Calcul formel EXAMEN L1 GSI
Philippe Ryckelynck et Denis Vekemans
∗– Il est obligatoire d’être présent au début de l’épreuve.
– Il est formellement interdit de quitter la salle avant la fin de l’épreuve.
– La durée de l’épreuve est de une heure et demie.
– Aucun document n’est autorisé, la calculatrice n’est pas autorisée.
– Sur l’ordinateur mis à service, seul le logiciel "maple" est utilisable : internet et intranet sont mis hors service, les moyens de communication sont coupés (mail, telnet, ...), la sauvegarde ainsi que l’accès aux documents personnel sont également exclus.
– Le téléphone portable est évidemment interdit aussi.
– Le compte-rendu est à rendre uniquement sur copie et manuscrit : pas de sortie imprimante, pas d’enregistrement de fichier.
Exercice 1 Donner le polynôme p tel que
x7 + 2x6+ 2x5+ 3x4+ 3x3+ 2x2+ 2x+ 1 = (x2+ 1)p(x).
Exercice 2 Chercher un nombre naturel de la forme abcbca (en base 10, a est chiffre des cen- taines de milliers et des unités supposé non nul, b est chiffre des dizaines de millers et des centaines, c est chiffre des milliers et des dizaines) qui soit un nombre premier.
Combien existe-t-il de nombres de la fome abcbca qui soient des nombres premiers ?
Exercice 3 Soient a, b etc des paramètres réels tels que abc−(a+b+c) + 2 6= 0.
Résoudre le système suivant :
ax+y+z = 1 x+by+z = 1 x+y+cz= 1
.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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L1 GSI Calcul formel 2008
Exercice 4 Soit f la fonction qui à xassocie
f(x) = e−x2 x2+ 1
définie de R dans R.
Donner une instruction maple permettant de vérifier que la fonction f est paire.
Sur un même graphique (on pourra se limiter à x ∈[−2,2]), donner la courbe représentative de f et de sa tangente au point d’abscisse 1.
Exercice 5 Donner l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E) : f′(x) +x2f(x) = 0.
–2/2– Mathématiques
