Diagonalisation
Cours de math´ ematiques de BCPST Deuxi` eme ann´ ee
Table des mati` eres
1 Inverse, puissance et polynˆome de matrices 2
1.1 Cas des matrices diagonales . . . 2
1.2 Cas des matrices diagonalisables . . . 3
1.2.1 D´efinition . . . 3
1.2.2 Inverse et Puissance . . . 4
1.3 Notion de Polynˆome de matrices . . . 5
1.3.1 D´efinition . . . 5
1.3.2 Dans le cas des matrices diagonales, diagonalisables . . . 6
1.4 Utilisation de puissance de matrice . . . 7
1.4.1 Chaˆıne de Markov . . . 7
1.4.2 Sch´ema d’Euler . . . 8
2 R´eduction de matrice 8 2.1 Notion de valeur propre . . . 9
2.2 Notion de Sous-espaces propres . . . 11
2.3 Recherche des valeurs propres . . . 12
3 Crit`eres de diagonalisabilit´e 14 3.1 Des conditions n´ecessaires et suffisantes . . . 14
3.2 Des conditions suffisantes . . . 17
3.2.1 Beaucoup de valeurs propres . . . 17
3.2.2 Matrice sym´etrique et `a coefficients r´eels . . . 17
3.3 Notion de Polynˆome annulateur . . . 18
4 Et les endomorphismes ? 20 4.1 Matrice de changement de bases . . . 20
4.1.1 D´efinition . . . 20
4.1.2 Propri´et´es des matrices de passage . . . 21
4.1.3 Changement de base pour un vecteur. . . 21
4.1.4 Changement de base pour une application lin´eaire. . . 21
4.1.5 Matrices semblables. . . 22
4.2 Endomorphisme diagonalisable . . . 23
4.2.1 D´efinition . . . 23
4.2.2 Notion d’´el´ement propre . . . 23
4.2.3 Liens avec les matrices . . . 25
4.3 Recherche des valeurs propres . . . 28
4.4 Crit`eres de diagonalisabilit´e . . . 28
5 Exercices du td 32
Dans tout ce chapitre, on note :
• K pour d´esigner R ouC.
• n un entier naturel non nul.
• G un Kespace vectoriel (pas forc´ement de dimension finie).
• F unK espace vectoriel de dimension finie.
• E un K espace vectoriel de dimensionn.
1 Inverse, puissance et polynˆ ome de matrices
Les matrices carr´ees diagonales ont des propri´et´es calculatoires tr`es int´eressantes. Les exemples les plus marquants sont ceux de la mise `a la puissance ou de l’inversion. Le but de ce chapitre va ˆetre d’essayer de transformer des probl`emes matriciels p´enibles et calculatoires en des probl`emes simples ne faisant intervenir que des matrices diagonales.
1.1 Cas des matrices diagonales
On note D la matrice
δ1 0 . . . 0 0 δ2 . .. ...
... . .. ... 0 0 . . . 0 δn
avec (δ1,· · · , δn) un ´el´ement de Kn.
• D est inversible si et seulement si, pour tout i de J1, nK, δi est non nul. Si tel est le cas, on a :
D−1 =
1
δ1 0 . . . 0 0 δ1
2 . .. ...
... . .. ... 0 0 . . . 0 δ1
n
.
• Pour tout entier naturel r, on a :
Dr =
δ1r 0 . . . 0 0 δ2r . .. ...
... . .. ... 0 0 . . . 0 δnr
. Proposition 1
, Exemple :
1 0 0 0 3 0 0 0 5
est inversible car 1, 3 et 5 sont tous les trois non nuls et :
1 0 0 0 3 0 0 0 5
−1
=
1 0 0 0 1
3 0 0 0 1
.
Chapitre 9: Diagonalisation Inverse, puissance et polynˆome de matrices
On a aussi :
1 0 0 0 3 0 0 0 5
3
=
1 0 0
0 27 0 0 0 125
.
1.2 Cas des matrices diagonalisables
1.2.1 D´efinition
Soit A une matrice d’ordre n.A est dite diagonalisable s’il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale ∆ telles que
A=P ×∆×P−1. D´efinition 2
, Exemple :
1.
5 4 0
−2 −1 0
2 2 5
est diagonalisable car
1 0 0 0 3 0 0 0 5
est diagonale et :
5 4 0
−2 −1 0
2 2 5
=P ×
1 0 0 0 3 0 0 0 5
×P−1
avec P =
−1 2 0 1 −1 0 0 −1 1
.
2. Si D est une matrice diagonale d’ordren alors D est diagonalisable car D est diagonale et D=In×D×In−1.
3. On reprend la notation de la pr´ec´edente d´efinition.P−1×A×P est alors une matrice diagonale.
+ Mise en garde :
On utilise les notations de la pr´ec´edente d´efinition.
1. Le produit de matrices diagonalisables n’est pas forc´ement diagonalisable. La somme de ma- trices diagonalisables n’est pas forc´ement diagonalisable.
2. Dans la d´efinition pr´ec´edente, ce n’est pas parce qu’il existe une matriceQinversible telle que Q−1×A×Qsoit diagonale que c’est vrai pour toutes les matricesQinversibles ! Par exemple, on a :
1 1 1 0 2 2 0 0 4
×
1 −1 −1
0 2 −1
0 0 3
×
1 1 1 0 2 2 0 0 4
−1
=
1 0 0 0 2 0 0 0 3
et on note que :
1 0 1 0 2 2 0 0 4
×
1 −1 −1
0 2 −1
0 0 3
×
1 0 1 0 2 2 0 0 4
−1
=
1 −0,5 0,5
0 2 0
0 0 3
.
3. Dans la d´efinition pr´ec´edente, ce n’est pas parce qu’il existe une matriceP inversible telle que P−1×A×P soit diagonale que P ×A×P−1 sera aussi diagonale. Par exemple, on a :
1 1 1 0 2 2 0 0 4
−1
×
1 −1 −1
0 2 −1
0 0 3
×
1 1 1 0 2 2 0 0 4
=
1 −3 −5
0 2 −3
0 0 3
.
4. Quand on ´ecrit A sous la forme P ×∆×P−1 avec P inversible et ∆ diagonale alors il est possible de trouver une matrice Q inversible et une matrice D diagonale telle que A soit Q×D×Q−1 avec Q6=P et ∆6=D, on ne peut pas, a priori, identifier. Par exemple, on a :
1 1 1 0 2 2 0 4 0
−1
×
1 0 0 0 3 0 0 0 2
×
1 1 1 0 2 2 0 4 0
=
1 −1 −1
0 2 −1
0 0 3
et on note que :
1 1 1 0 2 2 0 0 4
−1
×
1 0 0 0 2 0 0 0 3
×
1 1 1 0 2 2 0 0 4
=
1 −1 −1
0 2 −1
0 0 3
.
