Exercice I.
Soit(Xn)n∈Nune suite de v.a. indépendantes, de même loi de BernoulliB(p), avecp∈[0; 1].
On définit l’estimateur Xn= 1 n
n
X
k=1
Xk. (moyenne empirique) 1. Montrer queXnest un estimateur sans biais dep.
2. Calculer son risque quadratique.
3. L’estimateurXnest-il convergent ?
4. Déterminer un intervalle de confiance de niveau d’erreur5%du paramètrep.
a. en utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
b. en utilisant le théorème central limite.
5. Un joueur joue1000parties, et en remporte400.
Déterminer un intervalle de confiance asymptotique de niveau0.95pour le paramètrep.
Exercice II.
Un joueur remporte60%des parties qu’il dispute. Il joue1000parties.
Déterminer un intervalle de confiance de niveau0.95pour le nombre de parties remportées.
Exercice III.
Soit(Xn)n∈Nune suite de v.a. indépendantes, de même loi de BernoulliB(p), avecp∈[0; 1].
On définit Xn= 1 n
n
X
k=1
Xk, ainsi que Sn=
n
X
k=1
(Xk−Xn)2. 1. Rappeler la variance deX1.
2. Calculer le biais deSnen tant qu’estimateur deV(X1).
3. Snest-il un estimateur asymptotiquement sans biais ? 4. Construire un estimateur sans biais deV(X1).
Exercice IV.
SoitXune v.a d’espérancemet de varianceσ2.
On considère un n-échantillon(Xk)1≤k≤nconstruit à l’aide deX.
On pose Xn= 1 n
n
X
k=1
Xk, Vn= 1 n
n
X
k=1
Xk2 et Wn=Vn−Xn2. 1. CalculerE(Xn)etV(Xn).
2. En déduireE(Xn
2)en fonction demetσ.
3. ExprimerE(Wn)en fonction demetσ.
4. En déduire un estimateur sans biais deσ2.
Exercice V.
On considère un n-échantillon(Xk)1≤k≤nd’une loi uniforme sur[0;θ].
On cherche à estimer le paramètreθ.
Pour ce faire, on considère les deux estimateurs Yn= 2 n
n
X
k=1
Xk et Zn=max(X1, ..., Xn).
1. Montrer queYnest sans biais.
2. Déterminer la loi deZn.
3. Calculer le biais deZn, et en déduire un estimateur sans biaisWnconstruit à partir deZn.
4. Calculer les risques quadratiques respectifs deYnetWn, et montrer que ces deux estimateurs sont conver- gents.
5. Quel est le meilleur estimateur ? Exercice VI.
On considère un n-échantillon(Xk)1≤k≤nd’une loi uniforme sur[a;b].
On cherche à estimer les paramètres inconnusaetb.
Pour ce faire, on considère les deux estimateurs Yn=min(X1, ..., Xn) et Zn=max(X1, ..., Xn).
1. Déterminer leur loi, puis calculer le biais deYnetZn. 2. Etudier la convergence de ces deux estimateurs.
Exercice VII.
Soit(Tn)n∈Nune suite de v.a. indépendantes, de même loi géométrique de paramètrep∈]0; 1[.
On poseq = 1−p, et on définit Sn=
n
X
k=1
Tk.
1. DéterminerSn(Ω), et montrer que ∀k∈Sn(Ω), P(Sn=k) =
k−1 n−1
pnqk−n. 2. a. Rappeler la valeur deP(Tn= 1), puis calculer P[Sn=k](Tn= 1), pourk≥n.
b. En déduire que ∀N ∈N,
+∞
X
i=N
i N
qi−N = 1 (1−q)N−1. 3. Montrer que Un= n−1
Sn−1 est un estimateur sans biais dep.
4. a. Déterminer l’espérance de la v.a. Vn= n2−1 (Sn−1)(Sn−2). b. En déduire queUnadmet un moment d’ordre2.
c. Montrer enfin que le risque quadratique deUnest majoré par p2 n−2. Exercice VIII.
Soient les v.a.X1etX2indépendantes et de même loi, de moyennemet de varianceσ2. Déterminer lequel des estimateurs demnon biaisés suivants est le meilleur :
Y =X1+X2 ou Za,b= aX1+bX2
a+b , pour une autre valeur des paramètres réelsaetb.
