Nom : . . . .
Prénom : . . . . Devoir n
o7
Oct. 2019 . . ./. . .
DM 03
Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation.Faites des phrases claires et précises.
Le barème est approximatif. La calculatrice est autorisée.
Présentation : 2 points
Exercice 1 : Étude d’une fraction rationnelle ...
Soitf :R→R, x7→ x3−2x2
x2+ 1 . On noteCsa courbe dans un repère orthonormé d’unité 1 cm.
1 Justifier brièvement quef est dérivable surRet montrer que pour toutx∈R,
f0(x) =x(x3+ 3x−4) (x2+ 1)2
2 Conjecturer une racine dex3+ 3x−4 et valider la conjecture. Factoriser cette expression pourx∈R. (théorèmes de factorisation et d’identification)
3 En déduire le signe def0(x) puis les variations def. 4 Déterminera, b, c, dréels tels que pour toutx∈R,
f(x) =ax+b+cx+d x2+ 1
5 Étudier le signe def(x)−x+ 2 et en déduire la position relative deCet de la droiteDd’équationy=x−2.
6 Déterminer les coordonnées des points d’intersection deCavec l’axe des abscisses.
7 Déterminer les coordonnées du point d’intersection deCavec l’axe des ordonnées.
8 Déterminer l’équation de la tangenteT à la courbe, au point d’abscisse−1.
9 Représenter soigneusementT,D, les points d’intersection deCavec les axes, les tangentes horizontales deCet Celle même.
10 Démontrer que l’équationf(x) = 1 a une unique solutionα. En donner une valeur approchée à 10−3près.
Exercice 2 : Méthode de Héron ...
L’objectif est de définir une suite permettant le calcul approché de racines carrées par des opérations simples (divi- sions, sommes, produits).
Soita∈[1; +∞[ etf la fonctionf : ]0 ; +∞[→R, x7→ 1 2
a x+x
. On définit la suite (un) paru0∈[√
a;a] etun+1=f(un) 1 Dresser le tableau de variations de la fonctionf. 2 Calculerf(√
a) etf(a) en faisant apparaître ces valeurs dans le tableau précédent.
En déduire : pourx∈[√
a;a],f(x)∈[√ a;a].
3 Démontrer par récurrence que pour toutn∈N, un∈[√
a;a]. (on a ainsi prouvé queun,0, donc que la suite est bien définie)
4 Démontrer que la suite (un) est décroissante, puis convergente vers une limite`.
1
5 Démontrer que`vérifie`=1 2
a
`+`
. En déduire`.
6 Dans cette question (seulement),a= 2 etu0= 2. Exprimeru3sous forme d’une fraction. À combien de décimales u3approche-t-elle
√ 2 ?
7 dans cette question on s’intéresse à la vitesse de convergence de la suite (un).
On introduit, pourn∈N,vn=un−√
aqui mesure l’écart entreunet√ a.
On suppose queu0approche√
apar excès à 0,5 près : 0≤v0≤0,5.
a. Démontrer que pour toutn∈N, vn+1= v2n
2un. En déduire :vn+1≤v2n. b. Par récurrence, prouver que pour toutn∈N,0≤vn< 1
22n
c. En déduirev4<10−4. À partir de quel rangnpeut-on dire la suite (un) approche√
aavec une précision de 1 000 décimales ?
2
