Calcul formel
EXAMEN L1 MATHS
Philippe Ryckelynck et Denis Vekemans
∗Lundi 17 mai 2010, de 9h à 11h30
– Aucun document n’est autorisé, la calculatrice n’est pas autorisée.
– Sur l’ordinateur mis à service, seul le logiciel "maple" est utilisable : internet et intranet sont mis hors service, les moyens de communication sont coupés (mail, telnet, ...), la sauvegarde ainsi que l’accès aux documents personnels sont également exclus.
– Le téléphone portable est évidemment interdit aussi.
– Le compte-rendu est à rendre uniquement sur copie et manuscrit : pas de sortie imprimante, pas d’enregistrement de fichier.
Pour chacun des exercices, il est exigé de donner la liste des instructions "maple" en amont des résultats.
1. (2 points) Soit (un)n∈N la suite réelle donnée par récurrence :
u0 = 0 ; u1 = 1
et
un+2+ 2un+1−3un = 2.
Donner le terme général un de cette suite en fonction de n.
2. (2 points) Résoudre
f′(x)− cos(x)
sin(x)f(x) = cos(x). 3. (2 points) Donner le millième nombre premier.
Exercice 1 (4 points) Soit
u0 = 1 et un+1 = 2un+ 5 un−2.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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L1 Maths Calcul formel 2010
On pose
vn= un+ 1 un−5. 1. Donner vn+1 en fonction devn.
2. En déduirevn en fonction de n puis un en fonction den.
Exercice 2 (6 points) Algèbre linéaire.
L’usage du packagelinalg demaple est vivement conseillé pour cet exercice !
Soitaun paramètre réel. Soitul’endomorphisme deR4ayant pour matriceA=
1 a 1 1 1 1 a 1 0 1 1 a 0 0 1 1
.
1. Discuter la bijectivité de u(c’est-à-dire de l’inversibilité de la matrice A) en fonction du para- mètre réel a : dire pour quelle(s) valeur(s) de a la matrice A est inversible et donner, pour ces valeurs, la matrice inverse de A.
2. Dans chacun des cas où u n’est pas bijective (c’est-à-dire lorsque la matrice A n’est pas in- versible), donner le noyau de u (une base et sa dimension) et l’image de u (une base et sa dimension).
3. Dans le cas oùa = 1, donner la matrice A4+ 4A.
Exercice 3 (4 points) Trouver un entier natureln tel que2n ait la somme des carrés de ses chiffres égale à 18 216.
–2/2– Mathématiques
