1.1 L’application identit´ e d’un espace vectoriel

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Chapitre XIV

Changement de base et r´ eduction des endomorphismes

Table des mati` eres

1 Changement de base 2

1.1 L’application identit´e d’un espace vectoriel . . . 2

1.2 Matrice de passage d’une base d’un espace vectoriel `a une autre . . . 2

1.3 Th´eor`emes de changement de base . . . 3

2 R´eduction des endomorphismes 5 2.1 Valeur propre et vecteur propre d’une matrice carr´ee . . . 5

2.2 Valeur propre et vecteur propre d’un endomorphisme . . . 7

2.3 Diagonalisabilit´e . . . 8

2.4 Crit`ere de diagonalisabilit´e . . . 9

2.5 M´ethode pour construire une base de diagonalisation (lorsqu’une telle existe) . . . 10

Notation :Le symboleKd´esigneRouC.

1 Changement de base

1.1 L’application identit´ e d’un espace vectoriel

D´efinition (application identit´e d’un espace vectoriel) : SoitE unK-espace vectoriel. On d´efinit l’ap- plication identit´e deE, not´ee idE, par :

idE:E→E; u7→u.

Exemple 1 :L’application identit´e deR², not´eeid_R2, est l’application : id_R2:R²→R²;

x y

7→

x y

.

On a donc :id_R2

1

−3

= 1

−3

.

Th´eor`eme 1 (propri´et´es de l’application identit´e d’un espace vectoriel) :SoitEunK-espace vectoriel.

1. Siϕ:E→F est une application, on a :

ϕ◦idE=ϕ.

2. Siϕ:F →E est une application, on a :

idE◦ϕ=ϕ.

3. L’applicationid_E est lin´eaire et bijective (c’est donc un automorphisme deE) et de plus on a : (id_E)⁻¹=id_E.

4. Si l’on suppose de plus que Eest de dimension finie, et siB= (e1, e2, . . . , en) est une base deE, alors on a :

Mat(idE,B,B) =In, o`uIn est la matrice identit´en×n.

Preuve du th´eor`eme 1

1.2 Matrice de passage d’une base d’un espace vectoriel ` a une autre

D´efinition (matrice de passage d’une base d’un espace vectoriel `a une autre) SoitE unK-espace vectoriel de dimensionn(n∈N^∗).

SoientB= (e₁, . . . , e_n) etB⁰= (e⁰₁, . . . , e⁰_n) deux bases deE.

Alors la matrice de passage (ou de changement de base) deB`a B⁰ est la matrice, not´eeP_B,B⁰, d´efinie par : P_B,B⁰ = Mat(id,B⁰,B).

On peut m´emoriser la d´efinition `a l’aide du diagramme suivant.

E E

•

id_E

**•

B⁰ B

P_B,B⁰ = Mat(id,B⁰,B)

Exemple 2 : On consid`ere R² muni de sa base canoniqueB=

e1= 1

0

, e2= 0

1

.

1. Montrer que la famille B⁰=

e⁰₁= 3

5

, e⁰₂= 1

2

est une base deR². 2. CalculerP_B,B⁰ etP_B⁰_,B.

3. Calculer le produit P_B,B⁰ P_B⁰_,B. Commenter.

Th´eor`eme 2 (propri´et´es d’une matrice de passage d’une base d’un espace vectoriel `a une autre) SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie.

SoientB etB⁰ deux bases de E.

1. La matriceP_B,B⁰ est inversible.

2. La matrice inverse de P_B,B⁰ estP_B⁰_,B, i.e. :

(P_B,B⁰)⁻¹=P_B⁰_,B.

Preuve du th´eor`eme 2

Exemple 3 : SoitB= (1, X, X²) la base canonique deR2[X].

1. Montrer que la famille B⁰= (X², X²+X, X²+X+ 1) est une base deR²[X].

2. D´eterminer les matricesP_B,B⁰ etP_B⁰_,B.

1.3 Th´ eor` emes de changement de base

Th´eor`eme 3 (effet d’un changement de base sur les coordonn´ees d’un vecteur) SoitE unK-espace vectoriel de dimensionn(n∈N^∗).

SoientB= (e1, . . . , en) etB⁰= (e⁰₁, . . . , e⁰_n) deux bases deE.

Soituun vecteur deE.

