Chapitre I S´eries enti`eres et fonctions holomorphes

Chapitre I

S´ eries enti` eres et fonctions holomorphes

La plupart des fonctions complexes dites ´el´ementaires (exponentielle, loga- rithme, fonctions trigonom´etriques et hyperboliques) peuvent se d´efinir directe- ment comme des sommes de ^hhs´eries enti`eresⁱⁱ P

n∈Na_nzⁿ de la variable com- plexe z. C’est d’ailleurs cette approche qui permet d’en d´emontrer les princi- pales propri´et´es de la mani`ere la plus rapide et la plus efficace. Dans ce chapitre, nous suivons cette voie : apr`es une br`eve description des propri´et´es g´en´erales des s´eries enti`eres, nous introduisons d’abord la fonction exponentielle complexe, puis `a partir de celle-ci, nous d´eduisons les principales propri´et´es des autres fonc- tions ´el´ementaires. Nous introduisons ensuite les d´efinitions de base concernant les fonctions holomorphes et l’op´erateur de Cauchy-Riemann ∂/∂z, et discutons bri`evement la notion d’application conforme.

Notations. Tout au long de cet ouvrage, nous d´esignerons parN⊂Z⊂Q⊂R⊂C les ensembles de nombres usuels (entiers naturels, entiers rationnels, nombres rationnels, r´eels et complexes). SiX est un espace topologique (voir appendice A) et S une partie de X, on notera S^◦ l’int´erieur de S, S l’adh´erence de S et

∂S =S rS^◦ la fronti`ere de S (ici r est l’op´erateur de ^hhdiff´erence ensemblisteⁱⁱ, ainsi not´e pour ´eviter toute confusion avec la diff´erence alg´ebrique −). Enfin, si z₀ ∈C et r∈]0,+∞], on notera respectivement

D(z₀, r) ={z ∈C; |z−z₀|< r}, D(z₀, r) ={z ∈C; |z−z₀|6r}, Γ(z₀, r) ={z ∈C; |z−z₀|=r},

le disque ouvert de centre z0 et de rayon r, le disque ferm´e qui en est l’adh´erence et le cercle fronti`ere Γ(z₀, r) =∂D(z₀, r).

1. S´ eries enti` eres

1.1. Rayon de convergence d’une s´ erie enti` ere

Rappelons d’abord quelques points de terminologie. Si (u_n)n>n0 est une suite de nombres r´eels ou complexes, on appelle s´erie de terme g´en´eral un, not´ee P

n>n0u_n (ou simplement P

u_n), la suite des sommes partielles sn=un0 +· · ·+un, n>n0,

cette suite pouvant ˆetre convergente ou non. Si n₀ = 0, la s´erie sera aussi not´ee P

n∈Nun. On dit que la s´erie est convergente si la limite S = limn→+∞sn existe, et on d´esigne alors par

S = X+∞

n=n0

u_n, la somme de la s´erie P

u_n. Le reste d’ordre n d’une s´erie convergente P u_n de somme S est par d´efinition

ρn =S−sn =

+∞X

p=n+1

up.

Si la suite u_n est une suite de fonctions r´eelles ou complexes x 7→ u_n(x) d´efinies pour x dans un ensemble E, on dit que la suite est uniform´ement convergente (resp. normalement convergente) sur E si P

u_n(x) converge pour tout x∈E et si kρ_nkE = sup

x∈E|ρ_n(x)|

converge vers 0 quand n tend vers +∞ (resp. si la s´erie P

ku_nkE converge).

Comme il est bien connu, la convergence normale entraˆıne la convergence uniforme.

Une s´erie enti`ere (complexe) est par d´efinition une s´erie de la formeP

n∈Na_nzⁿ o`u les coefficients a<sub>n</sub> ∈ C et la variable z ∈ C sont complexes. Le domaine de convergence de la s´erie enti`ere est l’ensemble ∆ des nombres complexes z ∈ C pour lesquels la s´erie converge. Lorsque la s´erie converge, nous d´esignons par

f(z) =

+∞X

n=0

anzⁿ

la valeur de la somme. Le principal r´esultat concernant le domaine de convergence est le suivant.