Exercice IX.
On suppose que le paramètrep, qui exprime la probabilité qu’un individu contagieux transmette le virus à un individu sain, est inconnu, et on cherche à l’estimer. Pour tout entiermsupérieur ou égal à 1, on considère un m-échantillon(Y1, ..., Ym)de variables aléatoires définies sur le même espace de probabilité, indépendantes et de même loi de Bernoulli de paramètrep.
1. On poseYm= 1 m
m
X
i=1
Yi.
a. Montrer queYmest un estimateur sans biais dep.
b. Déterminer le risque quadratique deYm.
2. A l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que l’intervalle
"
Ym− r5
m, Ym+ r5
m
# est un intervalle de confiance depau niveau de confiance0,95.
Exercice X.
Dans cet exercice,λdésigne un paramètre réel strictement positif, inconnu.
Pour nélément de N∗, on considère unn-échantillon (X1, X2, ..., Xn) de variables aléatoires à valeurs stric- tement positives, indépendantes, de même loi exponentielle de paramètre λ. On pose pour tout n de N∗ : Sn=
n
P
k=1
XketJn=λSn.
1. Calculer pour toutndeN∗,E(Sn),V (Sn), E(Jn)etV (Jn).
2. On admet qu’une densitéfJn deJnest donnée parfJn(x) =
( e−xxn−1 (n−1)!
0
six >0 six≤0 .
a. A l’aide du théorème de transfert, établir pour toutnsupérieur ou égal à 3, l’existence deE
1 Jn
et deE
1 Jn2
, et donner leur valeurs respectives.
b. On pose pour toutnsupérieur ou égal à 3 :λcn = Sn
n. Justifier queλcnest un estimateur deλ. Est-il sans biais ? Calculer la limite, lorsquentend vers+∞, du risque quadratique associé àλcnenλ.
3. Dans cette question, on veut déterminer un intervalle de confiance du paramètreλau risqueα. On note Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, et uα le réel strictement positif tel que Φ (uα) = 1−α2.
a. Enoncer le théorème de la limite centrée. En déduire que la variable aléatoireNndéfinie parNn = λ√Snn−√
nconverge en loi vers la loi normale centrée réduite.
b. En déduire que : lim
n→+∞P([−uα ≤Nn≤uα]) = 1−α.
c. Montrer que l’intervalleh
1−√uαn λcn,
1 +√uαn
λcn
i
est un intervalle de confiance asymptotique de λau niveau de risqueα.
4. Avec len-échantillon (X1, X2, ..., Xn), on construit un nouvel intervalle de confiance deλ au risqueβ (β 6=α), tel que la longueur de cet intervalle soitk(k >1) fois plus petite que celle obtenue avec le risque α.
a. Justifier l’existence de la fonction réciproqueΦ−1 deΦ. Quel est le domaine de définition deΦ−1? b. Etablir l’égalitéβ= 2Φ 1kΦ−1(α/2)
. En déduire queβ > α. Ce dernier résultat était-il prévisible ?
Sujets récents
Exercice XI. (EDHEC 2020)
On considère une variable aléatoireXsuivant la loi normaleN 0, σ2
,oùσest strictement positif. On rappelle que la fonctionfX qui à tout réelxassocie 1
σ√ 2πexp
−2σx22
est une densité deXet on noteFx la fonction de répartition deX, définie par :
∀x∈R, Fx(x) = Z x
−∞
fx(t)dt
1. Montrer que :∀x∈R, Fx(−x) = 1−Fx(x)
2. On poseY =|X|et on admet queY est une variable aléatoire.
a. Montrer que la fonction de répartition deY est la fonction, notéeFr,définie par :
Fr(x) =
( 2Fx(x)−1six≥0 0six <0
b. En déduire queY est une variable à densité et donner une densitéfY deY. c. Montrer queY possède une esperance et que l’on aE(Y) =σ
q2 π
3. On suppose, dans cette question seulement, queσest inconnu et on se propose de l’estimer.
Soitnun entier naturel supéricur ou cgal à1.On considère un échantillon(Y1, Y2, . . . , Yn) composé de variables aléatoires, mutuellement indépendantes, et ayant toutes la même loi queY
On noteSnla variable aléatoire définie parSn= n1Pn k=1Yk
a. Montrer queSnest un estimateur deσ,donner la valeur de son biais, puis proposer un estimateur sans biais deσ, que l’on noteraTn, construit de façon affine à partir deSn.
