Calcul formel
EXAMEN L1 CMA/GSI
Denis Vekemans
∗Jeudi 18 juin 2009 ; 14h-15h30
– Il est obligatoire d’être présent au début de l’épreuve.
– Il est formellement interdit de quitter la salle avant la fin de l’épreuve.
– La durée de l’épreuve est de une heure et demie.
– Aucun document n’est autorisé, la calculatrice n’est pas autorisée.
– Sur l’ordinateur mis à service, seul le logiciel "maple" est utilisable : internet et intranet sont mis hors service, les moyens de communication sont coupés (mail, telnet, ...), la sauvegarde ainsi que l’accès aux documents personnels sont également exclus.
– Le téléphone portable est évidemment interdit aussi.
– Le compte-rendu est à rendre uniquement sur copie et manuscrit : pas de sortie imprimante, pas d’enregistrement de fichier.
Pour chacun des exercices, il est exigé de donner la liste des instructions "maple" en amont des résultats.
1. (2 points) Calculer la dérivée de la fonction réelle
f : x7−→cos(tan(x)).
2. (2 points) Soit (un)n∈N la suite réelle donnée par récurrence :
u0 = 1, u1 = 1 et∀n ∈N, un+2+un+1−2un = 2.
Donner le terme général un de cette suite en fonction de n.
3. (2 points) Soit (un)n∈N la suite réelle donnée par récurrence :
u0 = 0, u1 = 1 et ∀n∈N, (n2+n+ 1)un+2+ (n+ 1)un+1+un= 0.
Donner le terme u50 de cette suite approché au dixième près.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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L1 CMA/GSI Calcul formel 2009
4. (2 points) L’usage du package linalg demaple est vivement conseillé pour cet exercice ! Soit la matrice
A=
1 2 0 2 1 2 0 2 1
.
Calculer A3−2A2+ 3A−4I3 oùI3 représente la matrice identité. Donner l’inverse de la matrice A.
5. (2 points) Rechercher l’ensemble des points d’intersection de l’ellipse d’équation cartésienne
x2+y2 4 = 1 et la droite d’équation
y= x+ 1 2 . 6. (2 points) Calculer
Z x
1
t+ 1
√t2−1dt.
7. (2 points) Soit la surface A délimitée inférieurement par la parabole d’équation y = x2 et supérieurement par la droite d’équation y= 2x−3 pour des valeurs de x comprises entre −2 et −1. Donner les coordonnées du centre de gravité de la surfaceA.
8. (2 points) Résoudre
f′(x)−xf(x) =x3.
9. (2 points) Représenter sur un même graphique la fonction réelle qui àx associe√
x2+ 1−xet sa tangente en x= 1. Déterminer la limite de la fonction f en∞.
10. (2 points) Représenter graphiquement la courbe d’équations paramétriques :
t∈[0,3]
x(t) = t2−3t+21
y(t) = t2−3t+2t
–2/2– Mathématiques