Th´eor`eme.Soit P

n∈Na_nzⁿ une s´erie enti`ere complexe et soitR∈[0,+∞]d´efini par

(1.1.1) R= sup

r >0 ; la suite (|a_n|rⁿ)_n∈^N est born´ee Alors le domaine de convergence ∆ de la s´erie v´erifie

D(0, R)⊂∆⊂D(0, R).

De plus, la s´erie P

a_nzⁿ converge normalement sur tout disque ferm´e born´e D(0, r) ⊂ D(0, R). Le nombre R est appel´e rayon de convergence. Il est donn´e par la formule de Hadamard

(1.1.2) R= lim inf

n→+∞

1

np

|a_n|,

o`u la limite est calcul´ee dans [0,+∞], avec la convention 1/0 = +∞. Si les coefficients an sont non nuls et si le quotient de deux termes cons´ecutifs admet une limite

(1.1.3) ℓ = lim

n→+∞

|a_n+1|

|a_n| ∈[0,+∞],

alors le rayon de convergence est R= 1/ℓ (crit`ere de d’Alembert).

D´emonstration. Soit E = {r > 0 ; (|a_n|rⁿ) est born´ee} et R = supE ∈ [0,+∞].

Alors, pour |z|> R, on a |z|∈/ E, donc la suite (|a_n||z|ⁿ) n’est pas born´ee, et par suite la s´erie P

n∈Na_nzⁿ diverge. Ceci montre que ∆⊂D(0, R).

Soit maintenant r>0 un r´eel positif tel que r < R = supE. Il existe alors un r´eel ρ > 0 tel que ρ ∈ E et r < ρ < R. Il existe donc une constante C > 0 telle que |an|ρⁿ 6C pour tout n∈N. Pourz ∈D(0, r) on en d´eduit

|a_nzⁿ|6|a_n|ρⁿ|z| ρ

n

6Cr ρ

n

avec r/ρ < 1. La s´erie est major´ee en module par une s´erie g´eom´etrique convergente. Ceci montre que la s´erie converge normalement sur le disque D(0, r) pour tout r < R, et en particulier D(0, R) ⊂ ∆. Il ne reste plus qu’`a d´emontrer la formule de Hadamard. C’est presque imm´ediat : si r > lim inf 1/ⁿp

|an|, il y a une infinit´e d’indices n tels que 1/ⁿp

|an| 6 r^′ pour un certain r^′ ∈]0, r[, donc

|a_n|r^′n > 1 et la sous-suite correspondante |a_n|rⁿ >(r/r^′)ⁿ n’est pas born´ee, par cons´equent R6r. Inversement, si r <lim inf 1/ⁿp

|an|, nous avons 1/ⁿp

|an|>r pour n > n₀ assez grand, donc la suite |a_n|rⁿ est born´ee (major´ee par 1 pour n > n0), et R > r. Ceci implique bien l’´egalit´e R = lim inf 1/ⁿp

|an|. Enfin, le crit`ere de d’Alembert s’obtient en montrant que l’hypoth`ese lim|a_n+1|/|a_n| = ℓ implique limn→+∞np

|an|=ℓ, ce qui est ´el´ementaire.

Exemples. La s´erie g´eom´etrique P

n>0zⁿ admet pour rayon de convergence R = 1 et pour domaine de convergence le disque ouvert ∆ = D(0,1). Les s´eries P

n>1n⁻ⁿzⁿ etP

n>1nⁿzⁿ admettent respectivement pour rayon de convergence R = +∞ et R = 0 (d’o`u ∆ = C, ∆ = {0} respectivement). La formule de Hadamard montre qu’on ne change pas le rayon de convergence en rempla¸cant a_n parn^αa_npourα∈Rquelconque, puisque lim_n+∞ⁿ√

n^α = 1. Ceci peut n´eanmoins affecter les points situ´es sur la fronti`ere du domaine de convergence. Ainsi la s´erie P

n>1n⁻²zⁿ admet pour domaine de convergence ∆ =D(0,1) (domaine sur lequel elle est normalement convergente), tandis queP

n>1n⁻¹zⁿadmet pour domaine de convergence ∆ =D(0,1)r{1}. En z = 1, on obtient en effet la s´erie harmonique P1/n qui est divergente. Pour z = e^iθ de module 1, z 6= 1, la s´erie converge, comme on peut le voir `a partir du classique lemme d’Abel :