1.2.2 Inverse et Puissance
On pose A = P ×∆×P−1 avec P une matrice inversible d’ordre n et ∆ la matrice
δ1 0 . . . 0 0 δ2 . .. ...
... . .. ... 0 0 . . . 0 δn
avec (δ1,· · · , δn) un ´el´ement deKn.
• A est inversible si et seulement si, pour touti de J1, nK, δi est non nul. Si tel est le cas, on a :
A−1 =P ×
1
δ1 0 . . . 0 0 δ1
2 . .. ...
... . .. ... 0 0 . . . 0 δ1
n
×P−1.
• Pour tout entier naturel r, on a :
Ar =P ×
δ1r 0 . . . 0 0 δ2r . .. ...
... . .. ... 0 0 . . . 0 δnr
×P−1. Proposition 3
Chapitre 9: Diagonalisation Inverse, puissance et polynˆome de matrices
, Exemple : On a vu que
5 4 0
−2 −1 0
2 2 5
=P ×
1 0 0 0 3 0 0 0 5
×P−1 avecP =
−1 2 0 1 −1 0 0 −1 1
. On en d´eduit
que
5 4 0
−2 −1 0
2 2 5
est inversible car 1, 3 et 5 sont tous les trois non nuls et :
5 4 0
−2 −1 0
2 2 5
−1
=P ×
1 0 0 0 1
3 0 0 0 1 5
×P−1
= 1 15
−15 10 0
15 −5 0
0 −5 3
×
1 2 0 1 1 0 1 1 1
= 1 15
−5 −20 0
10 25 0
−2 −2 3
On a aussi :
5 4 0
−2 −1 0
2 2 5
3
=P ×
1 0 0
0 27 0 0 0 125
×P−1
=
−1 54 0
1 −27 0
0 −27 125
×
1 2 0 1 1 0 1 1 1
=
53 52 0
−26 −25 0
98 98 125
1.3 Notion de Polynˆ ome de matrices
* Remarque :
Attention, le concept de polynˆome de matrices n’est pas au programme.
1.3.1 D´efinition
Si A est un matrice carr´ee d’ordre p et P est le polynˆome p0+p1X +· · ·+pnXn avec (p0, p1,· · · , pn) un ´el´ement de Cn+1 alors on note :
P(A) =p0Ip+p1A+· · ·+pnAn. D´efinition 4
, Exemple :
PosonsP = 2X2+X3−1 et A=
1 1 1 0 0 2 0 0 1
. On a :
A2 =
1 1 4 0 0 2 0 0 1
et A3 =
1 1 7 0 0 2 0 0 1
.
On en d´eduit :
P(A) = 2A2+A3−I3
= 2×
1 1 4 0 0 2 0 0 1
+
1 1 7 0 0 2 0 0 1
−
1 0 0 0 1 0 0 0 1
=
2 3 15
0 −1 6
0 0 2
1.3.2 Dans le cas des matrices diagonales, diagonalisables
On note D la matrice
δ1 0 . . . 0 0 δ2 . .. ...
... . .. ... 0 0 . . . 0 δn
avec (δ1,· · · , δn) un ´el´ement de Kn. Si Q est un polynˆome, on a :
Q(D) =
Q(δ1) 0 . . . 0 0 Q(δ2) . .. ... ... . .. . .. 0 0 . . . 0 Q(δn)
. Proposition 5
, Exemple :
SiQ est le polynˆome 1 + 2X+X2, alors : Q
1 0 0 0 3 0 0 0 5
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
+ 2
1 0 0 0 3 0 0 0 5
+
1 0 0 0 3 0 0 0 5
2
=
Q(1) 0 0
0 Q(3) 0
0 0 Q(5)
=
4 0 0
0 16 0
.
Chapitre 9: Diagonalisation Inverse, puissance et polynˆome de matrices
On pose A = P ×∆×P−1 avec P une matrice inversible d’ordre n et ∆ la matrice
δ1 0 . . . 0 0 δ2 . .. ...
... . .. ... 0 0 . . . 0 δn
avec (δ1,· · · , δn) un ´el´ement deKn. Si Q est un polynˆome, on a :
Q(A) =P ×
Q(δ1) 0 . . . 0
0 Q(δ2) 0 ...
... . .. . .. . .. ...
... 0 Q(δn−1) 0
0 . . . 0 Q(δn)
×P−1. Proposition 6
, Exemple :
SiQ est le polynˆome 1 + 2X +X2, alors comme
5 4 0
−2 −1 0
2 2 5
=P ×
1 0 0 0 3 0 0 0 5
×P−1 avec P =
−1 2 0 1 −1 0 0 −1 1
5 4 0
−2 −1 0
2 2 5
, on obtient que :
Q
5 4 0
−2 −1 0
2 2 5
=P ×
Q(1) 0 0
0 Q(3) 0
0 0 Q(5)
×P−1
=
−1 2 0 1 −1 0 0 −1 1
×
4 0 0
0 16 0 0 0 36
×
1 2 0 1 1 0 1 1 1
=
28 24 0
−12 −8 0 20 20 36
.
1.4 Utilisation de puissance de matrice
1.4.1 Chaˆıne de Markov
Imaginons la situation suivante : un syst`eme a trois ´etat possible : A, B et C. Ce syst`eme change d’´etat `a chaque heure. A une heure donn´e, on estime que, si le syst`eme ´etait dans l’´etat A, la probabilit´e que le syst`eme passe dans l’´etat B est depAB (resp.pAC pour passer dans l’´etat C et pAA pour rester dans l’´etat A). On d´efinit aussi pBA, ..., pCC. Si pour tout entier naturel n, on appelle
an, bn et cn les probabilit´es respectifs des ´ev´enements ”Le syst`eme est dans l’´etat A (resp. B, C) `a l’heuren”, alors on a :
an+1 = pAAan+pBAbn+pCAcn bn+1 = pABan+pBBbn+pCBcn cn+1 = pACan+pBCbn+pCCcn ce qui s’exprime simplement sous forme matricielle :
Un+1 =M ×Un
o`u on a pos´e Un =
an bn cn
et M =
pAA pBA pCA pAB pBB pCB pAC pBC pCC
. Une r´ecurrence triviale donne alors que, pour tout entier naturel n, on a :
Un=Mn×U0.
Il s’agit d’une chaˆıne de Markov, nous en parlerons dans le chapitre ”Espace probabilis´e”.
1.4.2 Sch´ema d’Euler
Les puissances de matrices apparaissent aussi naturellement dans l’´etude des suites r´ecurrentes et, via le sch´ema d’Euler, dans la r´esolution num´erique d’´equations diff´erentielles. Supposons a, b, c etd quatre r´eels connus et (un)n∈N d´etermin´ee par :
u0 =d, u1 =e, u2 =f et, pour tout entier naturel n, un+3=aun+2+bun+1+cun. Pour tout entier natureln, on poseZn=
un un+1 un+2
. On a alorsZn+1 =M×ZnavecM =
0 1 0 0 0 1 c b a
puis, pour tout entier naturel p, on a :
Zp =Mp×Z0.
