Calcul trigonométrique tronc commun

www.etude-generale.com TCSI Matiére : Mathématiques

Professeur : Yahya MATIOUI

Le calcul trigonométrique

Cercle trigonométrique

Dé…nition du cercle trigonométrique

Dé…nition 1 Dans un repère orthonnormé (O; ! OI; !

OJ). On appelle cercle trigonométrique le cercle :

de centre O l’origine du repère.

de rayon R = 1

orienté positivement. (Le sens positif est le sens contraire de celui des aiguilles d’une montre)

et admet une origineI:

Le plan orienté

Dé…nition 2 Le plan est dit orienté lorsque tous les cercles sont orientés comme un cercle trigonométrique.

Dans la suite le plan est orienté.

La mesure en radian

Dé…nition 3 Le radian est l’unité de mesure des angles telle que la mesure en radian d’un angle est égale à la longueur de l’arc de cercle que cet angle intercepte sur le cercle

trigonométrique.

Propriété 4 La mesure d’un angle en radian est proportionnelle à sa mesure en degrés.

Tableau de proportionnalité

Mesure en degré 180 n Mesure en radian

Ceci signi…e que

n = 180 Donc

= n

180 Exemple 5 Convertir en radian la mesure d’angle : 45

On a

= n

180

= 45

180

= 45

4 45

= 4rad Remarque 6 .

L’angle plat a pour mesure, en degré180 (180 ), en radian (notation: rad) ; en grade (notation : 200gr).

Pour un angle donné, soit a sa mesure en degré, b sa mesure en radian, c sa mesure en grade, on a alors la formule de conversion

a 180 = b

= c 200

Abscisses curvilignes

Soit (C) un cercle trigonométrique lié au repère orthonormé direct(O; ! OI; !

OJ) et soitAun point de (C)tel que est une mesure de l’angle géométrique IOA[ en radian et 2[0;2 [:

Imaginons un point M mobile sur le cercle(C): Le point M prend le départ enI:

I J

A

O M

1ère cas : M parcourt le cercle (C)dans le sens positif.

Lorsque M coïncide avec A pour la première fois, il a parcouru un chemin de longueur .

La deuxième fois que M coincide avec A la mesure du trajet parcouru est + 2 (un tour en plus de la longueur ):

La troisième fois + 4 ; :::; la(k+ 1) fois + 2k ,(k 2N): 2ème cas : M parcourt le cercle(C) dans le sens négatif.

LorsqueM coïncide la première fois avec le pointA, la mesure du chemin parcouru est2 :

La deuxième fois queM passe enA, il a parcouru un chemin de longueur 4 . La troisième fois6 ; :::; la k⁰ fois 2k⁰ ,(k⁰ 2N):

Pour distinguer entre les cas précédents, le pointM a parcouru un chemin de longueur + 2k dans le premier cas et un chemin de longueur ( + 2k⁰ ), c’est-à-dire 2k⁰ dans le deuxième cas. Ceci signi…e que dans tous les cas une mesure du chemin de parcourt de I à A est + 2k⁰⁰ tel que k⁰⁰ 2Z:

Dé…nition 7 .

Soit (C) un cercle trigonométrique lié au repère orthonormé direct(O;OI;! OJ)! et soit A un point de (C) tel que est une mesure de l’angle IOA[ en radian. Tout nombre qui s’écrit sous la forme + 2k avec k 2 Z , est appelé une abscisse curviligne du point M:

Parmi les abscisses curvilignes du point M, il existe une seule abscisse curviligne appar- tient à l’intervalle ] ; ]; appelée abscisse curviligne principale du point M:

Exemple 8 Déterminer l’abscisse curviligne principale du pointM qui admet comme l’un de ses abscisses curvilignes dans le cas suivant :

= 7 2 Méthode .

Notons 0 l’abscisse curviligne principale du point M; puisque est une abscisse curviligne du point M alors : = ₀ + 2k avec k 2 Z, ensuite : ₀ = 2k avec k 2Z: Or, 0 2] ; ]; donc : ₀ , par ailleurs:

7

2 2k () 1 7

2 2k 1 () 1 7

2 2k 7

2+ 1 () 9

2 2k 5

2 () 5

4 k 9

4 () 1;25 k 2;25 comme k 2Z, alors k= 2. Donc

0 = 7

2 2k

= 7

2 2 2

= 2 2] ; ]

Ceci signi…e que ₂ est l’abscisse curviligne principale du point M:

Angles orienté de deux vecteurs non nuls

Angle orienté de deux demi-droites

Dé…nition 9 On considére le plan (P) orienté, direct et O un point du plan (P):

Soient [Ox) et [Oy) deux demi-droites.

Le couple ([Ox);[Oy)) est appelé angle orienté des demi-droites [Ox) et [Oy) noté par

\ Ox; Oy :

Le couple ([Oy);[Ox)) est appelé angle orienté des demi-droites [Oy) et [Ox) noté par

\ Oy; Ox :

Mesures d’un angle orienté de deux vecteurs

Approche

Mesures positives

(C) est un cercle trigonométrique de centre O; A et B sont deux points de (C).

Lorsqu’on fait tourner !