Lemme d’Abel.SoitP

n>n₀u_nv_n une s´erie `a termes complexes. On suppose que u_n>0 est une suite d´ecroissante convergeant vers 0 et que les sommes partielles

sn=vn0 +vn0+1+· · ·+vn

sont born´ees en module, i.e. |s_n|6M pour tout n>n₀ et une certaine constante M >0. Alors la s´erie P

unvn est convergente.

D´emonstration. Pour tous les indices q > p > n₀, on peut en effet ´ecrire u_pv_p+· · ·+u_qv_q =u_p(s_p −s_p−1) +u_p+1(s_p+1−s_p) +· · ·+u_q(s_q−s_q−1)

=−u_ps_p−1+s_p(u_p−u_p+1) +· · ·+s_q−1(u_q−1−u_q) +u_qs_q. (1.1.4)

Comme |s_n|6M, on d´eduit de l`a

|upvp+· · ·+uqvq|6M up+M(up−up+1) +· · ·+M(uq−1−uq) +M uq= 2M up

(on a utilis´e ici la d´ecroissance de (un) pour voir que up −up+1 > 0). Comme u_p →0 quand p→+∞, ceci montre que les sommes partielles de la s´erie P

u_nv_n satisfont le crit`ere de Cauchy, et la convergence s’ensuit.

Dans l’exemple consid´er´e plus haut, on a n₀ = 1, u_n = 1/n, v_n = zⁿ = e^niθ. Un calcul imm´ediat montre que la somme

v1+· · ·+vn=e^iθe^niθ−1 e^iθ−1

est major´ee en module par M = 2/|e^iθ−1| pour e^iθ 6= 1, d’o`u la convergence de la s´erie P

n>1zⁿ/n pour |z|= 1, z 6= 1.

1.2. Sommes et produits de s´ eries enti` eres

Consid´erons deux s´eries enti`eres P

anzⁿ etP

bnzⁿ, de rayons de convergence respectifs R^′ et R^′′. Alors la s´erie somme P

(a_n+b_n)zⁿ converge au moins dans l’intersection D(0, R^′) ∩D(0, R^′′) des disques ouverts de convergence respectifs, par cons´equent son rayon de convergence R⁺ satisfait l’in´egalit´e

(1.2.1) R⁺ >min(R^′, R^′′).

L’in´egalit´e peut ˆetre stricte. C’est le cas par exemple si nous choisissons an = 2⁻ⁿ + 1, b_n = −2ⁿ, a_n + b_n = 1, les rayons de convergence respectifs ´etant R^′ = R^′′ = 1/2, R⁺ = 1. Il est clair n´eanmoins que l’´egalit´e R = min(R^′, R^′′) a lieu si R^′ 6=R^′′, puisque la s´erie somme diverge alors pour|z| ∈]R^′, R^′′[, l’une des s´eries ´etant convergente et l’autre divergente.

Venons en maintenant `a la s´erie produit. On rappelle que le produit P

p>0u_pP

q>0v_q des sommes de deux s´eries num´eriques absolument convergentes est ´egal `a la somme P

n>0wn de la s´erie de terme g´en´eral

(1.2.2) w_n = X

p+q=n

u_pv_q = Xn p=0

u_pv_n−p, qui est appel´ees´erie produitdes s´eriesP

u_netP

v_n. Pour le voir, on peut observer qu’on a une majoration

(1.2.3)

N^′

X

n=0

wn− XN p=0

up

XN q=0

vq

6̺^(u)_N

+∞X

q=0

|vq|+̺^(v)_N X+∞

p=0

|up|

o`u ̺^(u)_N , ̺^(v)_N d´esignent respectivement les restes d’ordre N des s´eries P

|u_n| et P|v_n|, et o`u N<sup>′</sup> est un entier arbitraire tel que N<sup>′</sup> > 2N ; en effet, le membre de gauche de (1.2.3) est la somme des termes u<sub>p</sub>v<sub>q</sub> dont les indices sont tels que p+q 6N<sup>′</sup> et (p > N ouq > N) ; les termes u<sub>p</sub>v<sub>q</sub> tels que p > N ont une somme inf´erieure ou ´egale en module `a

