Calcul formel
EXAMEN L1 MATHS
Philippe Ryckelynck et Denis Vekemans
∗Jeudi 18 juin, de 9h à 10h30
– Il est obligatoire d’être présent au début de l’épreuve.
– Il est formellement interdit de quitter la salle avant la fin de l’épreuve.
– La durée de l’épreuve est de une heure et demie.
– Aucun document n’est autorisé, la calculatrice n’est pas autorisée.
– Sur l’ordinateur mis à service, seul le logiciel "maple" est utilisable : internet et intranet sont mis hors service, les moyens de communication sont coupés (mail, telnet, ...), la sauvegarde ainsi que l’accès aux documents personnels sont également exclus.
– Le téléphone portable est évidemment interdit aussi.
– Le compte-rendu est à rendre uniquement sur copie et manuscrit : pas de sortie imprimante, pas d’enregistrement de fichier.
Pour chacun des exercices, il est exigé de donner la liste des instructions "maple" en amont des résultats.
1. (2 points) Calculer la dérivée de la fonction réelle
f : x7−→sin(sin(sin(x))).
2. (2 points) Soit (un)n∈N la suite réelle donnée par récurrence :
u0 = 1, u1 = 1 et∀n ∈N, un+2+un+1−2un = 2.
Donner le terme général un de cette suite en fonction de n.
3. (2 points) Représenter graphiquement la courbe d’équations paramétriques :
t∈[0,3]
x(t) = t2−3t+21
y(t) = t2−3t+2t
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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L1 Maths Calcul formel 2009
Exercice 1 (4 points) Étude d’une fonction.
Soit a un paramètre réel strictement positif, et la fonction réelle f : x 7−→ x+ a
x, définie sur ]0,∞[.
1. Dresser le tableau de variations de la fonctionf.
2. Donner les limites de la fonction f en0et en∞. Déterminer l’asymptote obliqueA en l’infini.
3. Déterminer le minimum de la fonction f.
4. Donner l’équation de la tangente Ta de la fonction f au point d’abscisse a.
5. Dans le cas où a = 2, représenter graphiquement la fonction f, la tangente Ta et l’asymptote oblique A sur un même graphique.
Exercice 2 (6 points) Algèbre linéaire.
L’usage du packagelinalg demaple est vivement conseillé pour cet exercice !
Soitaun paramètre réel. Soitul’endomorphisme deR4ayant pour matriceA=
1 2 4 8 a 1 2 4 0 a 1 2 0 0 a 1
.
1. Discuter la bijectivité de u(c’est-à-dire de l’inversibilité de la matrice A) en fonction du para- mètre réel a : dire pour quelle(s) valeur(s) de a la matrice A est inversible et donner, pour ces valeurs, la matrice inverse de A.
2. Dans chacun des cas où u n’est pas bijective (c’est-à-dire lorsque la matrice A n’est pas in- versible), donner le noyau de u (une base et sa dimension) et l’image de u (une base et sa dimension).
3. (a) Dans le cas où a= 1, donner la matrice A4.
(b) Dans le cas où a est quelconque, donner la matrice
A4−4A3+ (−6a+ 6)A2+ (−4 + 12a−8a2)A.
Exercice 3 (4 points)
1. Trouver un entier natureln tel que n2+n+ 1 ait la somme de ses chiffres égale à30.
2. Combien existe-t-il d’entiers naturels n entre 100 et 999 tels que n2 +n+ 1 ait la somme de ses chiffres égale à 30?
–2/2– Mathématiques