On note :

• X =





 x1

... x_n





les coordonn´ees deudans la baseB;

• X⁰=





 x⁰₁

... x⁰_n





les coordonn´ees deudans la baseB⁰.

Alors on a :

X =PB,B⁰ X⁰ et X⁰ =PB⁰,BX.

Preuve du th´eor`eme 3 :Analogue `a celle du th´eor`eme 3 du chapitre de g´eom´etrie plane (chapitre 1).

Exemple 3 (suite) : Soit P le vecteur de R2[X] de coordonn´ees



 1

−1 2



 dans la base B⁰ et soit Q = 3X²+ 2X+ 1.

1. D´eterminer les coordonn´ees deP dans la baseB.

2. D´eterminer les coordonn´ees deQdans la baseB⁰.

Th´eor`eme 4 (changement de base pour une application lin´eaire −cas g´en´eral) SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie et soientB etB⁰ deux bases deE.

SoitF unK-espace vectoriel de dimension finie et soientC etC⁰ deux bases de F.

Soitf:E →F une application lin´eaire.

On a alors :

Mat(f,B⁰,C⁰) = (P_C,C⁰)⁻¹

| {z }

Mat(id_F,C,C⁰)

×Mat(f,B,C)× P_B,B⁰

| {z }

Mat(id_E,B⁰,B)

.

On peut retenir la formule pr´ec´edent `a l’aide du diagramme suivant.

E F

•

f **•

B⁰ C⁰

=

E E F F

•

idE

**•

f **•

idF

**•

B⁰ B C C⁰

Mat(f,B⁰,C⁰) = Mat(idF,C,C⁰) × Mat(f,B,C) × Mat(idE,B⁰,B)

Preuve du th´eor`eme 4

Th´eor`eme 5 (changement de base pour une application lin´eaire −cas particulier) SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie et soientB etB⁰ deux bases deE.

Soitf un endomorphisme deE.

On a alors :

Mat(f,B,B) = P_B,B⁰

| {z }

Mat(id_E,B⁰,B)

×Mat(f,B⁰,B⁰)× (P_B,B⁰)⁻¹

| {z }

Mat(id_E,B,B⁰)

.

On peut retenir la formule pr´ec´edent `a l’aide du diagramme suivant.

E E

•

f **•

B B

=

E E E E

•

idE

**•

f **•

idE

**•

B B⁰ B⁰ B

Mat(f,B,B) = Mat(idE,B⁰,B) × Mat(f,B⁰,B⁰) × Mat(idE,B,B⁰)

Preuve du th´eor`eme 5 :On d´eduit le th´eor`eme 5 du th´eor`eme 4, en sp´ecialisant comme suit :

Thm 4 Thm 5

F ← E

B ← B⁰ B⁰ ← B C ← B⁰ C⁰ ← B.

♥ Remarque 1 : Un exemple typique d’application de ce th´eor`eme est le calcul des puissances de la matrice Mat(f,B,B) d’un endomorphismef d’unK-espace vectoriel de dimension finie E, dontB est une base.

Si l’on peut trouver une nouvelle baseB⁰ dans laquelle la matrice def est diagonale, i.e. telle que :

Mat(f,B⁰,B⁰) =





 d1

. .. d_r







o`ud₁, . . . , d_r∈K, alors on a :

∀n∈N Mat(f,B,B)ⁿ=P_B,B⁰×





 dⁿ₁

. .. dⁿ_r





×(P_B,B⁰)⁻¹. Ci-dessous, on donne un exemple concret de ce genre d’application.

Exemple 3 :On se propose de calculer les puissances de la matriceA= 3 2

2 3

. A cette fin, on introduit` ϕ<sub>A</sub>, l’endomorphisme deR<sup>2</sup> canoniquement `aA. On a donc :

• ϕA:R²→R²; x

y

7→A x

y

=

3x + 2y 2x + 3y

;

• Mat(ϕ_A,B,B) =A, o`uB= (e₁, e₂) d´esigne la base canonique deR². 1. Montrer que la famille B⁰=

e⁰₁=

1 1

, e⁰₂=

−1 1

est une base deR². 2. Calculer les matricesD= Mat(ϕA,B⁰,B⁰) etP_B,B⁰.

3. Justifier,sans calcul, que :

A=PB,B⁰×D×(PB,B⁰)⁻¹. 4. En d´eduire que :

∀n∈N^∗, Aⁿ=PB,B⁰×Dⁿ×(PB,B⁰)⁻¹. 5. Calculer alors les coefficients deAⁿ, pour toutn∈N^∗.

