www.etude-generale.com 1ère S Matière : Mathématiques
Professeur : Yahya MATIOUI
Correction du devoir
Exercice 1 . .
1. On résout dans l’intervalle [0;2 ] l’inéquation : cosx p
3 sinx <1:
Soit x2[0;2 ]:
cosx p
3 sinx = 2 1 2:cosx
p3 2 :sinx
!
= 2 cos
3:cosx sin
3:sinx
= 2 cos x+ 3 : Donc
cosx p
3 sinx <1 () cos x+
3 < 1 2:
On pose X =x+ 3 puisque x2[0;2 ] c’est-à-dire 0 x 2 c’est équivaux à
3 x+
3 2 +
3 () 3 x+
3 7
3 () x+
3 2 3;7 3 () X 2 3;7
3 :
On commence par résoudre dans 3;73 l’équation(E) : cosX = 12:
cosX = 1
2
() cosX = cos 3 ()
8<
:
X = 3 + 2k ou X = 3 + 2k
= k 2Z
On a
3 3 + 2k 7
3 () 0 k 1
comme k2Z, alors k 2 f0;1g: D’où x= 3 oux= 73 : On a
3 3 + 2k 7
3 () 1
3 k 8
6 comme k2Z, alors k = 1. D’où x= 53 :
Donc les solutions de l’équation cosX = 12 dans 3;73 sont : 3 ;53 et 73 :
D’après le cercle trigonométrique on en déduit que l’ensemble des solutions de l’inéquation cos (X)< 12 est :
3;5 3 Donc
cos (X) 1
2
() X 2 3;5 3 () 3 < X < 5 3 () 3 < x+
3 < 5 3 () 0< x < 4
3 () x2 0;4
3
Ceci signi…e que l’ensemble des solutions dans [0;2 ] de l’inéquation proposée est :
S = 0;4 3 :
Exercice 2 .
Soit 2 0; 2 tels que : tan = 2 p 3:
1. Soit 2 0;2 :
On sait que : sin (2 ) = 2 sin :cos : On cherche cos :
On a
1 + tan2 = 1 cos2
() cos2 = 1 1 + tan2 () cos2 = 1
1 + 2 p 3 2 () cos2 = 1
1 + 4 4p 3 + 3 () cos2 = 1
4 2 p 3 comme 2 0;2 alors cos 0: Donc
cos = 1
2p
2 p
3 : (1) D’autre part, on atan = cossin ; d’où
sin = tan :cos
= 2 p
3 1
2p
2 p
3
=
p2 p 3
2 (2)
D’après (1) et (2) on en déduit que
sin 2 = 2:sin :cos
= 2 1
2p
2 p
3
p2 p 3 2
= 1 2 La valeur de :
sin (2 ) = 1 2
() sin (2 ) = sin 6 ()
8<
:
2 = 6 + 2k ou 2 = 6 + 2k
= k 2Z
() 8<
:
= 12+k ou
= 512 +k
= k 2Z
Si = 512; alors : tan 512 = 2 +p
3 .(Voir le cours) Comme tan 512 6= 2 p
3: Alors 6= 512: Si = 12; alors tan 12 = 2 p
3:
Donc
= 12
2. On considère dans R l’équation : (E) : cos (2x) cos 2x+ 6 = 2 2p3: a) Montrons que : (E) () sin (2x+ ) = sin :
Soit x2R:
(E) () cos (2x) cos 2x+
6 = 2 p 3 2 () 2 sin 2x+ 2x+ 6
2 :sin 2x 2x 6
2 = 2 p
3 2 () 2 sin 2 2x+12
2
! :sin
12 = 2 p 3 2 () 2 sin 2x+
12 :sin
12 = 2 p 3 2 () 2 sin (2x+ ):sin ( ) = 2 p
3 2 () sin (2x+ ):sin ( ) = tan
4 () sin (2x+ ):sin = sin
4 cos () sin sin (2x+ ) 1
4 cos = 0 () sin (2x+ ) = 1
4 cos , car sin 6= 0:
() sin (2x+ ) = sin : Car 1
4 cos = sin (question 1): Donc
(E) () sin (2x+ ) = sin b) On résout dans R l’équation (E):
Soit x2R:
(E) () sin (2x+ ) = sin ()
8<
:
2x+ = + 2k ou
2x+ = + 2k
= k 2Z
() 8<
: x=k
ou x= 2 +k
= k 2Z
() 8<
: x=k
ou x= 2 12 +k
= k 2Z
() 8<
: x=k
ou x= 512 +k
= k 2Z
Donc l’ensemble des solutions de l’équation(E) dans R est : S =fk = k 2Z g [ 5
12 +k = k 2Z
3. On résout dans [0; ] l’inéquation : (I) : cos (2x) cos 2x+ 6 2 2p3: D’après la question 2) on a
cos (2x) cos 2x+ 6
2 p
3
2 () sin (2x+ ) sin On pose X = 2x+ , puisque x2[0; ] c’est-à-dire 0 x c’est équivaux
0 2x 2
() 2x+ 2 + () 12 2x+ 25
12 () 2x+ 2 12;25
12 () X 2 12;25
12 :
On commence par résoudre dans 12;2512 l’équation : (E) : sin (X) = sin : Soit x2 12;2512 :
sin (X) = sin ()
8<
:
X = + 2k ou
X = + 2k
= k2Z
() 8<
:
X = 12 + 2k ou X = 1112 + 2k
= k 2Z
On cherche parmi ces solutions ceux qui appartienennent à 12;2512 :
12 12 + 2k 25
12 () 1
12 1
12 + 2k 25 12 () 0 2k 2
() 0 k 1 comme k2Z, alors k 2 f0;1g:
Si k = 0, alors x= 12: Si k = 1, alors x= 2512:
12
11
12 + 2k 25 12 () 1
12 11
12 + 2k 25 12 () 5
6 2k 7
6 () 5
12 k 7
12 comme k2Z, alors k = 0:
Si k = 0, alors x= 1112:
Donc les solutions de l’équation (E) dans 12;2512 sont : 12;1112 et 2512:
D’après le cercle trigonométrique on en déduit que l’ensemble des solutions de l’inéquation sin (X) sin est :
11 12 ;25
12
D’où
sin (X) sin
() X 2 11 12 ;25
12 () 11
12 X 25
12 () 11
12 2x+ 25
12 () 11
12 2x 25
12 () 5
6 2x 2
() 5 12 x
Ceci signi…e que l’ensemble des solutions de l’inéquation (I) :
S = 5 12; FIN
Pr : Yahya MATIOUI
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