www.etude-generale.com 1ère S Matière : Mathématiques
Professeur : Yahya MATIOUI
Le calcul trigonométrie
Transformation de cos (a b)
Transformation de cos (a b) et ses conséquences
Théorème 1 On a pour tout a et b de R:
cos (a b) = cosa:cosb+ sina:sinb cos (a+b) = cosa:cosb sina:sinb sin (a+b) = sina:cosb+ cosa:sinb sin (a b) = sina:cosb cosa:sinb Démonstration 2 .
Soit les points A et B sur le cercle unité :
Montrons cos (a b) = cosa:cosb+ sina:sinb:
Calculons le produit scalaire OA:!OB! par deux façons di¤érentes : on a
OA:!OB! = OA :! OB :! cos (a b)
= cos (a b): (1) D’autre part, on a !
OA(cosa;sina) et !
OB(cosb;sinb); donc OA:!OB!= cosa:cosb+ sina:sinb (2): D’après (1) et (2), on en déduit que :
cos (a b) = cosa:cosb+ sina:sinb
Montrons cos (a+b) = cosa:cosb sina:sinb:
On remplace dans la formule ci-dessus b par b, on obtient alors : cos (a+b) = cosa:cos ( b) + sina:sin ( b) comme cos ( b) = cosb et sin ( b) = sinb; d’où
cos (a+b) = cosa:cosb sina:sinb:
Montrons que sin (a+b) = sina:cosb+ cosa:sinb :
On sait que : sin = cos 2 pour tout 2R. Donc sin (a+b) = cos
2 (a+b)
= cos
2 a b
= cos
2 a :cosb+ sin
2 a :sinb
= sina:cosb+ cosa:sinb Montrons que sin (a b) = sina:cosb cosa:sinb:
On remplace dans la formule ci-dessus b par b, on obtient alors : sin (a b) = sina:cos ( b) + cos (a):sin ( b)
= sina:cosb cosa:sinb
Exemple 3 Calculons cos512 et sin12: Remarquant que : 512 = 4 + 6; on a
cos 5
12 = cos 4 +
6
= cos 4:cos
6 sin 4:sin
6
= p2
2 : p3
2
p2 2 :1
2
=
p6 p 2
4 :
sin 12 = sin
3 4
= sin 3:cos
4 cos 3:sin
4
= p3
2 : p2
2 1 2:
p2 2
=
p6 p 2 4
Formules de duplication
Théorème 4 Soit a2R:
cos 2a = cos2a sin2a= 2 cos2a 1 = 1 2 sin2a
sin 2a= 2 sina:cosa Démonstration 5 Soit a2R:
cos 2a = cos (a+a)
= cos2a sin2a
comme cos2a+ sin2a= 1, alors on obtient les deux formules suivantes : cos 2a = 1 sin2a sin2x
= 1 2 sin2x
= 1 2 1 cos2x
= 1 2 + 2 cos2x
= 2 cos2x 1
sin 2a = sin (a+a)
= sina:cosa+ cosa:sina
= 2 sinacosa
Exemple 6 .
