Calcul formel EXAMEN L1 MATHS

Calcul formel

EXAMEN L1 MATHS

Philippe Ryckelynck et Denis Vekemans

– Il est obligatoire d’être présent au début de l’épreuve.

– Il est formellement interdit de quitter la salle avant la fin de l’épreuve.

– La durée de l’épreuve est de une heure et demie.

– Aucun document n’est autorisé, la calculatrice n’est pas autorisée.

– Sur l’ordinateur mis à service, seul le logiciel "maple" est utilisable : internet et intranet sont mis hors service, les moyens de communication sont coupés (mail, telnet, ...), la sauvegarde ainsi que l’accès aux documents personnel sont également exclus.

– Le téléphone portable est évidemment interdit aussi.

– Le compte-rendu est à rendre uniquement sur copie et manuscrit : pas de sortie imprimante, pas d’enregistrement de fichier.

Exercice 1 Source : Espace Modules "Mathématiques", Lycée - classe de seconde, CRDP Aqui- taine.

A l’occasion de la sortie du film "La gloire de mon père", un des proches de Marcel Pagnol, interviewé à la radio, énonçait un "théorème" que cet auteur aurait découvert, enfant, lorsqu’il apprenait l’arithmétique dans la classe de son père :

La somme de la somme et du produit de deux nombres impairs consécutifs est un nombre premier".

Le "théorème" de Pagnol est-il bien vrai ?

Exercice 2 Soient a, b, cet d quatre réels donnés.

J_p,q = Z q

p

x

(a²−b² +x²)²+ 4b²x²dx.

∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France

1

L1 Maths Calcul formel 2008 1. A l’aide de maple, montrer que

x

(a²−b²+x²)²+ 4b²x² =− x

4(a²+x²+ 2ab+b²)ab+ x

4(a²+x²−2ab+b²)ab. 2. Quelle est la commande maple qui permet d’obtenir la valeur de Jp,q?

3. Retrouver mathématiquement le résultat donné par maple.

4. Calculer lim

p→−∞

Jp,q.

Exercice 3 Minimisation d’une aire.

Soit (O,~i,~j)un repère orthonormé.

On considère l’ensemble Γ des points M(x,√

4−x²) pourx variant entre 0et 2.

1. SoitTM la tangente enM à l’ensemble Γ. Donner l’équation de la tangente TM.

2. La tangente TM coupe l’axe (O~i) en un point A et l’axe (O~j) en un point B. Donner les coordonnées des points A etB.

3. Donner l’aire du triangle OAB en fonction de x.

4. Donner la valeur (ou les valeurs) de x pour que le triangle OAB ait une aire extrémale.

5. Donner la valeur (ou les valeurs) de x pour que le triangle OAB ait une aire minimale.

Exercice 4 Dans cet exercice, l’usage du package linalg est rigoureusement prohibé.

On se place dans R³ dont un repère orthonormé est (0,~i,~j, ~k).

1. Donner des procédures permettant de calculer

(a) le produit d’un vecteur par un scalaire : procédurepextdépendant des paramètres d’entrée α (un réel) et ~u (un vecteur à composantes réelles stoké comme une liste à 3 éléments : u = [u¹, u2, u3]) et devant retourner le vecteur ~v = α~u (un vecteur à composantes réelles stoké comme une liste à 3 éléments : v = [v1, v2, v3]) ;

(b) le produit scalaire de deux vecteurs : procédurepscaldépendant des paramètres d’entrée

~

u (un vecteur à composantes réelles stoké comme une liste à 3éléments : u= [u¹, u2, u3]) et~v (un vecteur à composantes réelles stoké comme une liste à 3 éléments :v = [v¹, v2, v3]) et devant retourner le produit scalaire α=~u~v (un réel) ;

(c) le produit vectoriel de deux vecteurs : procédurepvectdépendant des paramètres d’entrée

~

u (un vecteur à composantes réelles stoké comme une liste à 3éléments : u= [u¹, u2, u3]) et~v (un vecteur à composantes réelles stoké comme une liste à 3 éléments :v = [v¹, v2, v3]) et devant retourner le produit vectorielw~ =~u∧~v (un vecteur à composantes réelles stoké comme une liste à 3 éléments : w= [w1, w2, w3]) ;

–2/3– Mathématiques

L1 Maths Calcul formel 2008

(d) le produit mixte de trois vecteurs : procédure pmixt dépendant des paramètres d’entrée

~

u(un vecteur à composantes réelles stoké comme une liste à 3éléments : u= [u¹, u2, u3]),

~v (un vecteur à composantes réelles stoké comme une liste à 3 éléments :v = [v1, v2, v3]) et

~

w(un vecteur à composantes réelles stoké comme une liste à 3 éléments :w= [w1, w2, w3]) et devant retourner le produit mixte α=det(~u, ~v, ~w) (un réel).

2. Donner une commande maple qui permette de vérifier que

(~a∧~b)∧(~c∧d) =~ det(~a,~b, ~d)~c−det(~a,~b, ~c)d~

pour des vecteurs ~a, ~b, ~c, d~ quelconques de R³ (on prendra a = [a¹, a2, a3]; b = [b¹, b2, b3]; c= [c1, c2, c3]; et d= [d1, d2, d3]).

Exercice 5 Algèbre linéaire.

L’usage du packagelinalg demaple est vivement conseillé pour cet exercice !

Soitaun paramètre réel. Soitul’endomorphisme deR⁴ayant pour matriceA =













1 1 1 1

a 1 1 1

a² a 1 1 a³ a² a 1











 .

1. Discuter la bijectivité de u(c’est-à-dire de l’inversibilité de la matrice A) en fonction du para- mètre réel a : dire pour quelle(s) valeur(s) de a la matrice A est inversible et donner, pour ces valeurs, la matrice inverse de A.

2. Dans chacun des cas où u n’est pas bijective (c’est-à-dire lorsque la matrice A n’est pas in- versible), donner le noyau de u (une base et sa dimension) et l’image de u (une base et sa dimension).

3. Dans le cas oùa est quelconque, donner la matrice (A−I)³.

–3/3– Mathématiques