N^′

X

p=N+1

|up|

N^′

X

q=0

|vq|6̺^(u)_N

+∞X

q=0

|vq|,

et on a une majoration analogue pour les termes upvq tels que q > N. Si nous appliquons en particulier ce r´esultat au cas des s´eries enti`eres u_n = a_nzⁿ et vn =bnzⁿ, la formule (1.2.2) donne aussitˆot wn =cnzⁿ avec

c_n= X

p+q=n

a_pb_q = Xn p=0

a_pb_n−p, et la s´erieP

c_nzⁿ est appel´ee s´erie enti`ere produit (ou parfois produit de Cauchy) des s´eries enti`eres P

a_nzⁿ et P

b_nzⁿ. On sait que la s´erie produit converge dans l’intersection D(0, R^′) ∩D(0, R^′′), puisque chacun des facteurs y converge absolument en chaque point. Le rayon de convergence R^× de la s´erie produit satisfait donc encore l’in´egalit´e

(1.2.4) R^× >min(R^′, R^′′).

On peut avoir ici l’in´egalit´e stricte, mˆeme si R^′ 6= R^′′. Il suffit de prendre par exemple

X

n>0

a_nzⁿ = 1 +X

n>1

2ⁿ⁻¹zⁿ = 1−z 1−2z, X

n>0

bnzⁿ = 1−X

n>1

zⁿ = 1−2z 1−z , dont la s´erie produit P

c_nzⁿ se r´eduit au seul terme c₀ = 1, les rayons de convergence respectifs ´etant R^′ = 1/2,R^′′ = 1, R^× = +∞.

1.3. Th´ eor` eme de d´ erivation terme ` a terme

Nous d´emontrons ici la propri´et´e importante de d´erivabilit´e terme `a terme des s´eries enti`eres.

Th´eor`eme. Soit f(z) = P+∞

n=0a_nzⁿ une s´erie enti`ere de rayon de conver- gence R >0. Alors la d´eriv´ee complexe

f^′(z) = lim

h∈C∗, h→0

f(z+h)−f(z) h

existe en tout point du disque ouvert de convergence D(0, R), et cette d´eriv´ee est donn´ee par la d´eriv´ee ^hhterme `a terme<sup>ii</sup> de la s´erie, c’est-`a-dire

f^′(z) =

+∞X

n=1

na_nzⁿ⁻¹.

Les d´eriv´ees successives s’expriment de mˆeme sous la forme f^(p)(z) =

X+∞

n=p

n(n−1)· · ·(n−p+ 1)a_nz^n−p,

et les s´eries obtenues ont un rayon de convergence ´egal au rayon de convergence R de la s´erie initiale.

D´emonstration. Le fait que les s´eries d´eriv´ees terme `a terme admettent le mˆeme rayon de convergence R vient de ce que lim_n→+∞ⁿp

n(n−1)· · ·(n−p+ 1) = 1 pour tout p∈N. Maintenant, la formule du binˆome donne

(z+h)ⁿ =zⁿ+nhzⁿ⁻¹ + Xn p=2

C_n^ph^pz^n−p avec C_n^p = n(n−1)

p(p−1)C_n−2^p−2 6n(n−1)C_n−2^p−2, d’o`u

(z+h)ⁿ−zⁿ

h −nzⁿ⁻¹

6n(n−1)|h| Xn p=2

C_n−2^p−2|h|^p−2|z|^n−p

=n(n−1)|h|(|z|+|h|)ⁿ⁻².

