DM2 TMATHS3

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DM 02

Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation.Faites des phrases claires et précises.

Le barème est approximatif. La calculatrice est autorisée.

Les suites en action !

Soit (u_n) la suite définie définie pour tout entiern≥1 paru_n= Pⁿ

k=1

1 k³ = 1

1³ + 1

2³ +· · ·+ 1 n³ 1 Montrer que la suite (u_n) est croissante.

2 a. Pour tout entiern≥1, démontrer que 1 n− 1

n+ 1= 1 n(n+ 1). b. Pour tout entiern≥1, démontrer que−1

n+ 1

(n+ 1)³ ≤ − 1 (n+ 1) 3 Montrer par récurrence que, pour tout entiern≥1,u_n≤2−1

n. 4 En déduire que (u_n) est convergente.

On considère la suite numérique (u_n) définie surNpar :

u0= 2 et pour tout entier natureln, un+1=−1

2u_n²+ 3u_n−3 2. Partie A : Conjecture

1 Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, deu₁etu₂. 2 Donner une valeur approchée à 10⁻⁵près des termesu₃etu₄.

3 Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (u_n).

Partie B : Validation des conjectures

On considère la suite numérique (v_n) définie pour tout entier natureln, par : v_n=u_n−3.

1 Montrer que, pour tout entier natureln, v_n+1=−1 2v²_n.

2 Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln,−16vn60.

3 a. Démontrer que, pour tout entier natureln, vn+1−vn=−vn

1 2vn+ 1

. b. En déduire le sens de variation de la suite (v_n).

4 Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite (vn) converge ? 5 On note`la limite de la suite (v_n).

On admet que`appartient à l’intervalle [−1 ; 0] et vérifie l’égalité :`=−1 2`². Déterminer la valeur de`.

6 Les conjectures faites dans lapartie Asont-elles validées ?*

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