l'ensemble des racines n -ièmes de l'unité dans C. On note u = e

MPSI B Année 2012-2013 Énoncé DM 9 (pour le 17/01/13) 29 juin 2019

Pb 1.

On désigne par ( U , .) le groupe des nombres complexes de module 1 pour la multiplication dans C. On s'intéresse ici aux morphismes de certains de ses sous-groupes.

1. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et U

l'ensemble des racines n -ièmes de l'unité dans C. On note u = e

.

a. Montrer que U

est un sous-groupe de U.

b. Soit f un morphisme de groupe de U

dans U

. Montrer qu'il existe un unique m ∈ {0, · · · , n − 1} tel que :

∀v ∈ U

: f (v) = v

2. Soit f un morphisme de groupe de U dans U. On dénit g de R dans C par :

∀t ∈ R ; g(t) = f (e

) et on suppose qu'elle est dérivable en 0 .

a. Montrer que g est dérivable dans R et que g

(t) = g

(0)g(t) pour tous les réels t . b. Montrer qu'il existe un m dans Z tel que f(v) = v

pour tous les v dans U.

Pb 2.

Cet exercice porte sur un procédé connu sous le nom de moyennisation d'un projecteur.

Soit E un espace vectoriel réel, F un sous espace vectoriel de E et G un sous-groupe ni (avec m éléments) du groupe des automorphismes de E .

On suppose que le sous-espace F est stable par les éléments de G c'est à dire que :

∀g ∈ G, ∀x ∈ F : g(x) ∈ F.

À tout élément u de L(E) , on associe u

déni par u

= 1

m X

g∈G

g

◦ u ◦ g.

1. Montrer que u

est un endomorphisme de E commutant avec tout élément h de G . 2. Calculer (u

)

.

1

Exercice 1 de e3a 2001 MP 2

3. Soit p un projecteur de E avec F = Im(p) . a. Montrer que Im(p

) = F .

b. Montrer que :

∀(g, h) ∈ G

, g

◦ p ◦ g ◦ h

◦ p ◦ h = h

◦ p ◦ h.

c. Montrer que p

est un projecteur.

d. Montrer que le noyau de p

est stable par tout élément g de G .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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