2 R´ eduction de matrice
* Remarque :
Diagonaliser, r´eduire une matrice A consiste `a trouver une matrice inversible P et une matrice diagonale ∆ telle que :
A=P ×∆×P−1.
Il est pour l’instant difficile de d´eterminer si une matrice est diagonalisable ou non avec la d´efinition donn´ee. Dans la suite du chapitre, nous allons ´etablir des crit`eres plus faciles `a exploiter pour ´etablir qu’une matrice Aest, ou non, diagonalisable et trouver aussi au passage une matrice inversible P et une matrice diagonale ∆ telle que :A=P ×∆×P−1.
Chapitre 9: Diagonalisation R´eduction de matrice
2.1 Notion de valeur propre
On pose A = P ×∆×P−1 avec P une matrice inversible d’ordre n et ∆ la matrice
δ1 0 . . . 0 0 δ2 . .. ...
... . .. ... 0 0 . . . 0 δn
avec (δ1,· · · , δn) un ´el´ement de Kn. Si on appelle X1, X2, · · ·, Xn
les diff´erents vecteurs colonnes deP alors, pour touti de J1, nK, on a : Xi 6= 0 et AXi =δiXi.
Proposition 7
Soit A une matrice d’ordre n etλ un scalaire.
• On dit queλ est une valeur propre deA si et seulement s’il existe une matrice X deMn,1(K) telle que :
A×X =λ×X et X 6= 0Mn,1(K).
Une telle matrice est alors appel´ee vecteur propre de A associ´e `a la valeur propre λ.
• L’ensemble des valeurs propres deA est appel´e le spectre de Aet est not´eSp(A).
D´efinition 8
* Remarque :
1. Un vecteur propre ne peut pas ˆetre associ´e `a deux valeurs propres distinctes.
2. Un vecteur propre ne doit pas ˆetre nul. Par contre, 0 peut ˆetre valeur propre. Par exemple, si A est la matrice
1 1 1 1
, comme on a : A×
−1 1
= 0× −1
1
et
−1 1
6=
0 0
On peut donc affirmer que 0 est valeur propre de A.
−1 1
est un vecteur propre de A associ´e `a la valeur propre 0.
3. A une valeur propre n’est pas associ´ee qu’un vecteur propre, `a une valeur propre est toujours associ´ee une infinit´e de vecteurs propres. Par exemple, pour tout complexeanon nul,
−a a
est un vecteur propre de
1 1 1 1
associ´ee `a la valeur propre 0 car, pour tout complexe non nul a, on a :
1 1 1 1
× −a
a
= 0× −a
a
et
−a a
6=
0 0
.
, Exemple :
1. Soit A la matrice
5 4 0
−2 −1 0
2 2 5
. Comme on a :
A×
−1 1 0
= 1×
−1 1 0
, A×
2
−1
−1
= 3×
2
−1
−1
et A×
0 0 1
= 5×
0 0 1
On peut affirmer que 1, 3 et 5 sont trois valeurs propres de A.
−1 1 0
est un vecteur propre de A associ´e `a la valeur propre 1,
2
−1
−1
est un vecteur propre de A associ´e `a la valeur propre 3 et
0 0 1
est un vecteur propre de A associ´e `a la valeur propre 5.
2. Soit A une matrice d’ordre n telle que la somme des lignes de A vaut toujours a, a scalaire fix´e. Dans ce cas, a est une valeur propre deA puisqu’on a :
A×
1
... 1
=a
1
... 1
et que
1
... 1
n’est pas la matrice nulle. a est donc une valeur propre deA et
1 ... 1
est un vecteur propre associ´e `aa.
+ Mise en garde :
On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition. Le fait qu’un vecteur propre est un vecteur non nul est extrˆemement important. Appelons X le vecteur colonne
0
· · · 0
. Pour tout scalaire λ, on a :
AX =
0
· · · 0
=λ×X.
Ainsi, si on n’imposait pas la non nullit´e du vecteur dans la d´efinition pr´ec´edente, tout scalaire serait valeur propre de A et la notion de valeur propre serait alors sans int´erˆet !
- Exercice 1 :
Soit A une matrice d’ordre n.
1. Montrer que les spectres de tA etA sont confondus.
2. Montrer que si A est diagonalisable alors sa transpos´ee l’est aussi.
Chapitre 9: Diagonalisation R´eduction de matrice
* Remarque :
Soit A une matrice d’ordre n telle que la somme des colonnes de A vaut toujours a, a scalaire fix´e.
Dans ce cas, a est une valeur propre de A puisqu’on a vu que, si une B ´etait une matrice d’ordre n telle que la somme des lignes deA vaut toujours b, b scalaire fix´e, alorsb ´etait une valeur propre de B.
2.2 Notion de Sous-espaces propres
Soient A une matrice d’ordre n etλun scalaire. Le sous-espace propre deA associ´e `a λ est Ker (A−λ×In), on le noteEλ, c’est l’ensemble des vecteursX deMn,1(C) tels que AX =λX.
D´efinition 9
Soient A une matrice d’ordre n et λ un scalaire. La dimension de Ker (A−λ×In) est n−rang (A−λ×In).
Proposition 10
* Remarque :
On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition.
1. Pour tout scalaire λ, Eλ est Ker (A−λ×In). Pour tout scalaire λ, λ est donc valeur propre de A si et seulement siEλ 6=
0Mn,1(C) , i.e. si et seulement si il existe des vecteurs propres de A associ´es `a λ.
2. Si λest une valeur propre de Aalors la dimension de Eλ vaut au moins un. Les ´el´ements non nuls de Eλ sont alors les vecteurs propres deA associ´es `a la valeur propre λ.
3. Si A n’est pas inversible, 0 est donc valeur propre de A et r´eciproquement. Le sous-espace propre de A associ´e `a 0 est le noyau deA.
, Exemple :
1. Soit A la matrice
5 0 0 0 5 0 0 0 3
. On prouve sans difficult´e que
1 0 0
,
0 1 0
est une base de E5 et
0 0 1
est une base de E3.
2. Soit A la matrice I4. On prouve sans difficult´e que
1 0 0 0
,
0 1 0 0
,
0 0 1 0
,
0 0 0 1
est une base de E1.
2.3 Recherche des valeurs propres
Soient A une matrice d’ordre n et λ un scalaire. On a l’´equivalence suivante : λ est valeur propre deA ⇐⇒A−λ×In n’est pas inversible
⇐⇒rang (A−λ×In)6=n Proposition 11
, Exemple :
1. In n’a qu’une valeur propre, c’est 1.
2. Soit A une matrice d’ordre n. Si A est triangulaire (en particulier si A est diagonale), alors ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux.