Supposons z ∈D(0, R) et z+h ∈ D(0, R). En multipliant la diff´erence ci-dessus par a_n et en sommant sur n, notre in´egalit´e implique

(1.3.1)

f(z+h)−f(z)

h −X

n>1

na_nzⁿ⁻¹ 6|h|

+∞X

n=2

n(n−1)|a_n|(|z|+|h|)ⁿ⁻². Si nous prenons |h|6δ < R− |z|, alors |z|+|h|6|z|+δ < R et par suite

X+∞

n=2

n(n−1)|a_n|(|z|+|h|)ⁿ⁻² 6M :=

X+∞

n=2

n(n−1)|a_n|(|z|+δ)ⁿ⁻² <+∞. Ceci montre que

h∈Clim∗, h→0

f(z+h)−f(z)

h =X

n>1

na_nzⁿ⁻¹ pour tout z ∈D(0, R), et le th´eor`eme s’ensuit.

Inversement, ´etant donn´e une s´erie enti`ere f(z) = P+∞

n=0a_nzⁿ de rayon de convergence R >0, il est clair quef admet surD(0, R) une^hhprimitive complexeⁱⁱ

(1.3.2) F(z) =

X+∞

n=0

a_n

n+ 1zⁿ⁺¹ = X+∞

n=1

a_n−1 n zⁿ ,

telle queF^′(z) =f(z) au sens complexe. De plus la s´erie enti`ere deF admet encore R comme rayon de convergence, et les autres primitives sont donn´ees par F +C o`u C ∈Cest une constante arbitraire (une fonction Gsur D(0, R) admettant une d´eriv´ee complexe G^′ nulle est n´ecessairement ´egale `a la constanteG(0), comme on le voit en regardant les fonctions de variables r´eelles u(t) = G(tz), t ∈[0,1], dont les d´eriv´ees r´eelles u^′(t) sont nulles ; on verra plus loin en (2.1.5) un ´enonc´e plus g´en´eral).

1.4. Continuit´ e ` a la fronti` ere

Il est souvent utile de connaˆıtre le comportement de la somme d’une s´erie enti`ere en un point z<sub>0</sub> de la fronti`ere du disque de convergence. La situation peut ˆetre tr`es compliqu´ee (au sens o`u la somme f(z) n’est pas n´ecessairement continue enz₀ ni mˆeme born´ee dans un voisinage). On a cependant le r´esultat de continuit´e partielle suivant.

Th´eor`eme. Soit f(z) = P

n>n0a_nzⁿ une s´erie enti`ere de rayon de convergence R > 0 fini, et z₀ ∈ Γ(0, R) un point du cercle de convergence en lequel la s´erie converge. Alors, si S =S_z0,δ,η ⊂D(0, R)∪ {z₀} est un secteur circulaire ferm´e de sommet z₀, non tangentiel, de la forme

S_z0,δ,η =

z ∈C;|z−z₀|6δ, |angle(z₀−z, z₀)|6π/2−η , on a lim_{z∈S, z→z0}f(z) =f(z₀).

Autrement dit, la propri´et´e de continuit´e attendue a bien lieu pourvu qu’on ne s’approche pas ^hhtangentiellementⁱⁱ de la fronti`ere.

D´emonstration. De mani`ere assez analogue `a ce que nous avons fait pour la transformation d’Abel (1.1.4), posons u_n = (z/z₀)ⁿ, v_n =a_nz₀ⁿ et ̺_n =P

p>nv_p. Pour q > p > n₀ nous obtenons

Xq n=p

a_nzⁿ =u_pv_p+· · ·+u_qv_q

=up(̺p−1−̺p) +up+1(̺p−̺p+1) +· · ·+uq(̺q−1−̺q)

=up̺p−1+̺p(up+1−up) +· · ·+̺q−1(uq−uq−1)−uq̺q. Etant donn´e´ ε >0, la convergence de la s´erie P

n>n₀a_nz₀ⁿ assure l’existence d’un entier Nε tel que |̺n|6ε pour n>Nε. Pourp, q > Nε, nous avons alors

Xq n=p

a_nzⁿ

6ε 2 + z

z0 −1

q−1X

n=p

z

z0

n! 6ε

2 + |z−z₀|

|z0| − |z|

puisque

q−1X

n=p

z

z₀ ⁿ6

+∞X

n=0

z

z₀

ⁿ = 1

1− |z|/|z₀| = |z0|

|z₀| − |z|.

