MAPES – Alg`ebre et G´eom´etrie, variante du dernier exercice de la feuille 4 (03/08)
Enonc´e
SoientE,E0 deux espaces affines etf une application deE dansE0. 1) Dans cette question on supposef affine.
a) (Re-)d´emontrer que f est injective ssi−→ f l’est.
b) (Re-)d´emontrer que siF est un sous-espace affine deEde directionF alorsf(F) est un sous-espace affine deE0 de direction−→
f(F).
c) En d´eduire que si f est injective, f envoie toute droite de E sur une droite de E0, et envoie deux droites parall`eles sur des droites parall`eles.
2) SoientO, A, Btrois points non align´es deE. Pour tout M ∈(OA), soientM0 le point d’intersection de (OB) avec la parall`ele `a (AB) passant parM, etM00 le point d’intersection de (OA) avec la parall`ele `a (M B) passant parM0. D´emontrer que lorsqueM parcourt la droite (OA),M00 parcourt la demi-droite ferm´ee [OA).
3) Dans cette question on suppose queEest de dimension≥2, quef envoie toute droite deEbijectivement sur une droite deE0(doncf est injective), et quefenvoie deux droites parall`eles sur des droites parall`eles.
Le but est d’en d´eduire quef est affine.
a) Montrer que l’image par f d’un parall´elogramme est un parall´elogramme (on pourra commencer par le cas d’un parall´elogramme non aplati).
b) En d´eduire que l’applicationu:E→E0,−−→
M N 7→−−−−−−−→
f(M)f(N) est bien d´efinie.
c) V´erifier que∀x, y∈E, u(x+y) =u(x) +u(y).
En d´eduire que∀x∈E, u(λx) =λu(x) pour toutλ∈Z, puis pour toutλ∈Q.
d) Montrer (en utilisant 2) que pour tous points distinctsO, A∈ E,f([O, A)) = [f(O), f(A)).
e) En d´eduire queu(λx) =λu(x) est vrai pour toutλ∈R, et conclure.
Solution 1)
a) Soient O ∈ E et O0 =f(O), on a ∀x∈ E,−→
f(x) =−−−−−−−−→
O0f(O+x) (d’o`u : sif est injective alors −→ f aussi), et de mani`ere ´equivalente,∀M ∈ E, f(M) =O0+−→
f(−−→
OM) (d’o`u : si −→
f est injective alors f aussi). Remarquons que pour d´emontrer cette ´equivalence on n’a pas utilis´e que f est affine (c’est-`a-dire que−→
f est lin´eaire).
b) SiF =P+F alorsf(F) =f(P) +−→ f(F).
c) Sif est injective et siF est une droite vectorielle deE, d’apr`es a)−→
f(F) est une droite vectorielle deE0, et d’apr`es b) toutes les droites affinesFdeE de directionF ont pour image parf des droites affines deE0 de directionf(F).
2) Soit λ∈Rtel que −−→
OM =λ−→
OA, alors (par Thal`es)−−−→
OM0=λ−−→
OB et−−−→
OM00=λ−−→
OM =λ2−→
OA.
3)
a) Soient (A, B, C, D) un parall´elogramme (i.e. −−→
DC = −−→
AB, ou, ce qui est ´equivalent, −−→ BC = −−→
AD) et (A0, B0, C0, D0) son image par f. Si (A, B, C, D) est non aplati (c’est-`a-dire si les quatre points ne sont pas align´es) alors A, B, D sont non align´es et (DC)//(AB) et (BC)//(AD), donc idem en rempla¸cant (A, B, C, D) par (A0, B0, C0, D0), donc il existe λ, µ∈ Rtels que −−−→
D0C0 =λ−−−→ A0B0 et
−−−→
B0C0 =µ−−−→
A0D0, d’o`uλ−−−→
A0B0−µ−−−→
A0D0 =−−−→
D0B0 =−−−→
A0B0−−−−→
A0D0 doncλ=µ= 1 donc (A0, B0, C0, D0) est un parall´elogramme. Si (A, B, C, D) est aplati mais A 6= B, il existe (puisque dim(E) ≥ 2) P, Q ∈ E tels que (A, B, P, Q) et (P, Q, C, D) forment deux parall´elogrammes non aplatis. On se ram`ene ainsi au cas pr´ec´edent. Enfin, si A=B (doncC=D) alorsA0=B0 etC0=D0.
b) Si−−→
DC =−−→
AB, d’apr`es ce qui pr´ec`ede,−−−−−−−→
f(D)f(C) =−−−−−−→
f(A)f(B).
c) Etant donn´es x, y ∈ E, soient M ∈ E (arbitraire), N =M +x, et P = N +y = M + (x+y), alors u(x+y) = u(−−→
M P) = −−−−−−−→
f(M)f(P) = −−−−−−−→
f(M)f(N) +−−−−−−−→
f(N)f(P) =u(x) +u(y). On en d´eduit (par r´ecurrence sur |n|) ∀n ∈Z, u(nx) = nu(x), d’o`u ∀m ∈ N∗, mu(mnx) =u(nx) = nu(x) donc u(mnx) =mnu(x).
1
d) Soit B ∈ E \(OA). Il suffit, dans la question 2), d’appliquer simultan´ement la construction sur O, A, B, M∈ E et sur leurs images parf, en remarquant que f(M0) =f(M)0 et f(M00) =f(M)00. e) SoientM, N∈ E, notonsMλ=λN+ (1−λ)M etMµ0 =µf(N) + (1−µ)f(M). Par d´efinition deu
on a donc : f(Mλ) =Mµ0 ⇔u(λ−−→
M N) =µu(−−→
M N). D’apr`es c) on en d´eduit∀λ∈Q, f(Mλ) =Mλ0. Donc d’apr`es d), ∀α, β ∈ Q, f([Mα, Mβ]) = [Mα0, Mβ0], d’o`u ∀λ ∈ R, f(Mλ) = Mλ0 (en prenant l’intersection sur les α, β ∈ Q tels queα ≤ λ ≤ β), i.e. u(λ−−→
M N) =λu(−−→
M N). Ceci (joint `a la question c) prouve queuest lin´eaire, donc quef est affine.
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