• Les spectres de tA etA sont confondus.
3. SoitA une matrice d’ordre n. Si A est non inversible alors 0 est une de ses valeurs propres et E0 est le noyau de A.
4. Posons A=
5 −1 −1
2 2 −1
2 −1 2
. Pour tout λ complexe, on a :
rang (A−λI3) = rang
2 −1 2−λ
2 2−λ −1
5−λ −1 −1
= rang
2 −1 2−λ
0 3−λ −3 +λ 0 3−λ −12 + 7λ−λ2
= rang
2 −1 2−λ
0 3−λ −3 +λ 0 0 9−6λ+λ2
Ceci prouve que la seule valeur propre deAest 3. On en d´eduit queAn’est pas diagonalisable car...
Soit A une matrice d’ordre 2. Pour tout scalaire λ, on a :
λ est valeur propre deA ⇐⇒d´et (A−λ×I2) = 0.
Proposition 12
Chapitre 9: Diagonalisation R´eduction de matrice
* Remarque :
On rappelle que le d´eterminant de
a b c d
, avec a,b, cetd quatre complexes, est ad−bc.
M´ethode:
Soit A une matrice d’ordre n. On a deux fa¸cons pour trouver Sp(A) :
• Par le rang :
On calcule, pour tout scalaireλ, le rang deA−λIn (en l’´echelonnant). Les valeurs propres de A sont les scalaires λ telles que le rang de A−λIn soit strictement inf´erieur `a n.
• Par un syst`eme :
On fixe un scalaire λ et on r´esout le syst`eme suivant :
A
x1 x2
... xn
=λ
x1 x2
... xn
d’inconnue
x1 x2 ... xn
appartenant `aMn,1(K). Ce syst`eme n’a qu’une solution, qui est
0 0 ... 0
,
quand λ n’est pas valeur propre. Sinon, si il y a une autre solution que
0 0 ... 0
, cela signifie que λ est une valeur propre. L’ensemble des solutions du syst`eme suivant :
A
x1 x2 ... xn
=λ
x1 x2 ... xn
d’inconnue
x1 x2 ... xn
est Eλ.
3 Crit` eres de diagonalisabilit´ e
3.1 Des conditions n´ ecessaires et suffisantes
Soit A une matrice d’ordre n.
• On suppose que (λ1,· · · , λp) est une famille de valeurs propres deux-`a-deux dis- tinctes de A. Pour tout i de J1, pK, on note Xi un vecteur propre de A associ´e `a la valeurs propre λi. La famille (X1, . . . , Xp) est libre.
• On suppose que (λ1,· · · , λp) est une famille de valeurs propres deux-`a-deux dis- tinctes de Aet que Sp(A) ={λ1,· · · , λp}. On note, pour touti deJ1, pK,Bi une base de Eλi. La famille obtenue par juxtaposition des bases Bi est une famille libre.
Th´eor`eme 13
Soit A une matrice d’ordre n.
• A admet au plus n valeurs propres distinctes.
• SiSp(A) = {λ1,· · ·, λp} alors :
p
X
k=1
dim(Eλk)6n.
Th´eor`eme 14
* Remarque :
On utilise les notations du pr´ec´edent th´eor`eme.
1. On peut ˆetre plus pr´ecis que cet th´eor`eme en disant que, grˆace au th´eor`eme du rang,Aadmet au plus rang(A) valeurs propres non nulles distinctes.
2. A admet au moins une valeur propre complexe.
3. Si A est `a cœfficients r´eels alors A peut n’admettre aucune valeur propre r´eelle. Ses valeurs complexes sont n´ecessairement conjugu´ees.
Soit A une matrice d’ordre n.
• Aest diagonalisable si et seulement si la concat´enation de bases de ses sous-espaces propres donnent une base de Mn,1(K).
• SiSp(A) = {λ1,· · ·, λp} alors :
A est diagonalisable⇐⇒
p
X
k=1
dim(Eλk) =n.
Th´eor`eme 15
Chapitre 9: Diagonalisation Crit`eres de diagonalisabilit´e
M´ethode:
On utilise les notations du pr´ec´edent th´eor`eme. Ainsi, pour savoir si A est diagonalisable, on va
´evaluer les dimensions de ses sous-espaces propres (par le th´eor`eme du rang) et on va les ajouter.
Deux possibilit´es :
1. Si cette somme vaut n, A est diagonalisable.
2. Sinon, A n’est pas diagonalisable.
, Exemple :
1. Les matrices diagonales sont diagonalisables et on retrouve facilement que
p
X
k=1
dim(Eλk) = n.
2.
7 0 0
4 −1 0 6 −3 −4
est diagonalisable car....
3.
7 0 0 4 7 0 0 0 7
n’est pas diagonalisable car...
SoitAune matrice diagonalisable d’ordren. Il existe (X1,· · · , Xn) une base deMn,1(K) constitu´ee de vecteurs propres de A. On a alors :
A=P ×∆×P−1
avec P la matrice dont les colonnes sont X1, X2, · · ·, Xn et ∆ la matrice
λ1 0 . . . 0
0 λ2 0 ...
... . .. ... ... ... ... 0 λn−1 0 0 . . . 0 λn
(avec, pour tout ideJ1, nK,λi est d´efinie par : AXi =λiXi).
Proposition 16
* Remarque :
On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition.
1. Les vecteurs propres interviennent dans le mˆeme ordre dansP que les valeurs propres associ´ees qu’on trouve dans D. Si on change les colonnes de la matrice D, la matriceP changera aussi.
2. Finalement, pour obtenir la matrice P qu’on cherchait dans l’´ecriture P ×D×P−1, on a besoin d’une base de Mn,1(K) constitu´ee de vecteurs propres deA. Il faut donc ˆetre capable d’obtenir une base de vecteurs propres, la m´ethode suivante l’explique !
3. Il est possible qu’il y a ait des quantit´es qui se r´ep`etent dans la matrice D, chaque valeur propre va apparaˆıtre autant de fois que la dimension de son sous-espace propre associ´e.
M´ethode:
On utilise les notations du pr´ec´edent th´eor`eme. Ainsi, pour diagonaliser une matrice Ad’ordren, on va :
1. Etape 1 :´ On prouve que A est diagonalisable : En calculant le rang de A−λIn, on trouve ses valeurs propres puis les dimensions de ses sous-espaces propres. Si la somme de ces di- mensions vaut n, A est diagonalisable et on passe `a la prochaine ´etape. Sinon, elle n’est pas diagonalisable.
2. Etape 2 :´ On note (X1,· · · , Xn) une base de vecteurs propres de A : cette base est obtenue en explicitant une base de chaque sous-espace propre (en r´esolvant, pour λ valeur propre de A, l’´equation AX = λX d’inconnue X dans Mn,1(K)). Pour tout i de J1, nK, on note λi la valeur propre de A telle queAXi =λiXi. On a alors :
A=P ×∆×P−1
avec ∆ la matrice
λ1 0 . . . 0
0 λ2 0 ...
