Nom : . . . .
Prénom : . . . . Devoir n
o7
Nov. 2019 . . ./. . .
DM 04
Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation.Faites des phrases claires et précises.
Le barème est approximatif. La calculatrice est autorisée.
Présentation : 2 points
Exercice 1 : ...
On considère la fonctionf définie et dérivable sur l’ensembleRdes nombres réels par f(x) =x+ 1 + x
ex. On noteCsa courbe représentative.
1 Soitgla fonction définie et dérivable sur l’ensembleRparg(x) = 1−x+ ex.
Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonctiong surR(les limites deg aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues).
En déduire le signe deg(x).
2 Déterminer la limite def en−∞puis la limite def en +∞. 3 On appellef0la dérivée de la fonctionf surR.
Démontrer que, pour tout réelx,f0(x) =e−xg(x).
4 En déduire le tableau de variation de la fonctionf surR.
5 Démontrer que l’équationf(x) = 0 admet une unique solution réelleαsurR.
Démontrer que−1< α <0.
6 a. Démontrer que la droiteT d’équationy= 2x+ 1 est tangente à la courbeCau point d’abscisse 0.
b. Étudier la position relative de la courbeCet de la droiteT.
Exercice 2 : ...
La courbeCreprésente, dans un repère du plan, la fonction exponentielle. On considère les pointsA0(0; 0) etB0(0; 1).
Pour toutn∈N:Bnest le point deCde même abscissexnqueAn.
An+1est le point d’intersection de la tangente à la courbeCau pointBnet l’axe des abscisses.
Tnest le triangleAn+1AnBn.
La somme des aires des trianglesT0, T1,· · ·, Tnadmet-elle une limite quandntend vers +∞?
1
