Calcul formel
EXAMEN L1 Maths - Info - GSI
Philippe Ryckelynck et Denis Vekemans
∗– Il est obligatoire d’être présent au début de l’épreuve.
– Il est formellement interdit de quitter la salle avant la fin de l’épreuve.
– La durée de l’épreuve est de 2 heures.
– Aucun document n’est autorisé, la calculatrice n’est pas autorisée.
– Sur l’ordinateur mis à service, seul le logiciel "maple" est utilisable : internet et intranet sont mis hors service, les moyens de communication sont coupés (mail, telnet, ...), la sauvegarde ainsi que l’accès aux documents personnel sont également exclus.
– Le téléphone portable est évidemment interdit aussi.
– Le compte-rendu est à rendre uniquement sur copie et manuscrit : pas de sortie imprimante, pas d’enregistrement de fichier.
Exercice 1 Questions de cours.
1. Donner des coefficients a, b, c et d réels tels que cos(7x) = acos(x)7 +bcos(x)5 +ccos(x)3+ dcos(x).
2 points 2. Donner le polynôme p tel que x9−x6+x3 −1 = (x2+ 1)p(x).
2 points 3. Trouver u et v deux entiers relatifs tels que9625u+ 840v = 1.
2 points
Exercice 2 Géométrie affine.
Soit (O,~i,~j)un repère orthonormé direct.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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L1 Maths - Info - GSI Calcul formel 2007
Soient A le point de coordonnées(0,0), E le point de coordonnées(1,0), ABCD un carré direct et BEF G un carré direct également.
Quel est le lieu géométrique du milieu I du segment [DF] lorsque le point B varie dans le plan ?
Démarche proposée: on considère que le pointB a pour coordonnées(x, y), donner les coordonnées du point D en fonction de x ety, donner les coordonnées du point F en fonction de x et y, donner les coordonnées du point I en fonction de x ety et conclure.
3 points
Exercice 3 Fonctions de chiffres.
Chercher un nombre naturel de la formeabbcca (en base10, aest chiffre des centaines de milliers et des unités supposé non nul, b est chiffre des dizaines de millers et des miliers, c est chiffre des dizaines et des centaines) qui soit un carré parfait (i.e. le carré d’un nombre naturel).
Combien existe-t-il de nombres de la fome abbcca qui soient des carrés parfaits ?
3 points
–2/3– Mathématiques
L1 Maths - Info - GSI Calcul formel 2007
Exercice 4 Algèbre linéaire.
a est un paramètre réel.
Soit A=
1 10 100 10 100 a 100 a 10
.
Pourx, y et z réels, on considère l’équation(E) : A
x y z
=
111 111 111
.
1. Pour quelle(s) valeur(s) de a, la matrice A est-elle inversible ? 2. Lorsque A est inversible, donner la matrice inverse deM.
1 point 3. Lorsque A n’est pas inversible, selon la valeur dea, donner l’image et le noyau de M.
1 point 4. Lorsque A est inversible, donnerx, y etz.
1 point 5. Lorsque A n’est pas inversible, selon la valeur de a, donner l’ensemble des triplets(x, y, z) de
R3.
1 point
Exercice 5 Minimisation d’une aire.
Soit (O,~i,~j) un repère orthonormé. On considère l’ensembleΓ des points M(x,√
1−x2)pour x variant entre 0 et1.
1. SoitTM la tangente enM à l’ensemble Γ. Donner l’équation de la tangente TM.
1 point 2. La tangente TM coupe l’axe (O~i) en un point A et l’axe (O~j) en un point B. Donner les
coordonnées des points A etB.
1 point 3. Donner l’aire du triangle OAB en fonction de x.
1 point 4. Donner la valeur (ou les valeurs) de x pour que le triangle OAB ait une aire extrémale.
5. Donner la valeur (ou les valeurs) de x pour que le triangle OAB ait une aire minimale.
1 point
–3/3– Mathématiques
