D´emontrer que 2, 7, 1

Universit´e Paris 7-Denis Diderot Alg`ebre

M1 math´ematiques Ann´ee 2005-06

F. Conduch´e - M. Couillens - L. Merel

EXAMEN PARTIEL du 26 novembre 2005 Dur´ee : 3 h

L’usage des calculatrices, t´el´ephones et de tout document est interdit.

I Fixons une racine carr´ee√

−13 de−13 dansC. PosonsA={a+b√

−13∈C/a, b∈Z}.

1. D´emontrer que Aest un anneau.

2. Exhiber un isomorphisme d’anneauxA→Adistinct de l’identit´e.

3. D´eterminer le groupeA^∗ des ´el´ements inversibles deA.

4. D´emontrer que 2, 7, 1 +√

−13, 1−√

−13 sont irr´eductibles dansA.

5. En d´eduire que l’anneauAn’est pas factoriel.

II

Soitpun nombre premier. PosonsZ(p)={u/v∈Q/u∈Z, v∈Z−pZ}.

1. Rappeler commentZ(p) s’identifie au localis´e de l’anneauZpar rapport `a l’id´eal premierpZ.

2. SoitI un id´eal deZ(p). D´emontrer que I∩Zest un id´eal deZ. D´emontrer que tout id´eal non nul de Z_(p) est de la formepⁿZ_(p)avecnentier≥0. L’anneau Z_(p)est-il principal ?

3. Etablir qu’on a un isomorphisme de groupes entre´ Z_(p)/pⁿZ_(p) etZ/pⁿZ.

4. Soit A un groupe ab´elien fini d’ordre une puissance de p. D´emontrer que l’exposant e de A est une puissance dep.

5. D´emontrer que A est muni d’une structure de Z_(p)-module en faisant agir u/v ∈ Z_(p) sur a ∈ A par (u/v).a=uwa, o`uw∈Zv´erifiewv≡1 (mod e).

6. D´emontrer que A comme groupe ab´elien est isomorphe `a un produit de groupes cycliques d’ordre des puissances dep. Notonspⁿ¹, ...,p^nr ces puissances, avecn1≤...≤nr.

7. D´emontrer que Aest isomorphe, commeZ_(p)-module, `a Z_(p)/pⁿ¹Z_(p)×...×Z_(p)/p^nrZ_(p). III

SoitK₀ un corps de caract´eristique 0. SoientP, Qet R∈K₀[X] des polynˆomes scind´es, non constants et deux `a deux premiers entre eux tels que

P+Q=R.

Notonsz0(P QR) le nombres de z´eros distincts deP QR∈K0[X].

1. Les polynˆomes P,Qet Ront-ils des z´eros communs ?

2. En posant dansK₀(X),F =P/Ret G=Q/R, d´emontrer qu’on aF⁰+G⁰= 0, puis queQ/P =−^F_G⁰0^/F/G. 3. PosonsP =aQ

i∈I(X−a_i)ⁿⁱ,Q=bQ

j∈J(X−b_j)^mj etR=cQ

k∈K(X−c_k)^lk, o`ua,b,c∈K<sub>0</sub><sup>∗</sup>et o`u les familles finies (a_i)_i∈I, (b_j)_j∈J, (c_k)_k∈Kd´ecrivent des ´el´ement distincts deK₀et les familles (n_i)_i∈I, (m_j)_j∈J, (lk)_k∈K d´ecrivent des entiers≥1. Calculer P⁰/P,Q⁰/Qet R⁰/R. En d´eduireF⁰/F etG⁰/G.

4. En posant alorsN =Q

i∈I(X −ai)Q

j∈J(X−bj)Q

k∈K(X−ck), montrer queN F⁰/F et N G⁰/G sont des polynˆomes de degr´es< z0(P QR).

5. En d´eduire que les degr´es de P, Qet Rsont major´es strictement parz0(P QR).

6. En d´eduire que siU,V, W ∈C[X] sont non constants, premiers entre eux et v´erifientUⁿ+Vⁿ=Wⁿ, on an≤2.