Devoir maison de math´ematiques n
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Exercice 1
On consid`ere un cercle de diam`etre [AB]. Soit M un point ext´erieur au cercle, la droite (AM) coupe le cercle en un pointI et la droite (BM) coupe le cercle en un pointJ. On appelle H le point d’intersection des droites (BI) et (AJ).
1. Prouver que le pointH est l’orthocentre du triangleABM. 2. En d´eduire que les droites (H M) et (AB) sont perpendiculaires.
Exercice 2
On consid`ere un rectangle ABC D de centreO. Soit I le milieu du segment [OA].
1. Tracer l’image A′B′C′D′ du rectangle ABC D par la rotation de centreI et d’angle 60◦. 2. Tracer l’imageA′′B′′C′′D′′ du quadrilat`ere A′B′C′D′ par la translation qui transformeB
en D.
Exercice 3
On consid`ere un parall´elogramme ABC D de centreO. La perpendiculaire `a la droite (AB) passant parO coupe (AB) en I et (C D) enJ.
1. Prouver que les triangles OAI etOC J sont isom´etriques.
2. En d´eduire queO est le milieu de [I J].
Exercice 4
Soit un triangle ABC, on construit ext´erieurement les carr´es ABDE etBC F G. 1. Prouver queABG\=DBC\.
2. Prouver que les triangles ABGetBC D sont isom´etriques.
3. En d´eduire queAG=C D.
Exercice 5 *
On consid`ere un triangleABCisoc`ele enAet on construit ext´erieurement les triangles ´equi- lat´erauxABP,AC N etBC M.
Prouver que AM =BN =C P.(on pourra chercher des triangles isom´etriques)
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Exercice 6 **
On consid`ere un carr´e ABC D dans lequel on trace le demi-cercle de diam`etre [AB]. La tangente `a ce demi-cercle passant par le pointDcoupe le cercle en un pointM. SoitO le milieu du segment [AB], la droite (OM) coupe la droite (BC) en un point N.
Prouver que M N =C N.(on pourra chercher des triangles isom´etriques)
Exercice 7 **
On consid`ere un triangle ABC rectangle isoc`ele en A. Soit I le milieu de [BC] et un point M quelconque du segment [BC]. Soient P le pied de la hauteur issue de M dans le triangle ABM etN le pied de la hauteur issue de M dans le triangleAC M.
Prouver que le triangle I N P est rectangle isoc`ele en I.(on pourra chercher des triangles isom´e- triques)
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