Calcul formel
EXAMEN L1 CMA/GSI
Denis Vekemans
∗Mardi 15 juin 2010 ; 10h-11h30
– Aucun document n’est autorisé, la calculatrice n’est pas autorisée.
– Sur l’ordinateur mis à service, seul le logiciel "maple" est utilisable : internet et intranet sont mis hors service, les moyens de communication sont coupés (mail, telnet, ...), la sauvegarde ainsi que l’accès aux documents personnels sont également exclus.
– Le téléphone portable est évidemment interdit aussi.
– Le compte-rendu est à rendre uniquement sur copie et manuscrit : pas de sortie imprimante, pas d’enregistrement de fichier.
Pour chacun des exercices, il est exigé de donner la liste des instructions "maple" en amont des résultats.
1. (2 points) Donner l’équation de la tangente de la fonction réelle
f : x7−→x3+ ln(x2+ 1)
au point d’abscisse x= 2.
2. (2 points) Soit (un)n∈N la suite réelle donnée par récurrence :
u0 = 1, u1 = 1 et∀n ∈N, un+2 = un+1
2 + n2un
2n2+ 1. Donner le terme u20 de cette suite approché au millième près.
3. (2 points) Soit (un)n∈N la suite réelle donnée par récurrence :
u0 = 0, u1 = 1 et∀n ∈N, un+2−4un= 2n.
Donner le terme général un de cette suite en fonction de n.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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L1 CMA/GSI Calcul formel 2010
4. (2 points) L’usage du package linalg demaple est vivement conseillé pour cet exercice ! Soit la matrice
A=
1 1 1 1 2 3 1 4 9
.
Calculer A2−4A+I3 oùI3 représente la matrice identité. Donner l’inverse de la matrice A. 5. (2 points) Résoudre le système suivant en fonction du paramètrea réel :
x+y+z = 1 2x+ 3y+ 4z = 1 4x+ 2y+z =a
.
6. (2 points) Calculer
Z x
0
√t t+ 1dt.
7. (2 points) Soit la surface A délimitée inférieurement par la courbe d’équation y = x3 et su- périeurement par la courbe d’équation y = x2 pour des valeurs de x comprises entre 0 et 1.
Donner les coordonnées du centre de gravité de la surface A.
8. (2 points) Résoudre
f′(x)−xf(x) = x.
9. (4 points)
(a) Représenter graphiquement la courbe d’équations paramétriques :
t ∈R x(t) = lnt+1|t| y(t) = ln|t2−1|
(b) Donner l’équation de la tangente en t= 12. (c) Donner l’équation de l’asymptote en t= 1.
–2/2– Mathématiques
