Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, pn+1 = 1 5pn+ 1 5

TMATHS1 janvier 2021

Probabilités et suites

Exercice 1. — Un site internet propose un jeu en ligne. On sait que :

• si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est égale à 2 5.

• si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est égale à 4 5. Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par G_n l’évènement « l’internaute gagne la n−ième partie » et on note pn la probabilité de l’évènement Gn.

L’internaute gagne toujours la première partie et donc p₁ = 1.

1. Traduire l’énoncé par un arbre pondéré.

2. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, p_n+1 = 1

5p_n+ 1 5. 3. Pour tout entier natureln non nul, on poseu_n =p_n−1

4. a. Montrer que (u_n)_n∈N^∗ est une suite géométrique de raison 1

5 et préciser u₁. b. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, p_n= 3

4×

1

5

n−1

+ 1 4. c. Déterminer la limite de p_n quand n tend vers +∞.

Exercice 2. — On dispose de deux sacs qui contiennent des jetons. Le sac 1 contient 6 jetons rouges et 4 jetons blancs et le sac 2 contient 3 jetons rouges et 7 jetons blancs.

Partie A. — Dans cette partie, on tire successivement et avec remise 10 jetons dans le sac 1 et on noteX la variable aléatoire égale au nombre de jetons rouges obtenus.

1. Déterminer, en justifiant en détails, la loi de X.

2. Déterminer une valeur approchée à 10⁻³ près de la probabilité d’obtenir autant de jetons blancs que de jetons rouges.

3. Déterminer une valeur approchée à 10⁻³ près de la probabilité d’obtenir strictement plus de jetons rouges que de jetons blancs.

4. Déterminer la valeur exacte de la probabilité d’obtenir au moins un jeton rouge.

Partie B. — Dans cette partie, on tire successivement des jetons de la manière suivante. Au premier tirage, on choisit un sac au hasard et on tire un jeton dans ce sac. Ensuite, à chaque tirage, si on tire un jeton rouge, le jeton suivant est tiré dans le sac 1 et sinon il est tiré dans le sac 2. Dans tous les cas, après chaque tirage, le jeton est remis dans le sac où il a été tiré.

Pour tout n ∈N^∗, on noteR_n l’évènement « Tirer un jeton rouge aun−ième tirage » et B_n l’évènement « Tirer un jeton blanc aun−ième tirage ».

On note, pour tout n ∈N^∗, x_n la probabilité deR_n ety_n la probabilité de B_n. 1. Calculer les valeurs de x₁ ety₁.

2. Démontrer que, pour tout n∈N^∗, xn+1 = 0,6xn+ 0,3yn et yn+1 = 0,4xn+ 0,7yn. 3. Pour toutn ∈N^∗, on pose a_n=x_n+y_n etb_n= 4x_n−3y_n.

a. Démontrer que la suite (a_n)_n>1 est constante.

b. Démontrer que la suite (b_n)_n>1 est géométrique et en déduire, pour tout n ∈ N^∗, l’expression de bn en fonction den.

c. Déterminer, pour tout n ∈ N^∗, l’expression de x_n en fonction de n et en déduire le comportement asymptotique de (x_n)_n>1. Donner une interprétation de ce dernier résultat.