Calcul formel
EXAMEN L1 MATHS
Philippe Ryckelynck et Denis Vekemans
∗Mardi 19 mai, de 14h à 15h30
– Il est obligatoire d’être présent au début de l’épreuve.
– Il est formellement interdit de quitter la salle avant la fin de l’épreuve.
– La durée de l’épreuve est de une heure et demie.
– Aucun document n’est autorisé, la calculatrice n’est pas autorisée.
– Sur l’ordinateur mis à service, seul le logiciel "maple" est utilisable : internet et intranet sont mis hors service, les moyens de communication sont coupés (mail, telnet, ...), la sauvegarde ainsi que l’accès aux documents personnels sont également exclus.
– Le téléphone portable est évidemment interdit aussi.
– Le compte-rendu est à rendre uniquement sur copie et manuscrit : pas de sortie imprimante, pas d’enregistrement de fichier.
Pour chacun des exercices, il est exigé de donner la liste des instructions "maple" en amont des résultats.
1. (2 points) Calculer
Z 3
2
x x4−1dx.
2. (2 points) Résoudre
f′(x)−xf(x) =x3.
3. (2 points) Représenter graphiquement la courbe d’équations paramétriques :
t∈[−2,2]
x(t) = t21−1
y(t) = t2−t1
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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L1 Maths Calcul formel 2009
Exercice 1 (4 points) Minimisation d’une aire.
Soit (O,~i,~j)un repère orthonormé.
On considère l’ensemble Γ des points M(x,(x−2)3)pour x variant entre0 et 2.
1. SoitTM la tangente enM à l’ensemble Γ. Donner l’équation de la tangente TM.
2. La tangente TM coupe l’axe (O~i) en un point A et l’axe (O~j) en un point B. Donner les coordonnées des points A etB.
3. Donner l’aire du triangle OAB en fonction de x.
4. Donner la valeur (ou les valeurs) de x pour que le triangle OAB ait une aire extrémale.
5. Donner la valeur (ou les valeurs) de x pour que le triangle OAB ait une aire minimale.
Exercice 2 (6 points) Algèbre linéaire.
L’usage du packagelinalg demaple est vivement conseillé pour cet exercice !
Soitaun paramètre réel. Soitul’endomorphisme deR4ayant pour matriceA=
1 1 1 1 a 1 1 1 0 a 1 1 0 0 a 1
.
1. Discuter la bijectivité de u(c’est-à-dire de l’inversibilité de la matrice A) en fonction du para- mètre réel a : dire pour quelle(s) valeur(s) de a la matrice A est inversible et donner, pour ces valeurs, la matrice inverse de A.
2. Dans chacun des cas où u n’est pas bijective (c’est-à-dire lorsque la matrice A n’est pas in- versible), donner le noyau de u (une base et sa dimension) et l’image de u (une base et sa dimension).
3. (a) Dans le cas où a= 1, donner la matrice A4.
(b) Dans le cas où a est quelconque, donner la matrice
A4−4A3−3(a−2)A2−2(a−1)(a−2)A−(a−1)3I, oùI représente la matrice identité.
Exercice 3 (4 points) Trouver un entier naturel n tel que 2n ait la somme de ses chiffres égale à 1366.
–2/2– Mathématiques