... . .. ... ... ... ... 0 λn−1 0 0 . . . 0 λn
etP la matrice d’ordren telle que, pour tout i
de J1, nK, la colonne i estXi. , Exemple :
5 4 0
−2 −1 0
2 2 5
est diagonalisable car :
5 4 0
−2 −1 0
2 2 5
=
−1 2 0 1 −1 0 0 −1 1
×
1 0 0 0 3 0 0 0 5
×
−1 2 0 1 −1 0 0 −1 1
−1
On note qu’une base de vecteurs propres de
5 4 0
−2 −1 0
2 2 5
est
−1 1 0
,
2
−1
−1
,
0 0 1
:
1.
−1 1 0
est un vecteur propre de
5 4 0
−2 −1 0
2 2 5
associ´ee `a la valeur propre 1.
2.
2
−1
−1
est un vecteur propre de
5 4 0
−2 −1 0
2 2 5
associ´ee `a la valeur propre 3.
3.
0 0 1
est un vecteur propre de
5 4 0
−2 −1 0
2 2 5
associ´ee `a la valeur propre 5.
On a au passage :
5 4 0
−2 −1 0
=
· · · ·
· · · ·
×
3 0 0 0 1 0
×
· · · ·
· · · ·
Chapitre 9: Diagonalisation Crit`eres de diagonalisabilit´e
5 4 0
−2 −1 0
2 2 5
=
· · · ·
· · · ·
· · · ·
×
5 0 0 0 3 0 0 0 1
×
· · · ·
· · · ·
· · · ·
6 Un peu de python:
Listing 1 – diag.py i m p o r t n u m p y as np
i m p o r t s c i p y.l i n a l g as l i n a l g
def d i a g(A, P) :
if l i n a l g.det(P) = = 0 :
r e t u r n " Erreur , P n est pas i n v e r s i b l e ! "
e l s e:
Z=np.dot(P, A)
D=np.dot(Z, l i n a l g.inv(P)) r e t u r n D, l i n a l g.eig(A)
3.2 Des conditions suffisantes
3.2.1 Beaucoup de valeurs propres
Soit Aune matrice d’ordren. SiA admetn valeurs propres distinctes alors Aest diago- nalisable.
Proposition 17
, Exemple : 2 2
1 1
est diagonalisable car elle a deux valeurs propres : 1. 0 car son rang n’est pas 2.
2. 3 car sa somme par colonne vaut toujours 3.
+ Mise en garde :
Cette condition n’est pas n´ecessaire et suffisante mais juste suffisante. I3 n’a qu’une valeur propre et est pourtant diagonalisable.
3.2.2 Matrice sym´etrique et `a coefficients r´eels
SoitAune matrice. SiAest sym´etrique et `a coefficients r´eels alors elle est diagonalisable.
De plus, il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale ∆ telles que A=P ×∆×tP.
Proposition 18
* Remarque :
Cette proposition est bien pratique, elle permet d’affirmer tout de suite qu’une matrice sym´etrique et `a coefficients r´eels est diagonalisable. De plus, on n’a pas besoin de calculer P−1 de la proposition pr´ec´edente puisque c’est tP. Attention, si on ne choisit pas bien la matrice des vecteurs propres, on obtient que la formeQ×∆×Q−1 et pas P ×∆×tP. On verra dans le chapitre ”espace euclidien”
comment faire.
+ Mise en garde :
On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition. Attention, A doit ˆetre sym´etrique et `a coef- ficients r´eels (et pas complexes). Par exemple,
1 i i −1
n’est pas diagonalisable et est pourtant sym´etrique.
, Exemple : On pose J =
1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
. J est une matrice sym´etrique et `a coefficients r´eels. J est donc diagonalisable.
3.3 Notion de Polynˆ ome annulateur
* Remarque :
Cette partie n’´etant pas explicitement au programme, il faut savoir d´emontrer ces propositions afin de les utiliser !
Soient A une matrice d’ordre n et λ un scalaire. Soient a0,· · · , ap, p+ 1 scalaires. SiX est un vecteur propre de A associ´e `a la valeur propre λ alors :
Pour tout entier naturelk, on a :AkX =λk×X et (a0In+a1A+· · ·+apAp)×X = (a0+a1λ+· · ·+apλp)X.
Proposition 19
Chapitre 9: Diagonalisation Crit`eres de diagonalisabilit´e
Soient A une matrice carr´ee d’ordre n et a0,· · · , ap, p+ 1 scalaires. On suppose que λ est une valeur propre de A. Si on a :
a0In+a1A+a2A2+· · ·+apAp = 0n alors a0+a1λ+a2λ2+· · ·+apλp = 0.
Proposition 20
* Remarque :
On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition. Un tel polynˆome s’appelle polynˆome annulateur deA. Cette notion n’est pas au programme mais est tr`es souvent utilis´ee. Pour invoquer cette notion, vous devez donc ˆetre capable de refaire la d´emonstration...
, Exemple : On poseA=
0.9 −0.6 −0.5 0.1 1.6 0.5 0.1 0.6 1.5
. On constate queA3−6A2+11A−6I3 = 0. OrX3−6X2+11X−6 est (X−1)(X−2)(X−3), on peut donc affirmer que...
M´ethode:
On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition. Ainsi, si on dispose d’un polynˆomeP annulateur de A alors on ´evalue ses racines. On sait que les valeurs propres de A sont `a rechercher parmi les racines de P.
+ Mise en garde :
On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition. Une racine d’un polynˆome annulateur de A n’est pas n´ecessairement une valeur propre de A. Ainsi, I2 annule X2−1, −1 aussi mais −1 n’est pas une valeur propre deI2.
* Remarque :
On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition. A a au moins un polynˆome annulateur. En effet, la famille (Ip, A, A2, . . . , Ap2) est li´ee car...
- Exercice 2 : On pose J =
0 1 0 0 0 1 1 0 0
.
1. (a) Calculer J2 et J3.
(b) En d´eduire les valeurs propres possibles de J. (c) CalculerJ×
1 m m2
avec m un complexe tel quem3 = 1 et en d´eduire que J est diagona- lisable.
2. En d´eduire que
a b c c a b b c a
(avec a, b et c trois complexes) est diagonalisable. Donner ses
´
el´ements propres.
4 Et les endomorphismes ?
Prenons f un endomorphisme de E. f a de nombreuses matrices associ´ees (une infinit´e, il suffit de changer de base). On souhaiterait obtenir, pour simplifier les d´emarches, obtenir une matrice diagonale. Dans un premier temps, on va tenter d’´etablir un lien entre :
1. MatC(x) et MatB(x) 2. MatC,T (f) et MatB,D(f)
avecx un vecteur de E,C etB deux bases de E, f une application lin´eaire de E dans F et enfin D etT deux bases de F.