Remarque 2 : Dans l’exemple pr´ec´edent, la base B⁰, qui poss`ede la propri´et´e remarquable d’ˆetre telle que Mat(ϕ<sub>A</sub>,B<sup>0</sup>,B<sup>0</sup>) est diagonale, nous a ´et´e donn´ee par l’´enonc´e. Dans la partie suivante, nous allons apprendre, entre autre, `a d´eterminer une telle baseB⁰ lorsque c’est possible.

2 R´ eduction des endomorphismes

2.1 Valeur propre et vecteur propre d’une matrice carr´ ee

D´efinition (valeur propre et vecteur propre d’une matrice carr´ee) :SoitA∈ Mn(K) (n∈N^∗).

1. On dit queλ∈Kest valeur propre de la matriceAsi :

∃





 x₁

... x_n





∈Kⁿ tel que :





 x₁

... x_n





6=





 0

... 0





 et A





 x₁

... x_n





=λ





 x₁

... x_n





.

2. Le spectre deA, not´e Spec(A), est l’ensemble des valeurs propres deA.

3. Soit λ∈Kune valeur propre de A. Un vecteur





 x₁

... xn





∈Kⁿ est appel´e vecteur propre de la matrice A associ´e `a la valeur propreλs’il v´erifie les deux conditions :

x1

..

  0 ..

 

x1

..

  x1

..



Exemple 4 : Soit la matriceA=





1 1 1 1 1 1 1 1 1



. Alorsλ= 3 est valeur propre deA et



 1 1 1



est un vecteur propre deA associ´e `a la valeur propre 3. En effet, on a :



 1 1 1



6=



 0 0 0



 et





1 1 1 1 1 1 1 1 1







 1 1 1



= 3



 1 1 1



.

Remarque 3

1. Une matrice carr´een×n(n∈N^∗) poss`ede un nombre de valeurs propres deux `a deux distinctes inf´erieur ou ´egal `an.

2. Une matrice 3×3 `a coefficients dans Kposs`ede toujours au moins une valeur propre dansK. Elle peut en poss´eder 1, 2 ou 3.

Exemple 5 :SoitT ∈ Mn(K) (n∈N^∗) une matrice triangulaire.

Montrer le spectre deT est l’ensemble des coefficients diagonaux deT.

Th´eor`eme 6 (recherche pratique des valeurs propres d’une matrice2×2 ou 3×3) SoitA∈ Mn(K), avecn´egal `a 2 ou 3. Soitλ∈K.

On a l’´equivalence :

λvaleur propre deA ⇐⇒ det(A−λI_n) = 0.

♥ Preuve du th´eor`eme 6

Exemple 6 :D´eterminer les valeurs propres de la matriceA=





1 1 1

1 1 1

−1 1 −1



.

D´efinition/Propri´et´es (sous-espace propre associ´e `a une valeur propre d’une matrice) SoitA∈ Mn(K) (n∈N^∗). Soitλ∈Kune valeur propre de A.

1. On appelle sous-espace propre associ´e `a λ, et on noteEλ, l’ensemble d´efini par :

Eλ=











 x1

... xn





∈Kⁿ : A





 x1

... xn





=λ





 x1

... xn











 .

L’ensemble Eλ est donc l’ensemble des vecteurs propres associ´es `a la valeur propreλauquel on a ajout´e 0_Kⁿ.

2. L’ensembleEλest un sous-espace vectoriel deKⁿ. 3. On a dim(Eλ)≥1.

♥ Preuve des propri´et´es 2 et 3.

Exemple 6 (suite) :D´eterminer une base de chacun des sous-espaces propresE−1,E0,E2 deA.

Exemple 7 :SoientAune matrice 3×3, `a coefficients r´eels. On noteϕAl’endomorphisme deR<sup>3</sup>canoniquement associ´e `aA. On a donc :

• ϕA:R³→R³;



 x y z



7→A



 x y z



;

• Mat(ϕ_A,B,B) =A, o`uB= (e₁, e₂, e₃) d´esigne la base canonique deR³.

On suppose qu’il existe une baseB⁰= (e⁰₁, e⁰₂, e⁰₃) deR³ form´ee de vecteurs propres pourA.

Que peut-on dire de Mat(ϕ_A,B⁰,B⁰) ?