L’hypoth`ese z ∈ Sz0,δ,η assure pr´ecis´ement que le quotient |z−z0|/(|z0| − |z|) reste born´e par une constante ind´ependante de z ; en effet la condition angulaire

|angle(z0 −z, z0)| 6 π/2−η ´equivaut `a Re(z0 −z)z0 > |z −z0| |z0| sinη, d’o`u successivement

|z−z₀|² =|z|²− |z₀|²+ 2 Re(z₀ −z)z₀ >|z|²− |z₀|²+ 2|z₀| |z−z₀| sinη, (2|z0| sinη− |z−z0|)|z−z0|6(|z|+|z0|)(|z0| − |z|)62|z0|(|z0| − |z|), ce qui implique, pour |z−z0|6δ^′ := sinη|z0|, l’in´egalit´e

|z−z0|

|z₀| − |z| 6 2 sinη.

On en d´eduit que la s´erieP

a_nzⁿ satisfait le crit`ere de Cauchy uniforme surS_z0,δ,η. Ceci entraˆıne la convergence uniforme de la s´erie et la continuit´e def surSz0,δ,η.

1.5. Fonctions complexes ´ el´ ementaires

La fonction complexe la plus fondamentale est d’une certaine fa¸con la fonction exponentielle complexe. On peut la d´efinir au moyen de la fonction exponentielle r´eelle et des fonctions trigonom´etriques (`a supposer que celles-ci aient d´ej`a ´et´e construites de mani`ere rigoureuse). Le proc´ed´e le plus simple consiste en fait `a la d´efinir directement `a partir de sa s´erie enti`ere.

D´efinition.On pose

e^z = exp(z) :=

+∞X

n=0

zⁿ n!.

pour tout z ∈C, le rayon de convergence de la s´erie ´etant +∞.

D’apr`es le th´eor`eme de d´erivation des s´eries enti`eres, la fonction exp est d´erivable sur C tout entier et on a exp^′ = exp. L’autre propri´et´e fondamentale de cette fonction est la propri´et´e d’homomorphisme de groupe.

Propri´et´e fondamentale. Pour tous z, w∈C, on a e^z+w =e^ze^w, et la fonction exp d´efinit un homomorphisme du groupe additif (C,+) sur le groupe multiplicatif (C^∗,×).

D´emonstration. On ae^ze^w =P

p>0u_pP

q>0v_q avec u_p =z^p/p! etv_q =w^q/q! , et la formule (1.2.2) fournit alors une s´erie produit P

w_n telle que w_n=

Xn p=0

z^p p!

w^n−p

(n−p)! = 1 n!

Xn p=0

C_n^pz^pw^n−p = (z +w)ⁿ n! .

L’´egalit´ee^ze^w =e^z+w en d´ecoule. De l`a, en particulier, on d´eduite<sup>z</sup>e<sup>−z</sup> =e<sup>0</sup> = 1, d’o`u e^z ∈ C^∗. L’application exponentielle d´efinit donc bien un homomorphisme de groupes exp : (C,+) → (C^∗,×). La surjectivit´e de cette application sera d´emontr´ee plus loin.

A partir de la fonction exponentielle, on d´efinit classiquement les fonctions` cosinus et sinus hyperboliques

chz := e^z +e^−z

2 =

+∞X

n=0

z²ⁿ (2n)! , shz := e^z −e^−z

2 =

+∞X

n=0

z²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)! ,

aussi not´ees cosh et sinh dans le monde anglo-saxon (c’est-`a-dire partout sauf en

France !), et les fonctions trigonom´etriques usuelles cosz := e^iz+e^−iz

2 = ch(iz) = X+∞

n=0

(−1)ⁿ z²ⁿ (2n)! , sinz := e^iz−e^−iz

2i = sh(iz)

i =

+∞X

n=0

(−1)ⁿ z²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)!.

Ces s´eries enti`eres ont un rayon de convergence infini. Comme leurs coefficients sont r´eels, les fonctions ainsi d´efinies prennent des valeurs r´eelles sur R, et v´erifient les relations de conjugaison expz = expz, chz = chz . . .