4.1 Matrice de changement de bases
4.1.1 D´efinition
Soient B = (b1, . . . , bn) et C = (c1, . . . , cn) deux bases de E. On consid`ere la matrice P dont les colonnes sont constitu´ees des coordonn´ees de chaque vecteur de C dans la base B. Si, pour tout j ∈J1, nK, on a :
cj =a1,jb1 +a2,jb2+· · ·+an,jbn
alors P est
a1,1 · · · a1,n
... . .. ... an,1 · · · an,n
. On dit que P est la matrice de passage deB `a C et on la notePB→C.
D´efinition 21
, Exemple :
1. ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) et ((1,1,1),(0,1,0),(0,0,1)) deux bases deR3. La matrice de pas- sage de ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) `a ((1,1,1),(0,1,0),(0,0,1)) est...., la matrice de passage de ((1,1,1),(0,1,0),(0,0,1)) `a ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) est...
2. (1, X, X2) et (1 +X+X2, X, X2) deux bases deR2[X]. La matrice de passage de (1, X, X2) `a (1 +X+X2, X, X2) est...., la matrice de passage de (1 +X+X2, X, X2) `a (1, X, X2) est...
Chapitre 9: Diagonalisation Et les endomorphismes ?
SoientB = (b1, . . . , bn) etC = (c1, . . . , cn) deux bases de E. Soit P la matrice de passage deB `a C. On a :
• P est la matrice, relativement `a la base B de l’endomorphisme qui, pour tout i de J1, nK, envoie bi surci.
• P est la matrice, relativement `a la base C au d´epart et B `a l’arriv´ee de IdE. P est MatC,B(IdE).
Proposition 22
4.1.2 Propri´et´es des matrices de passage
Soient B et C deux bases de E. Soit P la matrice de passage de B `a C.
• P est inversible et son inverse est la matrice de passage de C `a B.
• Si C et B sont confondues alors P estIn. Proposition 23
* Remarque :
Soit C = (c1, . . . , cn) une base de E et P MatB(f(c1), . . . , f(cn)). P est inversible si et seulement si (f(c1), . . . , f(cn)) est une base de E et, dans ce cas, P est une matrice de passage.
4.1.3 Changement de base pour un vecteur.
SoientB etC deux bases deE. Soit P la matrice de passage de B`a C. Soit xun ´el´ement deE. On pose :
XC = MatC(x) et XB = MatB(x) On a :
XB =P ×XC. Proposition 24
4.1.4 Changement de base pour une application lin´eaire.
Soient B et C deux bases de E et f un endomorphisme de E. Soient P la matrice de passage de B `a C, on a :
MatB(f) = P ×MatC(f)×P−1. Proposition 25
4.1.5 Matrices semblables.
Soient C et B deux matrices d’ordre n. On dit que C et B sont semblables s’il existe une matriceP inversible telle que :
B =P ×C×P−1. D´efinition 26
* Remarque :
SiB est P ×C×P−1 avecC une matrice d’ordre n et P une matrice inversible alors :
• B est inversible si et seulement siC l’est ; Si tel est le cas, on a : B−1 =P ×C−1×P−1.
• Pour tout entier naturel r, on a :
Br =P ×Cr×P−1.
• Soit Qun polynˆome. On a :
Q(B) =P ×Q(C)×P−1.
- Exercice 3 :
Soient A etB les deux matrices suivantes : A=
1 −1 0
1 0 −1
−1 0 2
et B =
1 1 0 0 1 1 0 0 1
.
1. A est-elle diagonalisable ?
2. Montrer queA et B sont semblables.
3. En d´eduireAn pour tout entier naturel n.
Soient C et B deux matrices d’ordre n. C et B sont semblables si et seulement si elles repr´esentent le mˆeme endomorphisme relativement `a des bases ´eventuellement distinctes et de cardinal n.
Proposition 27
, Exemple :
On noteB la base canonique de R3 etC la base ((1; 1; 0),(−1; 1; 0), ,(0; 0; 1)) de R3. Soit f l’appli- cation lin´eaire suivante :
f : (
R3 →R3
(x, y, z) 7→(x−y+ 4z,3x−z,0)
Chapitre 9: Diagonalisation Et les endomorphismes ?
On a :
MatB,B(f) =
1 −1 4
3 0 −1
0 0 0
et MatC,C(f) = 1 2
3 −5 3 3 −1 −5
0 0 0
.
On en d´eduit que
1 −1 4
3 0 −1
0 0 0
et 1 2
3 −5 3 3 −1 −5
0 0 0
sont semblables.
4.2 Endomorphisme diagonalisable
4.2.1 D´efinition
Soit f un endomorphisme de E. On dit quef est diagonalisable s’il existe B, une base deE, telle que MatB(f) soit diagonale.
D´efinition 28
+ Mise en garde :
Sif n’est pas un endomorphisme, f n’est pas diagonalisable. Si f est une application lin´eaire de E dans F avecE 6=F,f ne peut pas ˆetre diagonalisable (mˆeme si E etF ont mˆeme dimension !) 4.2.2 Notion d’´el´ement propre
* Remarque :
Si on veut qu’il existe une base deE dans laquelle la matrice def prenne une forme diagonale, cela signifie que, si v est l’un des vecteurs de cette base, alors les propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees :
1. v est non nul.
2. Il existe un scalaire λ tel que f(v) = λ×v.
Soient f un endomorphisme de G etλ un scalaire.
• On dit que λ est une valeur propre de f si et seulement s’il existe un vecteur x de G :
f(x) =λ×x et x6= 0G.
Un tel vecteur est alors appel´e vecteur propre de f associ´e `a la valeur propre λ.
• L’ensemble des valeurs propres de f est appel´e le spectre def et est not´e Sp(f).
• Le sous-espace propre de f associ´e `a λest Ker(f−λ×IdE), on le note Eλ, c’est l’ensemble des vecteurs x deE tels que f(x) = λx.
D´efinition 29
* Remarque :
1. Bien noter que, dans la proposition pr´ec´edente,Gest un espace vectoriel quelconque, ´eventuellement de dimension infinie.
2. Un vecteur propre ne peut pas ˆetre associ´e `a deux valeurs propres distinctes.
3. Un vecteur propre ne doit pas ˆetre nul. Par contre, 0 peut ˆetre valeur propre.
4. A une valeur propre n’est pas associ´ee qu’un vecteur propre, `a une valeur propre est toujours associ´ee une infinit´e de vecteurs propres.
