Calcul formel
DEVOIR SURVEILLE (L1)
Philippe Ryckelynck et Denis Vekemans
∗– La durée de l’épreuve est de 1 heure 30 minutes.
– Aucun document n’est autorisé, la calculatrice n’est pas autorisée.
– Sur l’ordinateur mis à service, seul le logiciel "maple" est utilisable.
– Le téléphone portable est évidemment interdit aussi.
– Le compte-rendu est à rendre uniquement sur copie et manuscrit : pas de sortie imprimante, pas d’enregistrement de fichier.
Exercice 1 On considère la suite (un)définie par u0 = 3 et un+1 = 67nun+ 9un+ 30n
nun+ 39n+ 54 . On pose vn = uun+12
n−15.
1. Donner vn+1 en fonction devn. 2. En déduirevn en fonction de n.
3. Donner enfinun en fonction den.
4. Quelle est la limite de la suite (un)?
Exercice 2 Soit E l’ensemble des paires de nombres premiers à trois chiffres qui diffèrent de 2.
Remarque : a, b est un élément de E si – 100 ≤a≤999; 100≤b≤999; – |b−a|= 2;
– a et b sont premiers.
Quel est le cardinal de l’ensemble E?
Exercice 3 Tout nombre entier naturel est une somme de ...
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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L1 Maths - Info - GSI Calcul formel 2008
– 3 nombres triangulaires (i.e. de la forme n22+n avecn ∈N) ; – 4 nombres carrés (i.e. de la forme n2 avec n∈N) ;
– 5 nombres pentagonaux (i.e. de la forme 3n22−n avec n∈N) ; – ...
1. Ecrire2008 comme somme de trois nombres triangulaires.
2. Ecrire2008 comme somme de quatre nombres carrés.
3. Ecrire2008 comme somme de cinq nombres pentagonaux.
Exercice 4 Soit la courbe(Γ)définie par les équations paramètriques en coordonnées cartésiennes :
x(t) =t+1
t y(t) =−t+ 1 + 1 t+ 1.
1. Déterminer les ensembles de définition de x et dey.
2. Construire la courbe (Γ) (remarque : le soin entre en compte dans la correction). On tracera sur le même graphique les tangentes horizontales ou verticales, les droites asymptotes horizontales, verticales ou obliques.
–2/2– Mathématiques