OA dans le sens direct pour l’amener sur !

OB, le point A par- court un arc de cercle de longueur : On convient de dire que est une mesure de l’angle orienté OA;!\OB! :

On peut faire un tour de plus, toujours dans le sens direct. Le point A parcourt un arc de cercle de longueur + 2 : On convient de dire que + 2 est une mesure de l’angle orienté !\

OA; ! OB :

Si on e¤ectue k tours de cercle, toujours dans le sens direct, le point A parcourt un trajet de longueur + 2k ; ce nombre est aussi une mesure de OA;!\OB! :

Mesures négatives

Pour amener OA!sur OB! on peut aussi parcourir le cercle dans le sens indirect. Alors lorsque OA! arrive sur OB! pour la première fois, le point A parcourt un arc de cercle de longueur 2 : Pour indiquer que l’on parcourt le cercle dans le sens indirect sans l’écrire, on convient de compter ce trajet négativement et de dire que (2 ), c’est-à-dire 2 est une mesure de l’angle orienté !\

OA; ! OB :

On peut faire un tour de plus, toujours dans le sens indirect que l’on compte négative- ment. On convient de dire que (2 ) 2 , c’est-à-dire 4 est une mesure de l’angle orienté OA;!\OB! :

Si on e¤ectuek⁰ tours de cercle, toujours dans le sens indirect, que l’on compte néga- tivement, on obtient pour mesure OA;!\OB! le nombre réel (2 ) 2k⁰ ce qui s’écrit encore + 2 ( k⁰ 1) :

Cas général

Dé…nition 10 Si !u et !v deux vecteurs non nuls alors l’angle orienté des vecteurs !u et

!v est l’angle des demi-droites [OA) et [OB) tels que: !u =OA! et !v =OB! sera notée par : !\u ;!v :

Notation 11 L’une des mesures de l’angle orienté (!\u ;!v ) sera notée !u ;!v et on écrit

!u ;!v = +2k aveck 2Zou !u ;!v [2 ]: se lit !u ;!v est congru a modulo 2 Propriété 12 Parmi toutes les mesures +2k , il en existe une et une seule dans l’intervalle ] ; ]. Cette mesure est appelée la mesure principale de l’angle orienté !\u ;!v :

Remarque 13 Si est une mesure principle de l’angle !\u ;!v . Tout nombre de la forme + 2k avec k 2Z est aussi une mesure du même angle et on écrit :

!u ;!v = + 2k , k 2Z () !u ;!v [2 ]

Exemple 14 Sachant que : !u ;!v ¹²³₅ [2 ]: Déterminer l’abscisse curviligne princi- pale de l’angle orienté !\u ;!v :

On a : !u ;!v = ¹²³₅ + 2k , tel que k 2 Z: Ceci signi…e que les mesures d’angle orienté !\u ;!v sont les nombres : ¹²³₅ + 2k tel que k 2Z:

Pour déterminer la mesure principale de l’angle orienté !\u ;!v il su¢ t de trouver la valeur de k dans Z tel que

123

5 + 2k () 11;8 k 12;8 et comme k 2Z, alors k= 12: Donc

123

5 + 2k = 123

5 + 2 12 = 3

5 D’où ₅³ est la mesure principale de l’angle orienté !\u ;!v :

Propriétés des angles orientés

Propriété 15 (Relation de chasles) Soient !u ;!v et !w trois vecteurs on a :

!u ;!v + !v ;!w !u ;!w [2 ]

Résultats 16 Pour tous vecteurs non nuls !u et !v : 1. !u ; !v !u ;!v [2 ]

2. !u ;!v !v ;!u [2 ] 3. !u ;!v !u ;!v + [2 ] 4. !u ; !v !u ;!v + [2 ]

Exemple 17 Sachant que: !u ;!v ₉ [2 ] et !u ;!w ₄ [2 ]

Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés suivants :

!v ;!w et !w ;!v

On cherche la mesure principale de l’angle orienté !v ;!w : En utilisant la relation de chasles, on obtient

!u ;!v + !v ;!w !u ;!w [2 ]

comme !u ;!v ₉ [2 ] et !u ;!w ₄ [2 ]; donc

!v ;!w

4 + 9 [2 ] 5

36 [2 ]

Ceci signi…e que ₃₆⁵ est la mesure principale de l’angle orienté !v ;!w : On cherche la mesure principale de l’angle orienté !u ;!v :

On a !w ;!v !w ;!w !v ;!w [2 ]

comme !w ;!w [2 ] et !v ;!w ₃₆⁵ [2 ]; donc

!w ;!v +5 36[2 ] 31

36 [2 ]

Ceci signi…e que ₃₆³¹ est la mesure principale de l’angle orienté !v ;!w : Remarque 18 Pour tout vecteur !u non nul, on a:

!u ;!u 0 [2 ]

!u ; !u [2 ]

Les lignes trigonométriques

cosinus, sinus et tangente d’angle

Soit(C)un cercle trigonométrique de centreO et O;OI;! OJ! le repère orthonormé associé à (C) enI:

E le point projeté orthogonal de J sur( ).