, Exemple : 1. Soit f :
(
R3 →R3
(a, b, c) 7→(5a+ 4b,−(2a+b),2a+ 2b+ 5c). Comme on a :
f(−1,1,0) = 1×(−1,1,0), f(2,−1,−1) = 3×(2,−1,−1) et f(0,0,1) = 5×(0,0,1) et (−1,1,0)6= (0,0,0), (2,−1,−1)6= (0,0,0) et (0,0,1) 6= (0,0,0), on peut affirmer que 1, 3 et 5 sont trois valeurs propres de f. (−1,1,0) est un vecteur propre de f associ´e `a la valeur propre 1, (2,−1,−1) est un vecteur propre de f associ´e `a la valeur propre 3 et (0,0,1) est un vecteur propre de f associ´e `a la valeur propre 5.
2. Soit g : (
R[X] →R[X]
P 7→(X−1)×(P0−P0(1))−2 (P −P(1)). Comme on a X−16= 0 et : g(−1 +X) = −2×(−1 +X)
On peut affirmer que −2 est une valeur propres de g et −1 +X est un vecteur propre de g associ´e `a la valeur propre −2.
+ Mise en garde :
On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition. Le fait qu’un vecteur propre est un vecteur non nul est extrˆemement important. Pour tout scalaireλ, on a :
f(λ0E) = 0E
=λ×0E.
Ainsi, si on n’imposait pas la non nullit´e du vecteur dans la d´efinition pr´ec´edente, tout scalaire serait valeur propre de f et la notion de valeur propre serait alors sans int´erˆet !
Soient f un endomorphisme de E et λ un scalaire. La dimension de Ker(f −λ×IdE) estn−rang (f−λ×IdE).
Proposition 30
Chapitre 9: Diagonalisation Et les endomorphismes ?
* Remarque :
On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition.
1. Pour tout scalaire λ, Eλ est Ker(f−λ×IdE). Pour tout scalaire λ, λest donc valeur propre de f si et seulement si Eλ 6= {0E}, i.e. si et seulement si il existe des vecteurs propres de f associ´es `a λ.
2. Si λ est une valeur propre def alors la dimension deEλ vaut au moins un. Les ´el´ements non nuls de Eλ sont alors les vecteurs propres def associ´es `a la valeur propre λ.
3. Sif n’est pas injective, 0 est donc valeur propre def et r´eciproquement. Le sous-espace propre de f associ´e `a 0 est le noyau def.
, Exemple : Soit f :
(
C2[X] →C2[X]
a+bX+cX2 7→(5a+ 4b)−(2a+b)X+ (2a+ 2b+ 5c)X2. On constate que −1 +X
´etait un ´el´ement de E1. Par le th´eor`eme de rang, on voit que E1 est de dimension 1, on en d´eduit que (−1 +X) est une base de E1. De mˆeme, (2−X−X2) est est une base de E3 et (X2) est une base deE5.
4.2.3 Liens avec les matrices
Soient f un endomorphisme de E etB une base deE. On pose A= MatB(f). On a : f est diagonalisable ⇐⇒A estK-diagonalisable .
en disant queAestK-diagonalisable s’il existe une matrice inversibleP `a cœfficient dans K et une matrice diagonale ∆ `a cœfficient dans K telles que A=P ×∆×P−1.
Proposition 31
, Exemple : Soit f :
(
C2[X] →C2[X]
a+bX+cX2 7→(5a+ 4b)−(2a+b)X+ (2a+ 2b+ 5c)X2. f est diagonalisable car sa matrice canoniquement associ´ee est :
5 4 0
−2 −1 0
2 2 5
et on a vu que cette derni`ere ´etait diagonali- sable.
Soit f un endomorphisme de E. On pose A= MatB(f) avec B une base de E. Siλ est un scalaire etx un vecteur de E alors :
• Si x est un vecteur propre f associ´e `a la valeur propre λ alors MatB(x) est un vecteur propre de A associ´e `a la valeurλ.
• Si MatB(x) est un vecteur propre deA associ´e `a la valeurλ alorsx est un vecteur propre f associ´e `a la valeur propre λ.
Proposition 32
, Exemple : On a vu que :
A×
−1 1 0
= 1×
−1 1 0
, A×
2
−1
−1
= 3×
2
−1
−1
etA×
0 0 1
= 5×
0 0 1
avecA la matrice
5 4 0
−2 −1 0
2 2 5
. On a vu aussi que :
f(−1 +X) = 1×(−1 +X), f(2−X−X2) = 3×(2−X−X2) et f(X2) = 5×(X2) avec f :
(
C2[X] →C2[X]
a+bX +cX2 7→(5a+ 4b)−(2a+b)X+ (2a+ 2b+ 5c)X2. On se rend compte que A est la matrice canoniquement associ´ee `a f et que :
• 1 est une valeur propre de A et
−1 1 0
est un vecteur propre associ´e. 1 est donc une valeur propre de f et−1 +X est un vecteur propre associ´e.
• 3 est une valeur propre de A et
2
−1
−1
est un vecteur propre associ´e. 3 est donc une valeur propre de f et 2−X−X2 est un vecteur propre associ´e.
• 5 est une valeur propre de A et
0 0 1
est un vecteur propre associ´e. 5 est donc une valeur propre de f etX2 est un vecteur propre associ´e.
* Remarque :
On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition.
• Les spectres de Aet def ne sont pas pour autant confondus.Apeut avoir des valeurs propres complexes mˆeme si A est `a coefficients r´eels. Par contre, si f est un endomorphisme d’un R-espace vectoriel alors f ne peut pas admettre de valeur propre non r´eelle.
• On introduit par exemple : A=
0 −1 , f :
(
R1[X] →R1[X]
etg : (
C1[X] →C1[X]
.
Chapitre 9: Diagonalisation Et les endomorphismes ?
On peut prouver que les valeurs propres de Asonti et−i.A´etant la matrice canoniquement associ´ee `a f et g, f n’a aucune valeur propre et g a deux valeurs propres, i et −i. On a d’ailleurs g(i+X) = i(i+X) et g(−i+X) = (−i)(−i+X).
• Notons que si λ est une valeur propre d’une matrice M `a coefficients r´eels et si X est un vecteur propre de M associ´e `a la valeur propreλ alors λ est une valeur propre de matrice M et si X est un vecteur propre deM associ´e `a la valeur propreλ. Ainsi, puisqueiest une valeur propre de
0 −1
1 0
et
1 i
est un vecteur propre de
0 −1
1 0
associ´e `a la valeur propre i, on sait que−iest une valeur propre de
0 −1
1 0
et
1
−i
est un vecteur propre associ´e.
Attention, pour
i 1 0 1
, i est une valeur propre mais−i n’est pas une valeur propre.
Soient A etB deux matrices d’ordre n.
• Si A et B sont semblables, elles sont toutes deux diagonalisables ou sont toutes deux non diagonalisables.
• Si A etB sont semblables, elles ont mˆeme spectre.
• En particulier, si A est semblable `a une matrice triangulaire T alors le spectre de A est l’ensemble des coefficients diagonaux de T.