Calculercos 2x avec cosx= 31:
cos 2x = 2 cos2x 1
= 2 1
3
2
1
= 2 9 1
= 7
9
Calculersin 2x avec sinx= 35 et x2 2 ;2 : On sait que :
sin 2x= 2 cosx:sinx:
On cherche cosx:
On a
cos2x = 1 sin2x
= 1 3
5
2
= 16 25 comme x2 2 ;2 alors cosx 0. Donc
cosx= 4 5: D’où
sin 2x= 2 4 5
3 5 = 24
25: Exemple 7 Soit a un réel de 0;2 tel que
cosa=
p2 +p 3 2 Calculer cos 2a:
Soit a2 0; 2 :
cos 2a = 2 cos2a 1
= 2
p2 +p 3 2
!2
1
= 2 2 +p 3
4 1
= 2 2 +p
3 4
4
= p3
2
Formules de linéarisation
Soit a2R:
cos2a= 1 + cos (2a)
2 et sin2a = 1 cos (2a) 2
Démonstration 8 Ces formules se déduisent directement des formules de duplication avec le cos 2a:
Exemple 9 Calculons sin8 et cos8: On a 4 = 2 8, donc
sin2
8 = 1 cos 4 2
= 1 p22 2
= 2 p
2 4 comme 0< 8 < 2 alors 0<sin8: Donc
sin 8 =
p2 p 2
2 :
De même
cos2
8 = 1 + cos 4 2
= 1 + p22 2
=
p2 + 2 4 comme 0< 8 < 2 alors 0<cos8: Donc
cos8 =
p2 +p 2
2 :
Transformation de produits en sommes et de sommes en produits
Transformation de produit en somme
Soit (a; b)2R2:
cosa:cosb = 1
2[cos (a+b) + cos (a b)]
sina:sinb = 1
2[cos (a+b) cos (a b)]
sina:cosb = 1
2[sin (a+b) + sin (a b)]
cosa:sinb = 1
2[sin (a+b) sin (a b)]
Transformation de produit en somme
Soit (p; q)2R2:
cosp+ cosq = 2 cos p+q
2 :cos p q 2 cosp cosq = 2 sin p+q
2 :sin p q 2 sinp+ sinq = 2 sin p+q
2 :cos p q 2 sinp sinq = 2 sin p q
2 :cos p+q 2 Exemple 10 Soit x2R:
Montrer que :
sin 5x sin 3x = 2 cos 4x:sinx cos 7x cos 2x = 2 sin9x
2 :sin5x 2 :
sin 5x sin 3x = 2 cos 5x+ 3x
2 :sin 5x 3x 2
= 2 cos 4x:sinx
cos 7x cos 2x = 2 sin 7x+ 2x
2 :sin 7x 2x 2
= 2 sin9x
2 :sin5x 2 :
Exemple 11 Montrer que : (8x2R); cos x+ 3 :cos x 3 = cos(2x)2 14: Soit x2R:
cos x+
3 :cos x
3 = 1
2 h
cos x+ 3 +x
3 + cos x+
3 x+ 3
i
= 1
2 cos (2x) + cos2 3
= cos (2x) 2
1 4 Donc
(8x2R); cos x+
3 :cos x
3 = cos (2x) 2
1 4:
Transformation de tan (a + b)
Transformation de tan (a + b) et tan (a b)
Soit a et b deR tels que : a6= 2 +k etb 6= 2 +k pour tout k 2Z: Sia+b 6= 2 +k où k2Z alors tan (a+b) = 1 tantana+tana:tanbb .
Sia b 6= 2 +k oùk 2Zalors tan (a b) = 1+tantanaa:tantanbb . Exemple 12 .
tan 5
12 = tan 4 +
6
= tan 4 + tan 6 1 tan 4 :tan 6
= 1 + p33 1 1:p33
= 3 +p 3
3 p
3
= 2 +p 3 Résultats : .
