Calcul formel
EXAMEN L1 MATHS
Philippe Ryckelynck et Denis Vekemans ∗ Vendredi 11 juin 2010, de 14h à 16h30
– Aucun document n’est autorisé, la calculatrice n’est pas autorisée.
– Sur l’ordinateur mis à service, seul le logiciel "maple" est utilisable : internet et intranet sont mis hors service, les moyens de communication sont coupés (mail, telnet, ...), la sauvegarde ainsi que l’accès aux documents personnels sont également exclus.
– Le téléphone portable est évidemment interdit aussi.
– Le compte-rendu est à rendre uniquement sur copie et manuscrit : pas de sortie imprimante, pas d’enregistrement de fichier.
Pour chacun des exercices, il est exigé de donner la liste des instructions "maple" en amont des résultats.
1. (2 points) Décomposer la fonction rationnelle f : x7−→ 1
x4−2x2+ 1 en somme d’éléments simples de première espèce.
2. (2 points) Calculer Z ∞ 0
(cos(x)−sin(3x)) exp(−2x)dx.
3. (2 points) Donner la décomposition de15 014 664 en produit de facteurs premiers.
Exercice 1 (4 points) Soient les suites(un)≥0 et(vn)n≥0 définies de la façon suivante :
u0 = 3 ; v0 = 0 ; un+1 = unvn
4 + 1etvn+1 = un+vn+ 1
3 .
1. Calculeru20 etv20 de façon approchée.
2. Les suites(un)≥0 et(vn)n≥0 sont-elles adjacentes ?
Exercice 2 (6 points)Géométrie plane.
On se place dans un repère orthonormé direct(O,~i,~j).
1. Donner une procédure permettant de retourner le centre de gravitéGd’un triangleXY Z quelconque :
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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L1 Maths Calcul formel 2010
⋄ les entrées sont les points X,Y etZ stockés dans maple comme des 2-listes des coordonnées : X:= [xx, yx];Y := [xy, yy];Z:= [xz, yz];
⋄ la sortie est le pointG stocké dans maple comme une 2-liste des coordonnées : G:= [xg, yg];
2. Donner une procédure permettant de retourner l’imageN du pointM dans la rotation de centreΩet d’angleθ :
⋄ les entrées sont les points M etΩstockés dans maple comme des 2-listes des coordonnées : M := [xm, ym];Omega:= [xo, yo];Z := [xz, yz];
et l’angleθ, un réel ;
⋄ la sortie est le pointN stocké dans maple comme une 2-liste des coordonnées : N := [xn, yn];
3. SoitABC un triangle quelconque de sens direct.
On construit les points P, Q et R tels que les triangles BP C, CQA et ARB soient des triangles équilatéraux directs.
SoientU le centre de gravité du triangleBP C,V le centre de gravité du triangleCQAetW le centre de gravité du triangle ARB.
On suppose les points A,B etC stockés dans maple comme des 2-listes des coordonnées :
A:= [xa, ya];B:= [xb, yb];C:= [xc, yc];
(a) Donner les points P,Q etR stockés dans maple comme des 2-listes des coordonnées :
P := [xp, yp];Q:= [xq, yq];R:= [xr, yr];
(b) En déduire les pointsU,V etW stockés dans maple comme des 2-listes des coordonnées :
U := [xu, yu];V := [xv, yv];W := [xw, yw];
(c) Montrer que le triangle U V W est équilatéral.
(d) Montrer que les trianglesU V W etABC ont même centre de gravité.
Exercice 3 (4 points) Trouver 10 entiers naturels en progression arithmétique qui soient tous premiers (i.e. trouver a entier naturel et r entier naturel tels que a, a+r, a+ 2r, . . ., a+ 9r soient des nombres premiers).
–2/2– Mathématiques
