

2. On peut donc calculer sa transformée de Fourier, en utilisant la transformée de Fourier en 0 :

∀ϕ∈ S(_R),hδc_Z,ϕi=hδ_Z,ϕbi=

∑

n∈Zϕb(n) =

∑

n∈Z

ϕ(n) =hδ_Z,ϕi. Doncδc_Z =δ_Z.

D’autre part, on a, pourn∈_Z,ϕ∈ S(_R): hδbn,ϕi=hδn,ϕbi=[_ϕ(n) =

Z +∞

−∞ ϕ(x)e^−2iπnxdx=he^−2iπnx,ϕi. Ainsi, dansS⁰(_R),δc_Z =

∑

k∈Z

e^−2iπkx=

∑

k∈Z

e^2iπkx. Corollaire (Une égalité entre deux sommes)

∀s >0,

∑

n∈_Z

e^−πn2s= √¹ s

∑

n∈_Z

e^−πns2.

Démonstration :

Soitα>0, on va appliquer la formule sommatoire de Poisson à f :x7→e^−αx2. Soitn∈ Z, bf(n) =

Z _+∞

−∞ e^−αt2e^−2iπntdt= √¹ α

Z _+∞

−∞ e^−u2e^−2iπn

√u

αdu = √¹

αI(n), où on a poséu =√ αtet

∀x∈R,I(x):= Z _+∞

−∞ e^−u2e^{−2iπx√uα}du.

On va chercher une équation différentielle vérifiée parI;

→ Iest dérivable, en effet : posonsh:(x,u)7→e^−u2e^{−2iπx√uα}.

– ∀x∈_R,h(x, .)estC¹et intégrable (par comparaison avec l’intégrale de Gauss) ; – ∀x,u∈R,∂h

∂x(x,u) =−2iπ u

√

αe^−u2e^{−2iπx√uα}; – ∂h

∂x est continue surR²et∀x,u∈R,

∂h

∂x(x,u) 6 ^2πu√

αe^−u2, fonction majorante à la fois intégrable et indépendante dex.

On en déduit en plus queI⁰(x) = −2iπ

√ α

Z _+∞

−∞ ue^−u2e^{−2iπx√uα}du.

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→ Par une intégration par parties : I(x) =

e^−u2−√ α

2iπxe^{−2iπx√uα} +∞

−∞

− Z _+∞

−∞ −2ue^−u2−√ α

2iπxe^{−2iπx√uα}du

=0−

√ α iπx

Z _+∞

−∞ ue^−u2e^−2iπx

√u αdu

=−

√ α iπx

√ α

−2iπI⁰(x) =− ^α 2π²xI⁰(x) DoncI(x) =I(₀)_exp

−^π

2x² α

=√ πexp

−^π

2x² α

. Ainsi, bf(n) =

rπ

α exp

−^π

2n² α

.

On applique la formule de Poisson en 0 :

∑

n∈Z

e^−αn2 =

∑

n∈Z

rπ

αe^−π2αn2. On pose enfins= ^π

α, et alors :

∑

n∈Z

e⁻ⁿ

2π

s =√

s

∑

n∈Z

e^−πn2s.

Références

[Gou An] X. GOURDON–Les maths en tête : Analyse, 2^eéd., Ellipses, 2008.

[Wil] M. WILLEM–Analyse harmonique réelle, Hermann, 1997.

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