Calcul formel EXAMEN L2 INFO
Denis Vekemans∗
Jeudi 24 juin 2010, de 11h15 à 12h45
– Aucun document n’est autorisé, la calculatrice n’est pas autorisée.
– Sur l’ordinateur mis à service, seul le logiciel "maple" est utilisable : internet et intranet sont mis hors service, les moyens de communication sont coupés (mail, telnet, ...), la sauvegarde ainsi que l’accès aux documents personnels sont également exclus.
– Le téléphone portable est évidemment interdit aussi.
– Le compte-rendu est à rendre uniquement sur copie et manuscrit : pas de sortie imprimante, pas d’enregistrement de fichier.
Pour chacun des exercices, il est exigé de donner la liste des instructions "maple" en amont des résultats.
1. (4 points) Soitf la fonction qui àx fait correspondre 2−x2. (a) Donner les solutions aetb(aveca≤b) de l’équationf(x) = 0.
(b) On définit la surface S =
(x, y)∈R2 tels quea≤x≤bet0≤y≤f(x) . i. Donner l’aire deS.
ii. Donner les coordonnées du centre de gravité de la surfaceS.
2. (2 points) Soit(un) la suite définie par la récurrence suivante : u0 =u1 = 1 et un+2= un+1
n+ 1−un
2 + 1.
Donner le terme u30 de cette suite approché à10−3 près.
3. (2 points) Soitf satisafaisant l’équation différentielle
f′′(x) + 7f′(x) + 10f(x) = 10x+ 7,
avec les conditions initiales f(0) = 0etf′(0) = 0.
Donner l’ensemble des fonctions f solutions de ce problème.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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L2 Info Calcul formel 2010
Exercice 1 (4 points)Courbes paramétrées.
Soient les fonctions réelles
x:t7−→ln|t(t−1)|
et
y:t7−→ln|t(t+ 1)|.
1. Donner un tableau de variations complet (ensemble de définition, variations et limites) de la courbe paramétrée.
2. Étudier le comportement asymptotique de la courbe paramétrée lorsquettend vers +∞.
3. Donner la tangente (une équation) à la courbe paramétrée lorsquetvaut 13.
Exercice 2 (4 points)Algèbre linéaire.
L’usage du packagelinalg de maple est vivement conseillé pour cet exercice !
Soitaun paramètre réel. Soitu l’endomorphisme de R3 ayant pour matriceA=
0 a 1 a 0 a 1 a 0
.
1. Discuter la bijectivité deu(c’est-à-dire de l’inversibilité de la matriceA) en fonction du paramètre réel a: dire pour quelle(s) valeur(s) deala matrice Aest inversible et donner, pour ces valeurs, la matrice inverse de A.
2. Dans chacun des cas où u n’est pas bijective (c’est-à-dire lorsque la matrice A n’est pas inversible), donner le noyau de u (une base et sa dimension) et l’image deu (une base et sa dimension).
3. Dans le cas oùa= 2, donner la matrice(A3+ 2A)B oùB =
1 −1 0
0 1 −1
−1 0 1
.
Exercice 3 (4 points) Soient~u,~v etw~ trois vecteurs deR3.
Dans un repère orthonormé (0,~i,~j, ~k) de R3, les coordonnées de P sont (1; 1; 0); les coordonnées de Q sont (0; 1; 1); et les coordonnées deR sont (1; 0; 1).
1. Donner une équation cartésienne du plan(P QR).
2. Paramétriser la droite(P Q).
3. Donner le projeté orthogonal deR sur la droite(P Q).
–2/2– Mathématiques
