Les ROC de spécialité données au bac
Pondichéry avril 2015, ex 4 :
On désigne par , et trois entiers naturels non nuls tels que PGCD(, ) = 1.
Prouver, à l’aide du théorème de Gauss, que :
Si divise et c divise a alors le produit bc divise a.
Pondichéry avril 2012, ex 4 :
Soit , , , des entiers relatifs et un entier naturel non nul.
Montrer que si ≡ (mod ) et ≡ (mod ) alors ≡ (mod ).
Amérique du Nord mai 2011, ex 3 :
Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.
Asie juin 2011, ex 4 :
1. Prérequis : tout nombre entier strictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier.
Démontrer que tout nombre entier strictement supérieur à 1 est premier ou peut se décomposer en produit de facteurs premiers (on ne demande pas de démontrer l’unicité de cette décomposition).
2. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 629.
Métropole juin 2011, ex 4 :
On rappelle ci-dessous le théorème de BÉZOUT et le théorème de GAUSS.
Théorème de BÉZOUT : Deux entiers relatifs et sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple (; ) d’entiers relatifs vérifiant + = 1.
Théorème de GAUSS : Soient , , des entiers relatifs. Si divise le produit et si et sont premiers entre eux, alors divise .
1. En utilisant le théorème de BÉZOUT, démontrer le théorème de GAUSS.
2. Soient et deux entiers naturels tels que et sont premiers entre eux.
Déduire du théorème de GAUSS que, si est un entier relatif, tel que ≡ 0 [] et ≡ 0 [], alors ≡ 0 [].
Nouvelle Calédonie mars 2008, ex 2 :
Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addition, la multiplication et les puissances ?
Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication.