b. Rappeler la valeur du moment d’ordre 2 deX, puis déterminerE Y2
, V(Y)etV (Sn)
c. Déterminer le risque quadratique deTnen tant qu’estimateur deσ.En déduire queTnest un esti- mateur convergent deσ
4. On rappelle qu’en Scilab, siietjdésignent deux entiers naturels non nuls, la commande grand i, j, ’nor0, m, s
simule dans un tableau ailignes etjcolonnes,i×jvariables aléatoires mutuelle- ment indépendantes et suivant toutes la loi normale d’espérancemet de variances2Compléter le script Scilab suivant afin qu’il permette de simuler les variables aléatoiresSn etTnpour des valeurs denetσ entrées par l’utilisateur.
n = input (’entrez la valeur den :0)
sigma = input (’entrez la valeur de sigma :0) X=− − − − − − //simulations deX1, . . . , Xn Y =− − − − − − //simulations deY1, . . . , Yn S=− − − − −−
T =− − − − −−
Exercice XII. (Ecricome 2020)
Soitaun réel strictement positif.
1. Pour tout entiernsupérieur ou égal à2, on pose In(a) = Z +∞
a
dt tn. Montrer que l’intégraleIn(a)donverge et vaut 1
(n−1)an−1.
2. Soitf la fonction définie surRpar f(t) =
0 sit < a 3a3
t4 sit≥a .
a. Démontrer quef est bien une densité de probabilté. SoitXune v.a. admettantf pour densité.
b. Donner la fonction de répartition deX.
c. Démontrer queXadmet une espérance et calculer cette espérance.
d. Démontrer queXadmet une variance et que celle-ci vaut 3a2 4 .
3. SoitU une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur]0,1]. On pose :Y = a U13. a. DéterminerY(Ω).
b. Déterminer la fonction de répartition deY et vérifier queY etXsuivent la même loi.
c. Écrire une fonction en langage Scilab d’en-tête :function Y = simulX(a, m, n)prenant en argument un réela strictement positif et deux entiers naturels m et n non nuls, qui renvoie une matrice à m lignes et n colonnes dont chaque coefficient est un réel choisi de façon aléatoire en suivant la loi deX. Ces réels seront choisis de façon indépendante.
4. a. CalculerP(X >2a).
b. CalculerP[X>2a](X >6a).
c. On suppose que la fonction Scilab de la question 3.a. a été programmée correctement. Compléter le script ci-dessous afin qu’il renvoie une valeur permettant de vérifier le résultat de la question précédente.
a = 10 , N = 100000 , s1 = 0 , s2 = 0 X = simulX(a, 1, N)
for k = 1 :N
if ... then s1 = s1 + 1
if X(k) > 6 * a then ...
end end end
if s1 > 0 then disp(...) end
On cherche dans la suite de l’exercice à estimer le paramètrea.
Soitnun entier naturel non nul, etX1,. . .,Xnnvariables aléatoires indépendantes et suivant toutes la même loi queX.
5. On pose :Vn= 2 3n
n
X
k=1
Xk.
a. Montrer queVnest un estimateur sans biais pour le paramètrea.
b. Calculer son risque quadratique et vérifier que celui-ci vaut a2 3n. 6. On pose :Wn= min(X1, . . . , Xn).
a. Déterminer la fonction de répartition de Wn et vérifier que Wn est bien une variable aléatoire à densité.
b. Montrer queWnadmet pour densité la fonctionfndéfinie surRpar fn(t) =
0 sit < a 3na3a
t3n+1 sit≥a c. Démontrer queWnadmet une espérance et calculer cette espérance.
Déterminer alors l’unique réelλndépendant dentel queλnWnest un estimateur sans biais pour le paramètrea.
d. Calculer le risque quadratique deλnWnet vérifier que celui-ci vaut a2 3n(3n−2). 7. On rappelle que :
— siAest une matrice Scilab, l’instruction :A(i, :)renvoie laieligne de la matriceA.
— si A est une matrice Scilab (éventuellement une matrice ligne), l’instruction : sum(A) renvoie la somme des coefficients de la matriceA.
