E131. Le jeu des suites
Problème proposé par Raymond Bloch
Le jeu des suites se joue avec n ≥3 personnes. Chaque personne écrit sa propre suite de nombres réels selon la règle suivante: pour commencer, elle choisit un nombre réel
> 0 comme premier terme de sa suite qu'elle fait connaître à tous les participants puis elle calcule le second terme en faisant la somme des termes choisis précédemment par les n ‒ 1 personnes. Ce second terme est également annoncé à tous. Et ainsi de suite, au k-ième tour, elle calcule le k-ième terme de sa suite en calculant la somme des termes calculés par les n ‒ 1 personnes au tour précédent.
Q1 Zig entouré de ses sept camarades commence par écrire un entier N puis au tour suivant il écrit à nouveau un entier. Quelques tours plus tard, il obtient le nombre entier 2017. Calculer N et en déduire le 7-ième terme de la suite de Zig.
Q2 Certains camarades de Zig en nombre p quittent le groupe. Tous ceux qui restent recommencent le jeu des suites. Zig choisit à nouveau l'entier N retenu dans le premier jeu. Il constate qu'au deuxième tour c'est le même entier que précédemment et quelques tours plus tard l'entier 2017 fait à nouveau son apparition. En déduire p.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
On a , . Le 7-ième terme dans Q1 vaut 691186.
Pour tout k fixé entre 1 et 8 le k-ième joueur écrira sur son papier une suite
de nombres réels positifs. Pour j=1,2,… on notera la somme des 8 valeurs choisies au j-ième tour par les 8 joueurs.
La règle du jeu donne immédiatement la formule valable pour tout k de 1 à 8 et pour tout . Sommant ces relations par rapport à k on obtient pour tout : ; donc d’où évidemment
Revenons aux valeurs écrites par le k-ième joueur. La formule devient d’où:
qui, à l’aide d’une fraction apparente, s’écrit :
Pour ce qui concerne Zig, qui choisit au premier tour, les premiers termes de la liste sont :
où, pour simplifier l’écriture, on a remplacé par . On sait que les deux premiers termes, et , sont des entiers ; donc aussi est entier. De plus, un des termes suivant le troisième vaut 2017. Si ce terme était le cinquième on aurait
d’où l’absurde car au moins un des premiers choix des autres joueurs devrait être négatifs ; le même type d’absurde suivrait si le terme en question était le sixième ou pire. La valeur 2017 doit donc paraitre en quatrième position ; et on a :
Ce qui donne pour le septième terme la valeur 691186.
Pour ce qui concerne Q2 la valeur 8 doit être remplacée par et les puissances de 7 dans la formule pour les sommes deviennent des puissances de ; on doit donc résoudre :
Puisque 47 est un nombre premier, on déduit que doit être un multiple de 47 ; à partir des factorisations et , on sait que doit être impair, et qu’il faut résoudre
pour un compris entre 1 et 5. La seule solution est donnée par et .