Proposition 33
* Remarque :
Deux matrices semblables ont donc mˆeme valeur propre. Par contre, elles n’ont pas forc´ement mˆeme vecteur propre. On nomme par exemple f un endomorphisme de E, C et C0 deux bases de E et on pose :
A= MatC(f) et B = MatC0(f).
Six est un vecteur propref associ´e `a la valeur propre λ alors MatC(x) sera un vecteur propre de A associ´e `a la valeurλ et MatC0(x) sera un vecteur propre de B associ´e `a la valeurλ. Cela peut donner des r´esultats tr`es diff´erents.
, Exemple : Par exemple,
1 0 0 0
et
0 0 1 1
sont semblables car la premi`ere est la matrice canoniquement associ´ee `a f :
(
R2 →R2
(a, b) 7→(a,0) et la seconde est MatC(f) avec C la famille ((1,1),(1,0)) (qui est bien une base de R2). Les valeurs propres de la premi`ere sont 1 et 0.
1 0
est un vecteur propre associ´ee `a la valeur propre 1. Les valeurs propres de la seconde sont aussi 1 et 0 mais
1 0
n’est pas un vecteur propre. Par contre,
1
−1
est un vecteur propre (associ´ee `a la valeur propre 0) alors qu’il n’est pas vecteur propre de
1 0 0 0
.
4.3 Recherche des valeurs propres
Soient f un endomorphisme de E etλ un scalaire. On a l’´equivalence suivante : λ est valeur propre de f ⇐⇒f−λ×IdE n’est pas injectif
⇐⇒rang (f −λ×IdE)6=n Proposition 34
, Exemple :
Soit f l’application suivante : f :
(
C2[X] →C2[X]
a+bX +cX2 7→(5a−b−c) + (2a+ 2b−c)X+ (2a−b+ 2c)X2
D’apr`es ce qu’on a dit sur
5 −1 −1
2 2 −1
2 −1 2
(qui est la matrice canoniquement associ´ee `af), on peut affirmer que la seule valeur propre de f est 3. f n’est pas diagonalisable car ...
M´ethode:
Pour trouver les valeurs propres def, un endomorphisme deE, on va introduireA= MatB(f) avec B une base de E. On utilise les m´ethodes vues (Par le rang, par un syst`eme) pour expliciter Sp(A) puis Sp(f) (puisque Sp(f) est Sp(A)∩K).
- Exercice 4 :
D´eterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est :
7 −3 −5 4 −1 −4 6 −3 −4
.
4.4 Crit` eres de diagonalisabilit´ e
On rappelle que E est dans ce chapitre un espace vectoriel de dimensionn.
Chapitre 9: Diagonalisation Et les endomorphismes ?
Soit f un endomorphisme de E.
• On suppose que (λ1,· · · , λp) est une famille de valeurs propres deux-`a-deux dis- tinctes de f. Pour touti deJ1, pK, on note vi un vecteur propre de f associ´e `a la valeurs propre λi. La famille (v1, . . . , vp) est libre.
• On suppose que (λ1,· · · , λp) est une famille de valeurs propres deux-`a-deux dis- tinctes de f et que Sp(f) ={λ1,· · · , λp}. On note, pour tout i deJ1, pK, Bi une base de Eλi. La famille obtenue par juxtaposition des bases Bi est une famille libre.
Th´eor`eme 35
Soit f un endomorphisme de E.
• f admet au plus n valeurs propres distinctes.
• SiSp(f) = {λ1,· · · , λp} alors :
p
X
k=1
dim(Eλk)6n.
Th´eor`eme 36
* Remarque :
On utilise les notations du pr´ec´edent th´eor`eme.
1. On peut ˆetre plus pr´ecis que cet th´eor`eme en disant que, grˆace au th´eor`eme du rang, f admet au plus rang(f) valeurs propres non nulles distinctes.
2. f admet au moins une valeur propre complexe si E est un C-espace vectoriel.
3. Si E est un R-espace vectoriel alors f peut n’admettre aucune valeur propre sur R. Si on cherche ses valeurs propres dans C alors les valeurs obtenues seront r´eelles ou complexes conjugu´ees.
Soit f un endomorphisme de E.
• f est diagonalisable si et seulement si la concat´enation de bases de ses sous-espaces propres donnent une base de E.
• SiSp(f) = {λ1,· · · , λp} alors :
fest diagonalisable⇐⇒
p
X
k=1
dim(Eλk) =n.
Th´eor`eme 37
Soit f un endomorphisme de E. On pose A= MatB(f) avecB une base de E. Si f est diagonalisable alors il existe B0 une base de E constitu´ee de vecteurs propres de f. On note (v1,· · · , vn) =B0 etP la matrice de passage de B vers B0. on a alors :
A=P ×∆×P−1
avec ∆ la matrice
λ1 0 . . . 0
0 λ2 0 ...
... . .. ... ... ... ... 0 λn−1 0 0 . . . 0 λn
et pour touti deJ1, nK, λi est d´efinie par :
f(vi) =λivi. Proposition 38
* Remarque :
On utilise les notations de la pr´ec´edente proposition.
1. Les vecteurs propres interviennent dans le mˆeme ordre dansB0 que les valeurs propres associ´ees qu’on trouve dans D. Si on change les colonnes de la matrice D, la matrice P changera aussi car B0 ´evoluera.
2. Finalement, la matrice P qu’on cherchait dans l’´ecriture P ×∆×P−1 est une matrice de passage entre la base B telle que Asoit MatB(f) et une base de diagonalisation. Il faut donc ˆ
etre capable d’obtenir une base de vecteurs propres, la m´ethode suivante l’explique !
3. Il est possible qu’il y a ait des quantit´es qui se r´ep`etent dans la matrice D, chaque valeur propre va apparaˆıtre autant de fois que la dimension de son sous-espace propre associ´e.
, Exemple : On a vu que
5 4 0
−2 −1 0
2 2 5
est diagonalisable car :
5 4 0
−2 −1 0
2 2 5
=
−1 2 0 1 −1 0 0 −1 1
×
1 0 0 0 3 0 0 0 5
×
−1 2 0 1 −1 0 0 −1 1
−1
D’apr`es ces calculs, f et g sont donc aussi diagonalisables avec : f :
(
C2[X] →C2[X]
a+bX+cX2 7→(5a+ 4b)−(2a+b)X+ (2a+ 2b+ 5c)X2 g :
(
R3 →R3
(a, b, c) 7→((3a−c),(c+a+ 4b),(−a+ 3c)).
Les valeurs propres de f sont .... et une base de vecteur propre de f est... Les valeurs propres de g
Chapitre 9: Diagonalisation Et les endomorphismes ?
Soient f un endomorphisme de E Si f admet n valeurs propres distinctes alors f est diagonalisable.
Proposition 39