La propri´et´e d’homomorphisme de la fonction exponentielle entraˆıne toutes les formules trigonom´etriques usuelles, par exemple les formules ^hhd’additionⁱⁱ cos(a + b) = cosa cosb−sina sinb . . . , qui sont valables pour tous a, b ∈ C. Par ailleurs, si on ´ecrit z =x+ iy, il vient

(1.5.1) e^z =e^xe^iy =e^x(cosy+ i siny) o`u (cosy)<sup>2</sup>+ (siny)<sup>2</sup> =e<sup>iy</sup>e<sup>−iy</sup> = 1. De l`a on d´eduit le Th´eor`eme.

(i) La fonction exponentielle r´eelle induit un isomorphisme de groupes (R,+)→(R^∗₊,×), x 7→e^x.

(ii) La fonction cos : R → R admet un plus petit z´ero positif qui sera not´e π/2 (c’est donc l`a une d´efinition de π). La fonction exponentielle complexe est p´eriodique de p´eriode 2iπ et induit des isomorphismes de groupes

(R/2πZ,+)→(S¹,×), y 7→e^iy, (C/2iπZ,+)→(C^∗,×), z 7→e^z, o`u S¹ ={z ∈C; |z|= 1} d´esigne le cercle unit´e dans C.

D´emonstration. (i) Il suffit de montrer que exp est une bijection continue croissante de R sur ]0,+∞[. C’est clair d’apr`es la th´eorie ´el´ementaire des fonctions d’une variable r´eelle : on a par d´efinition mˆeme e<sup>x</sup> > 1 +x > 0 pour x > 0, d’o`u lim_x→+∞e^x = +∞, tandis que la relation e^x = 1/e^−x implique e^x >0 pourx60 et lim_x→−∞e^x = 0 ; enfin exp est d´erivable de d´eriv´ee exp^′ = exp > 0, donc strictement croissante sur R.

(ii) Supposons par l’absurde que la fonction cos ne s’annule pas sur [0,+∞[.

Comme cos 0 = 1, le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires entraˆınerait alors cosy > 0 pour tout y ∈ [0,+∞[. Comme sin<sup>′</sup> = cos, la fonction sin serait positive et strictement croissante sur [0,+∞[. Le th´eor`eme des accroissements finis et l’´egalit´e cos^′y = −siny donneraient alors cosy 6 cos 1 − (y −1) sin 1 pour tout y > 1, par cons´equent cosy < 0 pour y assez grand, ce qui est une contradiction. L’ensemble [0,+∞[∩cos⁻¹(0) qui est ferm´e et non vide, poss`ede

donc un plus petit ´el´ement π/2, on a par suite cosπ/2 = 0 et cosy > 0 pour y ∈[0, π/2[. Ceci entraˆıne que la fonctiony 7→siny est une bijection croissante de [0, π/2] sur [0,1], et on voit ainsi que l’application [0, π/2]∋ y 7→e^iy param´etrise bijectivement le premier quart de cercle |z| = 1, Rez >0, Imz >0. Les relations e^iπ/2 = i, e^i(y+π/2) = ie^iy, e^2iπ = 1 montrent alors facilement que y 7→ e^iy induit un hom´eomorphismeR/2πZ→S¹ qui est par ailleurs un isomorphisme de groupes (^hhth´eor`eme fondamental de la mesure des anglesⁱⁱ).

Enfin, le troisi`eme isomorphisme se d´eduit facilement des deux premiers et du fait que tout nombre complexe z 6= 0 s’´ecrit de mani`ere unique sous la forme z =ρu avec ρ∈ R^∗₊ et u ∈S¹, `a savoir ρ=|z| et u=z/|z|.

Nous noterons ln la fonction logarithme n´ep´erien (r´eel), qui est par d´efinition l’isomorphisme de groupes

ln : (R^∗₊,×)→(R,+) inverse de exp : (R,+)→(R^∗₊,×).

Par ailleurs si z = ρe^iθ est un nombre complexe non nul, avec ρ = |z| > 0, nous noterons θ = argz ∈ R/2πZ. Pour z = x+ iy ∈ C, la relation (1.5.1) donne les relations fondamentales

|e^z|=e^x =e^Rez (1.5.2)

arg(e^z) =y= Imz mod 2πZ.