Sia6= 2 +k et a6= 4 +k2 pour toutk deZ, alors tan (2a) = 1 tan2 tan2aa:
On pose t= tan x2 pour x deR tel que : x6= + 2k etx 6= 2 +k pour tout k deZ: On a
sinx= 2t
1 +t2; cosx= 1 t2
1 +t2 et tanx= 2t 1 t2 Exemple 13 Calculertan 8:
On pose X = tan 8; alors
tan 4 = tan 2 8
= 2X
1 X2 comme tan4 = 1; donc on obtient l’équation suivante
X2+ 2X 1 = 0
puisque = 8; donc l’équation admet deux solutions distinctes : X1 =p
2 1 et X2 = p 2 1:
Comme 0< 8 < 2 alors tan 8 0: Donc tan 8 =p
2 1:
Transformation de l’expression a cos x + b sin x
Soit (a; b)2R2 tel que : (a; b)6= (0;0): On a
acosx+bsinx=p
a2+b2 a
pa2+b2 cosx+ b
pa2 +b2sinx et on a pa2a+b2 1 et pa2b+b2 1:Puisque pa2a+b2
2
+ p a a2+b2
2
= 1; alors
9 2R= cos = a
pa2+b2 et 9 2R= sin = b pa2+b2 ou 9 2R=cos = b
pa2+b2 et 9 2R=sin = a
pa2 +b2 : D’où
acosx+bsinx = p
a2+b2 a
pa2+b2 cosx+ b
pa2+b2 sinx
= p
a2+b2(cos :cosx+ sin :sinx)
= p
a2+b2cos (x ) ou
acosx+bsinx = p
a2+b2 a
pa2+b2 cosx+ b
pa2+b2 sinx
= p
a2+b2(sin :cosx+ cos :sinx)
= p
a2+b2sin (x+ ):
Remarque 14 On peut transformer acosx+bsinx pour résoudre des équations de type acosx+bsinx=c ou d’inéquation de type acosx+bsinx c ou acosx+bsinx c:
Exemple 15 .
p3 cosx+ sinx = 2 p3
2 cosx+ 1 2sinx
!
= 2 cosx:cos
6 + sinx:sin 6
= 2 cos x
6 : Exemple 16 .
1. Résoudre dansR puis dans [0;2 ] l’équation (E) : cosx p
3 sinx= 1:
2. Résoudre dans l’intervalle [0; ] l’inéquation : (F) : cos (2x) sin (2x) = p2:
Soit x2R:
cosx p
3 sinx = 2 1 2cosx
p3 2 sinx
!
= 2 cosx:cos
3 sinx:sin 3
= 2 cos x+ 3 donc
cosx p
3 sinx = 1
() 2 cos x+
3 = 1
() cos x+
3 = 1
2 () cos x+
3 = cos 2 3 () x+
3 = 2
3 + 2k = k 2Z ou x+
3 = 2
3 + 2k = k 2Z () x=
3 + 2k = k2Z ou x= + 2k = k2Z par suite l’ensemble des solutions dans R de l’équation (E) est :
S=n
3 + 2k = k 2Zo
[ f + 2k = k 2Zg
On cherche parmi ces solutions ceux qui appartiennent à l’intervalle [0;2 ]:
0 3 + 2k 2 () 1
6 k 5
6 comme k2Z, alors k = 0 d’où x= 3:
0 + 2k 2 () 1
2 k 3
2 comme k2Z, alors k = 1 d’où x= :
par suite l’ensemble des solutions dans [0;2 ] de l’équation (E) est : S =n
3; o :
Résolvons dans [0; ] l’inéquation : (F) : cos (2x) sin (2x) = p22: Soit x2[0; ]:
On a
cos (2x) sin (2x) = p 2
p2
2 cos (2x) p2
2 sin (2x)
!
= p
2 cos 2x+ 4
donc
cos (2x) sin (2x) =
p2 2 () p
2 cos 2x+ 4 =
p2 2 () cos 2x+
4 = 1 2 () cos 2x+
4 = cos 3 () 2x+
4 =
3 + 2k = k 2Z ou 2x+ 4 =
3 + 2k = k 2Z () x=
24 +k = k 2Z ou x= 7
24 +k = k2Z On cherche parmi ces solutions ceux qui appartiennent à l’intervalle [0; ]:
0 24 +k
() 0 1
24+k 1 () 1
24 k 23
24 comme k2Z, alors k = 0 d’où x= 24:
0 7
24 +k () 0 7
24 +k 1 () 7
24 k 31
24 comme k 2Z, alors k = 1 d’où x= 1724:
par suite l’ensemble des solutions dans [0; ] de l’équation (E) est : S =
24;17 24 :
FIN
Pr : Yahya MATIOUI
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