Universit´e Paris 7-Denis Diderot Alg`ebre
Maˆıtrise de math´ematiques et informatique Ann´ee 2004-05
L. Merel - P. Perrin
EXAMEN du 27 janvier 2005 Dur´ee : 3 h
L’usage des calculatrices, t´el´ephones et de tout document est interdit.
I
Consid´erons le polynˆomeP(X) =X4+ 4X2+ 2∈Q[X]. SoitK un corps de d´ecomposition deP dansC.
1. Pour quelle raisonP est-il irr´eductible surQ?
2. D´emontrer que l’ensemble des racines deP dansCest de la forme{α,−α, β,−β}, avecα,β /∈R.
3. D´emontrer que √
2∈Q(α).
4. D´emontrer que β∈Q(α). En d´eduire queK=Q(α).
5. Quel est le degr´e de l’extensionK|Q?
6. Montrer que l’extensionK|Qest galoisienne. Quel est l’ordre deG= Gal(K/Q) ? 7. L’extensionK|Qest-elle r´esoluble par radicaux ?
8. Montrer que l’applicationG→Kqui `aσassocieσ(α) est injective.
9. D´emontrer que la conjugaison complexe induit un ´el´ementc deGd’ordre 2. PosonsH ={1, c}.
10. Quel est le sous-corpsKH deK form´e par les invariants sousH ?
11. Soitσ∈Gdistinct de l’identit´e et dec. D´emontrer que σ(αβ) =−αβ. En d´eduire queσest d’ordre 4.
12. D´emontrer queK admet un unique sous-corps de degr´e 2 surQ.
II
1. Combien un 5-sous-groupe de Sylow du groupe sym´etriqueS10 poss`ede-t-il d’´el´ements ? 2. D´ecrire explicitement un tel sous-groupe de Sylow. Est-il ab´elien ?
3. Combien y a-t-il de tels sous-groupes de Sylow ?
4. Ces sous-groupes de Sylow sont-ils distingu´es dansS10 ? 5. Sont-ils contenus dans le groupe altern´eA10 ?
6. D´emontrer que tout 3-cycle de S5est produit de 5-cycles.
7. En d´eduire que le sous-groupe H5 de S10 engendr´e par ses 5-sous-groupes de Sylow contient tous les 3-cycles deS10.
8. Quel est le sous-groupeH5 ?