Sur la droite ( ), on choisit le repère (I; E) et soit x un réel, M un point de (C) ayant x pour abscisse curviligne.

I J

E M

O

Dé…nition 19 .

L’abscisse du point M dans le repère O; ! OI; !

OJ s’appelle cosinus de x et on le note cosx:

L’ordonnée du point M dans le repère O;OI;! OJ! s’appelle sinus de x et on le note sinx:

Si M 6=J et M 6=J⁰, alors le droite (OM) coupe la droite ( ) au pointT: L’abscisse de T dans le repère (I; E) est appelée la tangente de x qu’on note tanx.

Remarque 20 .

Pour M =J ou M =J⁰, la droite ( ) est parallèle à (OM) et donc le point T n’existe pas , c’est-à-dire que la tangente n’existe pas pour les points ₂ + 2k et ₂ + 2k avec k2Z: Ceci signi…e que tanx existe si x6= ₂ +k tel que k 2Z:

Propriété 21 Soit M un point du cercle trigonométrique (C) d’abscisse curviligne x; on a

:

I J

M

O sin(x₎

cos(x₎ I'

J'

OM!= cosx!i + sinx!j : !i =OI! et !j =OJ :! OM =p

cos²x+ sin²x et OM = 1; donc pour tout x2R; cos²x+ sin²x= 1:

L’abscisse du pointM appartient au segment [I⁰I] donc 1 cosx 1:

L’ordonnée du point M appartient au segment [J⁰J] donc 1 sinx 1:

Si x est une abscisse curviligne de M alors x+ 2k (k 2Z)est aussi abscisse curviligne de M donc pour tout x2R et k 2Z:

cos (x+ 2k ) = cosx et sin (x+ 2k ) = sinx Exemple 22 Calculercosx si sinx= ₅⁴ et x ³₂ :

On a : cos²x+ sin²x= 1 donc : cos²x= 1 sin²x; c’est-à-dire : jcosxj=p

1 sin²x

comme x ³₂ , donccosx 0; c’est-à-dire : jcosxj= cosx, d’où cosx = p

1 sin²x

= s

1 4

5

2

= r

1 16 25

= 3

5

Propriété 23 Pour tout réel x di¤érent de ₂ +k tel que k 2Z, on a : tanx= sinx

cosx et 1 + tan²x= 1 cos²x

Exemple 24 Calculercosx si tanx= ¹₃ et x ₂ : Soit x2 ; ₂ : On a :

1 + tan²x= 1 cos²x ensuite

cos²x= 1 1 + tan²x donc

jcosxj=

r 1 1 + tan²x

comme x ₂ , donc cosx 0, c’est-à-dire : jcosxj= cosx; d’où cosx =

r 1 1 + tan²x

=

s 1

1 + ¹₃ ² = 3p 10 10

cosinus, sinus et tangente d’angle associés

Propriété 25 Pour tout x2R:

1. cos ( x) = cosx et sin ( x) = sinx

2. cos ( x) = cosx et sin ( x) = sinx

3. cos ( +x) = cosx et sin ( +x) = sinx

4. cos ₂ x = sinx et sin ₂ x = cosx

5. cos ₂ +x = sinx et sin ₂ +x = cosx

Propriété 26 Soit x un réel.

Si x est distinct des réels ₂ +k où k 2Z, on a : tan ( x) = tanx

et tan ( x) = tanx

Si en plus x est distinct des réels k où k2Z, alors :

tan 2 x = 1

tanx et tan

2 +x = 1 tanx Exemple 27 Soit x un réel, simpli…er les expressions suivantes :

A = cos ( +x) cos ( x) + cos

2 x

B = cos 5

2 +x + sin x 7 2 C = cos 3

2 +x + cos (x 3 )

A = cos ( +x) cos ( x) + cos

2 x

= cosx ( cosx) + sinx

= cosx+ cosx+ sinx

= sinx

B = cos 5

2 +x + sin x 7 2

= cos + 4

2 +x + sin x 8 2

= cos

2 +x+ 2 + sin x 4 + 2

= cos

2 +x + sin

2 +x

= sinx+ cosx

C = cos 3

2 +x + cos (x 3 )

= cos 4

2 +x + cos (x 2 )

= cos 2

2 +x + cos (x )

= cos

2 x + cos ( x)

= sinx cosx

Valeurs remarquables

Il est utile de connaître ou de savoir retrouver rapidement les valeurs des sinus et cosinus des angles suivants :

x 0 _{6 4 3 2}

sinx 0 ¹₂ ^p₂^{2 p}₂³ 1 cosx 1 ^p₂^{3 p}₂^{2 1}₂ 0 tanx 0 ^p₃³ 1 p

3 n’existe pas

Exemple 28 Calculer: cos ³₄ , sin ⁵³₆ et tan ¹⁹₆ :

cos 3

4 = cos 4

4

= cos

4

= sin 4

=

p2 2

sin 53

6 = sin 54 6

= sin 54

6 6

= sin 9 6

= sin + 8 6

1

tan 19

6 = tan 18 +

6

= tan 3 + 6

= tan +

6 = tan

6 = p3

3 FIN

Pr : Yahya MATIOUI

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