— siX est une matrice ligne, l’instruction :plot2d(X, style = -1)représente graphiquement les coefficients deXà l’aide de croix droites.
— siX est une matrice ligne, l’instruction :plot2d(X, style = -2)représente graphiquement les coefficients deXà l’aide de croix obliques.
a. Compléter la fonction ci-dessous afin qu’elle réalise m simulations de la variable aléatoire Vn et renvoie les résultats obtenus sous forme d’une matrice ligne àméléments :
function V=simulV(a,m,n) X = simulX(a, m, n) V = zeros(1, m) for k = ...
V(k) = ...
end endfunction
Pour la suite, on prend n = 100 et on suppose que l’on dispose d’une fonction similairesimulW permettant d’obtenirmsimulations de la variable aléatoireλnWn.
b. Compléter les lignes ci-dessous pour écrire le script qui a permis d’obtenir le graphique présenté :
W = simulW(..., ..., ...) V = simulV(..., ..., ...) plot2d(..., style = -1) plot2d(..., style = -2)
On justifiera la réponse pour les deux dernière lignes.
Exercice XIII. (EML 2020)
Dans cet exercice, toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur un même espace probabilisé noté (Ω,A,P).
Partie A : Loi de Pareto
Soientaetbdeux réels strictement positifs. On définit la fonctionf surRpar f(x) =
0 six > b a ba
xa+1 six≥b . 1. Montrer quef est une densité de probabilité.
On dit qu’une variable aléatoire suit la loi de Pareto de paramètresaet b lorsqu’elle admet pour densité la fonctionf.
Dans toute la suite de l’exercice, on considère une variable aléatoireXsuivant la loi de Pareto de paramètresa etb.
2. Déterminer la fonction de répartition deX.
3. a. SoitU une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur[0,1[.
Montrer que la variable aléatoireb U−1a suit la loi de Pareto de paramètresaetb.
b. En déduire une fonction Scilab d’en-têtefunction X = pareto(a,b)qui prend en arguments deux réelsaetbstrictement positifs et qui renvoie une simulation de la variable aléatoireX.
c. On considère la fonction Scilab ci-dessous.
Que contient la listeLrenvoyée par la fonctionmystere?
function L = mystere(a, b) L = []
for p = 2 : 6 S = 0
for k = 1 : 10 ˆ p
S = S + pareto(a,b) end
L = [L, S / 10 ˆ p]
end endfunction
d. On exécute la fonction précédente avec différentes valeurs deaet deb.
Comment interpréter les résultats obtenus ? mystere(2,1)
ans =
1.9306917 1.9411352 1.9840089 1.9977684 2.0012415 mystere(3,2)
ans =
3.1050951 3.0142956 2.9849407 2.9931656 2.9991517 mystere(1,4)
ans =
21.053151 249.58609 51.230522 137.64549 40.243918
4. a. Montrer queXadmet une espérance si et seulement sia >1et que, dans ce cas, E(X) = a b a−1. b. Montrer queXadmet une variance si et seulement sia >2et que, dans ce cas, V(X) = a b2
(a−1)2(a−2). Partie B : Estimation du paramètreb
On supposedans cette partie uniquement quea = 3et on chercher à déterminer un estimateur performant deb.
Ainsi, la variable aléatoireXadmet pour densité la fonctionf définie par f(x) =
0 six < b 3b3
x4 six≥b . Soientn∈N∗etX1,. . .,Xndes variables aléatoires indépendantes, toutes de même loi queX.
On définit :
Yn = min(X1, . . . , Xn) et Zn= X1+· · ·+Xn
n On admet queYnetZnsont encore des variables aléatoires définies sur(Ω,A,P).
5. a. Calculer, pour toutxde[b,+∞[,P(Yn> x).
b. En déduire queYnsuit une loi de Pareto dont on précisera les paramètres.
c. Montrer queYn0 = 3n−1
3n Ynest un estimateur sans biais deb.
Calculer le risque quadratique de cet estimateur.
6. a. Déterminer l’espérance et la variance deZn.
b. En déduire un estimateur notéZn0 sans biais debde la formeα Znoùαest un réel à préciser.
Calculer le risque quadratique de cet estimateur.
7. EntreYn0 etZn0, quel estimateur choisir ? Justifier.
Partie C : Estimation du paramètrea
On supposedans cette partie uniquementqueb= 1et on cherche à construire un intervalle de confiance pour a.