R´eponse

2.2 Valeur propre et vecteur propre d’un endomorphisme

D´efinition (valeurs propres et vecteurs propres d’un endomorphisme) SoitE unK-espace vectoriel et soitf un endomorphisme deE.

1. On dit queλ∈Kest valeur propre def si :

∃u∈E tel que : u6= 0E et f(u) =λu.

2. Le spectre def, not´e Spec(f), est l’ensemble des valeurs propres def.

3. Soit λ∈ Kune valeur propre de f. Un vecteur u∈E est appel´e vecteur propre de l’endomorphisme f associ´e `a la valeur propreλs’il v´erifie les deux conditions :

u6= 0E et f(u) =λu.

Exemple 8 : SoitE unR-espace vectoriel. Soitf un endomorphisme de E tel quef◦f =id_E. Montrer que siλ∈Rest une valeur propre def, alorsλ=−1 ou λ= 1.

Th´eor`eme 7 (valeur propre d’une matrice versus valeur propre d’un endomorphisme) SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie. SoitBune base de E.

Soitf un endomorphisme deE.

Alors pour toutλ∈K:

λvaleur propre def ⇐⇒ λvaleur propre de Mat(f,B).

Preuve du th´eor`eme 7

Exemple 9 :Soitf l’application d´efinie par :

f:R2[X]→R2[X] ; P 7→P+P⁰. 1. Montrer quef est un endomorphisme deR2[X].

2. Calculer Mat(f,B,B), o`uB= (1, X, X²) d´esigne la base canonique deR2[X].

3. En d´eduire quef poss`ede une unique valeur propre : 1.

D´efinition/Propri´et´es (sous-espace propre associ´e `a une valeur propre d’un endomorphisme) SoitE unK-espace vectoriel et soitf un endomorphisme deE.

Soitλ∈Kune valeur propre def.

1. On appelle sous-espace propre associ´e `a λ, et on noteE_λ, l’ensemble d´efini par : Eλ={u∈E : f(u) =λu }.

L’ensemble Eλ est donc l’ensemble des vecteurs propres associ´es `a la valeur propreλauquel on a ajout´e 0E.

2. L’ensembleEλest un sous-espace vectoriel deE.

3. On a dim(Eλ)≥1.

♥ Preuve des propri´et´es 2 et 3.

Exemple 9 (suite) : D´eterminer une base du sous-espace propreE1 associ´e `a la valeur propre 1 de f. Remarque 4 :SoitA∈ Mn(K) (n∈N<sup>∗</sup>). On noteϕA l’endomorphisme deK<sup>n</sup> canoniquement associ´e `a A.

1. Un scalaireλ∈Kest valeur propre deAsi et seulement siλest valeur propre deϕA. On a donc : Spec(A) = Spec(ϕA).

2. Soitλ∈Spec(A) = Spec(ϕ_A).Le sous-espace propre associ´e `aλ, vu comme valeur propre deA, et le sous espace propre associ´e `aλ, vu comme valeur propre deϕ_A, sont identiques.

2.3 Diagonalisabilit´ e

D´efinition (diagonalisabilit´e d’une matrice carr´ee, d’un endomorphisme) 1. SoitA∈ Mn(K) (n∈N^∗).

On dit que la matriceAest diagonalisable s’il existe une base deKⁿ form´ee de vecteurs propres deA.

2. Soitf un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E de dimension finie.

On dit que l’endomorphismef est diagonalisable s’il existe une base deEform´ee de vecteurs propres def.

Remarque 5 :Une matrice diagonaleD=









 λ1

λ2

. .. λn











∈ Mn(K) (n∈N^∗) est diagonalisable.

En effet, la base canonique (e₁, e₂, . . . , e_n) est une base form´ee vecteurs propres pourD.

Mais il existe des matrices diagonalisables qui ne sont pas diagonales. Cf. exemple suivant.

Exemple 10 :SoitA= 1 1

0 2

.La matriceAn’est pas diagonale, mais on va voir qu’elle est diagonalisable.

1. Quelles sont les valeurs propres deA? 2. Montrer quee⁰₁=

1 0

est un vecteur propre deA. On pr´ecisera pour quelle valeur propre.

3. Montrer quee⁰₂= 1

1

est un vecteur propre deA. On pr´ecisera pour quelle valeur propre.

