Calcul formel EXAMEN L1 INFO

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Calcul formel

EXAMEN L1 INFO

Philippe Ryckelynck et Denis Vekemans

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– Il est obligatoire d’être présent au début de l’épreuve.

– Il est formellement interdit de quitter la salle avant la fin de l’épreuve.

– La durée de l’épreuve est de 2 heures.

– Aucun document n’est autorisé, la calculatrice n’est pas autorisée.

– Sur l’ordinateur mis à service, seul le logiciel "maple" est utilisable : internet et intranet sont mis hors service, les moyens de communication sont coupés (mail, telnet, ...), la sauvegarde ainsi que l’accès aux documents personnel sont également exclus.

– Le téléphone portable est évidemment interdit aussi.

– Le compte-rendu est à rendre uniquement sur copie et manuscrit : pas de sortie imprimante, pas d’enregistrement de fichier.

Exercice 1 Questions de cours.

1. Donner le polynôme p tel que x⁸−2x² + 1 = (x² −1)p(x).

2. Donner la primitive de

f :R−→R

x7−→(x³ +x²+x+ 1) exp(x).

Exercice 2 Géométrie affine.

Soient P1, P2,P3 etP4 quatre points du plan.

Par exemple, lors de l’exécution de la procédure :

• > P1 :=[0,0] :P2 :=[3,1] :P3 :=[2,2] :P4 :=[3,3] : trapeze(P1,P2,P3,P4) ;celle-ci doit pouvoir retourner approximativement :

> ‘le quadrilatère n’est pas un trapèze‘ ;

∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France

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L1 Maths - Info - GSI Calcul formel 2007

> ‘le quadrilatère est un trapèze et la droite (‘,[0, 0],[3, 1],‘) est parallèle à la droite (‘,[0, 2],[3, 3],‘)‘ ;

On considère le quadrilatère Q donné par ses sommets consécutifs P1, P2, P3 et P4.

Compléter la procédure ci-dessous pour qu’elle affirme ou infirme le fait que le quadrilatère Q soit un trapèze.

Par exemple, lors de l’exécution de la procédure :

> ‘le quadrilatère n’est pas un trapèze‘,

> ‘le quadrilatère est un trapèze et la droite (‘,[0, 0],[3, 1],‘) est parallèle à la droite (‘,[0, 2],[3, 3],‘)‘.

Exercice 3 Fonctions de chiffres.

Chercher un nombre de la formeabcd (a est chiffre des milliers supposé non nul, b est chiffre des centaines, cest chiffre des dizaines et d est chiffre des unités) qui soit égal àa⁵+b⁴+c³+d².

Exercice 4 Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles.

Quelle est l’utilité de la procédure suivante ?

Remarque : f est une fonction polynomiale d’une variable réelle à valeurs réelles.

> solutionevidente :=proc(f ) local a,b,c,d,L,M ;

L :=NULL :

for a from -5 to 5 do for b from -5 to 5 do for c from 1 to 5 do for d from 1 to 5 do

if simplify(f((a+b*sqrt(c))/d))=0 then L :=L union (a+b*sqrt(c))/d fi : od :od :od :od :

RETURN(L) end :

> p :=x->xˆ2-x-1 ;solutionevidente(p) ;

–2/4– Mathématiques

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> p := x -> x²−x−1 1

2 −

√5 2 , 1

2 +

√5 2

Exercice 5 Algèbre linéaire.

a est un paramètre réel.

Soit M =







1 1 1 1 1

1 1 1 1 a

1 1 1 a a² 1 1 a a² a³ 1 a a² a³ a⁴





 .

1. Pour quelle(s) valeur(s) de a, la matrice M est-elle inversible ? 2. Lorsque M est inversible, donner la matrice inverse de M.

3. Lorsque M n’est pas inversible, selon la valeur de a, donner l’image et le noyau de M.

Exercice 6 Minimisation d’une aire.

Soit (O,~i,~j) un repère orthonormé. On considère l’ensemble Γ des points M(x,1−x²) pour x variant entre 0 et1.

1. SoitTM la tangente enM à l’ensemble Γ. Donner l’équation de la tangente TM.

2. La tangente TM coupe l’axe (O~i) en un point A et l’axe (O~j) en un point B. Donner les coordonnées des points A etB.

3. Donner l’aire du triangle OAB en fonction de x.

4. Donner la valeur (ou les valeurs) de x pour que le triangle OAB ait une aire extrémale.

5. Donner la valeur (ou les valeurs) de x pour que le triangle OAB ait une aire minimale.

Exercice 7 Formule de John Machin.

Cet exercice idéalement devrait être fait aussi à la main, comme en 1705 ...

On demande seulement des justifications avec "maple".

1. Donner un intervalle deR sur lequel la fonction tan est injective.

2. Rappeler la définition de la fonctionarctan.

3. Donner la dérivée de la fonction arctan.

4. Donner un tracé dela fonction arctan.

5. Rappeler la formule donnant tan(a+b).

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6. Soient les nombres α= ^π₄ + arctan(₂₃₉¹ ) etβ = 4 arctan(¹₅).

(a) Donner une valeur approchée de α, puis de β.

(b) Montrer que tan(α) = tan(β) et déduire queα=β.

Grace à cette formule et au développement limité de la fonction arctan (Grégory), John Machin fut le premier à obtenir les 100 premières décimales de π. De α = β, on déduit π = 16 arctan(¹₅)− 4 arctan(239¹ )

– le développement limité à l’ordre1donne alors : π proche de ³⁸⁰⁴1195 = 16×¹5−4×239¹ ou encore proche de 3,183263598.

– le développement limité à l’ordre 3 donne alors : π proche de ^5359397032_1706489875 = 16× ¹5 −4× 239¹ −

16 3 × ¹5

³

+⁴₃ × 239¹

³

ou encore proche de 3,141592682.

7. Que donne le développement limité à l’ordre 5comme approximation de π?