Ainsi, la variable aléatoireXadmet pour densité la fonctionf définie par f(x) =
( 0 six <1 a
xa+1 six≥1 . Soit(Xn)n∈N∗ une suite de variables aléatoires indépendantes, toutes de même loi queX.
8. Soitn∈N∗. On pose :Wn= ln(Xn).
Montrer que la variable aléatoireWnsuit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
En déduire l’espérance et la variance deWn. 9. On définit, pour toutndeN∗ :
Mn = ln(X1) +· · ·+ ln(Xn)
n et Tn=√
n(a Mn−1)
a. Justifier que la suite de variables aléatoires (Tn)n∈N∗ converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
b. En déduire que l’intervalle √
n−2
√n Mn ;
√n+ 2
√n Mn
est un intervalle de confiance asymptotique poura au niveau de confiance95%.
On admettra que Φ(2) ≥ 0,975, où Φ désigne la fonction de répartition d’une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
Exercice XIV. (EDHEC 2019)
Partie 1 : étude de quelques propriétés d’une variable aléatoireX Dans cet exercice,θdésigne un réel élément de
0,1
2
.
On considère la fonctionf définie par :f(x) =
1
θx1+1θ six≥1 0 six <1
.
1. Montrer quef peut être considérée comme une densité.
On considère dans la suite une variable aléatoireXde densitéf et on noteF sa fonction de répartition.
2. Montrer queXpossède une espérance et une variance et les déterminer.
3. Déterminer, pour tout réelx, l’expression deF(x)en fonction dexetθ.
4. a. Montrer que l’équationF(x) = 1
2 possède une seule solution, notéeMe, que l’on déterminera.
b. Montrer que :∀x∈
0,1 2
,2x(1−x)≤1.
c. ComparerE(X)etMe.
5. Soitaun réel supérieur ou égal à1etbun réel strictement positif.
a. Montrer queP(X>a)(X > a+b) = a
a+b 1/θ
.
b. Déterminer la limite de cette quantité lorsqueatend vers+∞. Interpréter cette dernière valeur si l’on admet que la variableXreprésente la durée de vie d’un certain appareil.
Partie 2 : simulation deX
1. On poseY = ln(X)et on admet queY est une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé queX. On noteGsa fonction de répartition.
a. Pour tout réelx, exprimerG(x)à l’aide de la fonctionF.
b. En déduire queY suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
2. On rappelle qu’en Scilab, la commande grand(1,1,’exp’,1/lambda) simule une variable aléa- toire suivant la loi exponentielle de paramètreλ. Écrire des commandesScilabutilisantgrandet per- mettant de simulerX.
Partie 3 : simulation deX
On suppose dans la suite que le paramètreθest inconnu et on souhaite en trouver une estimation ponctuelle puis par intervalle de confiance.
On considère pour cela nvariables aléatoiresY1, . . . , Yn toutes définies sur le même espace probabilisé, mu- tuellement indépendantes, et suivant toutes la même loi queY.
1. On poseTn= 1 n
n
X
k=1
Yk.
a. Justifier queTnest un estimateur deθ.
b. Tnest-il un estimateur sans biais deθ?
c. Calculer le risque quadratique deTnen tant qu’estimateur deθ.Tnest-il un estimateur convergent deθ?
2. a. Écrire l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la variableTn. b. Établir l’inégalité :
∀ε >0, P
θ∈[Tn−ε, Tn+ε]
>1− θ2 nε2
c. En utilisant le fait queθ 6 1
2, déterminer un intervalle de confiance pourθau niveau de confiance 90%lorsqu’on choisitn= 1000.
Exercice XV. (EDHEC 2018)
On admet que toutes les variables aléatoires considérées dans cet exercice sont définies sur le même espace probabilisé(Ω,A, P)que l’on ne cherchera pas à déterminer.
Soitaun réel strictement positif etf la fonction définie par :f(x) = ( x
ae−x2/2a si x>0 0 si x <0 1. Montrer que la fonctionfest une densité.
Dans la suite de l’exercice, on considère une variable aléatoireXde densitéf. 2. Déterminer la fonction de répartitionFX deX.