4. Montrer queB⁰= (e⁰₁, e⁰₂) est une base deR². 5. Conclure.

♥ Remarque 6 (diagonalisabilit´e d’une matrice et matrice diagonale) SoitA∈ M_n(K) (n∈N^∗) une matrice diagonalisable.

SoitB⁰ une base de Kⁿ form´ee de vecteurs propres deA (base de diagonalisation deA).

Alors :

1. la matriceD= Mat(f,B⁰,B⁰) est diagonale (cf. exemple 7) ; 2. on a l’´egalit´e :

A=P DP⁻¹

o`u P =P<sub>B,B</sub><sup>0</sup>Mat(id<sub>R</sub>n,B<sup>0</sup>,B) d´esigne la matrice de passage de la base canonique B deK<sup>n</sup> `a la baseB⁰ (cons´equence du th´eor`eme 5 de changement de base).

Comme on l’a vu pr´ec´edemment, `a l’aide des propri´et´es 1. et 2., il estais´e de calculer les puissances de la matriceA.

Exemple 10 (suite) :Calculer les puissances de la matriceA= 1 1

0 2

, en utilisant la base de diagonalisation construite pr´ec´edemment, ainsi que la d´emarche expos´ee dans la remarque 6.

Bilan :De la remarque 6, il ressort que :

(A) si l’on sait qu’une matrice carr´eeAest diagonalisable ; (B) si l’on connaˆıt une base de diagonalisation de A; alors on pourraais´ement calculer les puissances deA.

Dans les deux derni`eres parties, nous allons voir comment ´etudier les probl´ematiques (A) et (B).

2.4 Crit` ere de diagonalisabilit´ e

Th´eor`eme 8 (crit`ere de diagonalisabilit´e d’une matrice carr´ee, d’un endomorphisme) 1. SoitA∈ Mn(K) (n∈N^∗). On introduit le nombresd´efini par :

s= somme des dimensions de tous les sous-espaces propres de A.

(a) On a l’in´egalit´e :

s≤n (b) De plus :

Aest diagonalisable ⇐⇒ s=n.

2. Soitf un endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension finien(n∈N^∗). On introduit le nombre sd´efini par :

s= somme des dimensions de tous les sous-espaces propres def . (a) On a l’in´egalit´e :

s≤n (b) De plus :

f est diagonalisable ⇐⇒ s=n.

Exemple 11 : SoitA∈ M₃(R) la matrice d´efinie par :A=





0 1 0 1 1 1 0 1 0



.

1. D´eterminer les valeurs propres r´eelles deA.

2. D´eterminer une base de chacun des sous-espaces propres deA.

3. Montrer queA est diagonalisable.

2.5 M´ ethode pour construire une base de diagonalisation (lorsqu’une telle existe)

SoitA∈ Mn(K) (n∈N^∗).

Hypoth`eses

1. On suppose que l’on a d´etermin´e le spectre deA, ainsi qu’une base de chacun des sous-espaces propres de A.

2. On suppose que la matriceAest diagonalisable, i.e. que la somme des dimensions de tous les sous-espaces propres de Avautn(cf. crit`ere de diagonalisabilit´e donn´e par le th´eor`eme 8).

Construction d’une base de diagonalisation de A

On consid`ere la familleB⁰ denvecteursobtenus en concat´enant les bases de chacun des sous-espaces propres deApr´ec´edemment d´etermin´ees.

1. La familleB⁰ est libre ; c’est donc une base deKⁿ. Cette propri´et´e est vraie en toute g´en´eralit´e, mais on la v´erifiera toujours, par exemple en calculant un d´eterminant quandn∈ {2,3}.

2. La familleB⁰ est une base de diagonalisation deA (par construction, elle est form´ee de vecteurs propres pour A).

Exemple 11 (suite)

1. Donner une base deR³form´ee de vecteurs propres deA.

2. Donner une matrice 3×3 inversibleP et une matrice 3×3 diagonale telles que : A=P DP⁻¹.

3. Calculer les puissances deA

Remarque 7 (une condition suffisante mais non n´ecessaire de diagonalisabilit´e) 1. SoitA∈ M_n(K) (n∈N^∗).

Si Aposs`edenvaleurs propres deux `a deux distinctes, alorsA est diagonalisable.

2. SoitE unK-vectoriel de dimension finien(n∈N^∗). Soitf un endomorphisme deE.

Si f poss`edenvaleurs propres deux `a deux distinctes, alorsf est diagonalisable.