3. On considère la variable aléatoireY définie par :Y = X2 2a. a. Montrer queY suit la loi exponentielle de paramètre 1.
b. On rappelle qu’en Scilab, la commande grand(1,1,’exp’,1/lambda) simule une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètreλ. Ecrire un scriptScilabdemandant la valeur deaà l’utilisateur et permettant de simuler la variable aléatoireX.
4. a. Vérifier que la fonctiong, qui à tout réelxassociex2e−x2/2a, est paire.
b. Rappeler l’expression intégrale ainsi que la valeur du moment d’ordre 2 d’une variable aléatoireZ suivant la loi normale de paramètres 0 eta.
c. En déduire queXadmet une espérance et la déterminer.
5. a. Rappeler l’espérance deY puis montrer queXpossède un moment d’ordre 2 et le calculer.
b. En déduire que la variance deXest donnée par :
V(X) = (4−π)a 2
On suppose désormais que le paramètreaest inconnu et on souhaite l’estimer
6. Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 1. On considère un échantillon(X1, X2, . . . , Xn)composé de variables aléatoires indépendantes ayant toutes la même loi queX.
On noteSnla variable aléatoire définie parSn= 1 2n
n
X
k=1
Xk2
a. Montrer queSnest un estimateur sans biais dea.
b. Montrer queX2possède une variance et queV(X2) = 4a2.
c. Déterminer le risque quadratiquera(Sn)deSnen tant qu’estimateur dea. En déduire queSnest un estimateur convergent dea.
7. On suppose queaest inférieur ou égal à 1.
a. Ecrire l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la variable aléatoireSnet en déduire :
∀ε >0, P((|Sn−a|6ε)>1− 1 nε2
b. Déterminer une valeur denpour laquelle
Sn− 1
10;Sn+ 1 10
est un intervalle de confiance deaau niveau de confiance au moins égal à 95%.
8. Peut-on utiliser le théorème central limite pour obtenir un intervalle de confiance asymptotique ?
Exercice XVI. (ESC 2009)
Soitθun réel strictement positif. On considère la fonctionfdéfinie surRpar f(x) =
( eθ−x six≥θ 0 six < θ . On rappelle que E(aX+b) =aE(X) +b et V(aX+b) =a2V(X).
1. a. Vérifier que ∀A≥θ, Z A
θ
f(x)dx= 1−eθ−A. b. Montrer quef est une densité.
On noteXune variable aléatoire réelle de densitéf. 2. Déterminer la fonction de répartitionFX deX.
3. On considère la variable aléatoire Y =X−θ.
a. Montrer que la fonction de répartitionFY deY est définie par FY(y) =
( 1−e−y siy≥0 0 siy <0 . b. En déduire queY est une variable à densité qui suit une loi classique dont on précisera le paramètre.
Préciser son espérance et sa variance.
c. En déduire l’espérance et la variance deX.
4. Dans toute la suite,ndésigne un entier naturel non nul et(Xk)1≤k≤nest unn−échantillon deX.
On cherche à estimer le réelθà l’aide de la variable aléatoireSn= 1 n
n
X
k=1
(Xk−1).
a. Montrer queSnest un estimateur sans biais deθ.
b. Calculer son risque quadratique notér(Sn).Snest-il un estimateur convergent deθ? Exercice XVII. (Couperin 2020)
Un joueur gagne55%des parties qu’il dispute. On prendra si besoin √
0.55×0.45'0.5 et √
2475'50.
1. a. Il joue 1000 parties. On noteXle nombre de parties gagnées.
Quelle est la loi deX? Combien peut-il espérer gagner de parties ? b. Rappeler l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, et l’appliquer àX.
c. Compléter |X−550| ≤ 50 ⇐⇒ ? ≤ X ≤? , puis en déduire un intervalle de confiance de niveau de confiance90%pourX.
2. a. Le joueur jouenparties, avecn∈N∗. On noteSnle nombre de parties gagnées.
En utilisant le théorème central limite, montrer qu’un intervalle de confiance asymptotique de ni- veau95%pourSnesth
0.55n−0.98√
n; 0.55n+ 0.98√ ni
.
b. En utilisant la table de loi normale, déterminer le nombrende parties à jouer pour que le joueur soit certain à99%d’en gagner au moins50%.
![Soient a et b deux réels quelconques tels que a < b, f une fonction continue et positive sur [a; b] et](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)