(1.5.3)

1.6. Fonction logarithme complexe

Etant donn´e un nombre complexe´ w6= 0, la r´esolution de l’´equation complexe e^z =ws’obtient ais´ement `a partir des formules (1.5.2) et (1.5.3). Celles-ci donnent en effet

|w|=e^Rez, arg(w) = Imz mod 2πZ d’o`u Rez = ln|w| et

z = Rez + i Imz = ln|w|+ i argw mod 2iπZ.

Pour lever l’ambigu¨ıt´e du choix de l’argument, on proc`ede comme suit. Soit θ<sub>0</sub> un r´eel fix´e et Ω<sub>θ0</sub> ⊂C l’ouvert constitu´e des nombres complexes non nuls z dont l’argument n’est pas ´egal `a θ₀+π mod 2π, c’est-`a-dire

Ω_θ0 =C^∗r(R^∗₋)e^iθ0.

(R^∗₋)e^iθ0

Ωθ0

0 θ₀+π

Pour z ∈ Ω_θ0, on d´efinit alors arg_θ0z comme l’unique d´etermination θ de l’argument de z telle que θ ∈]θ0−π, θ0+π[, et on d´efinit la^hhd´etermination log_θ0 du logarithme complexeⁱⁱ par

(1.6.1) log_θ0z = ln|z|+ i arg_θ0z, ∀z ∈Ω_θ0.

Il est important de noter que les fonctions arg_θ0 et log_θ0 ne peuvent se prolonger par continuit´e`a C<sup>∗</sup> ; en effet, en un point de la demi-droite ouverte R<sup>∗</sup><sub>−</sub>e<sup>iθ0</sup>, les limites des fonctions arg<sub>θ0</sub> et log<sub>θ0</sub> de part et d’autre de la demi-droite diff`erent de 2π (resp. 2iπ). Dans la suite de cet ouvrage, on conviendra de noter respectivement Arg et Log les d´eterminations correspondant au choix θ0 = 0 (c’est-`a-dire que l’argument est choisi dans ] −π, π[). Ces d´eterminations, qui sont d´efinies dans le compl´ementaire C r R₋ de la demi-droite r´eelle n´egative, seront appel´ees les d´eterminations principales de l’argument et du logarithme complexe.

Proposition.Pour toutθ₀, la fonctionlog_θ0 est telle queexp◦log_θ0 = Idsur Ω_θ0. Elle admet en tout point une d´eriv´ee complexe

log^′_θ0z = lim

C∋ζ→z

log_θ0ζ−log_θ0z ζ−z = 1

z.

D´emonstration. La propri´et´e exp◦log_θ0 = Id r´esulte directement de la construc- tion. Pour la deuxi`eme, posons w = log_θ0z et η = log_θ0ζ. Quand ζ tend vers z, il est clair que η tend vers w par continuit´e du logarithme (continuit´e qui r´esulte elle mˆeme de la continuit´e de la fonction arg_θ0 sur Ω_θ0), et par suite le quotient

log_θ0ζ−log_θ0z

ζ−z = η−w

expη−expw =

expη−expw η−w

−1

converge vers 1/exp^′w= 1/expw= 1/z.

Consid´erons maintenant la fonction Log(1 +z), qui bien d´efinie sur l’ouvert Ω =C r]− ∞,−1]. Sa d´eriv´ee complexe est donn´ee par Log^′(1 +z) = 1/(1 +z), et on a donc un d´eveloppement en s´erie enti`ere

Log^′(1 +z) = 1−z+z²−z³+· · ·+ (−1)ⁿzⁿ+· · · sur le disque ouvert D(0,1). Comme Log 1 = 0, la formule (1.3.2) donne (1.6.2) Log(1 +z) =z− z²

2 + z³ 3 − z⁴

4 +· · ·+ (−1)ⁿ⁻¹zⁿ

n +· · · ,

avec un rayon de convergence encore ´egal `a 1. Comme on l’a vu dans le§1.1, la s´erie enti`ere (1.6.2) converge en tout point de Γ(0,1)r{−1}. On en d´eduit par continuit´e que l’´egalit´e a lieu en tout point du domaine de convergence ∆ =D(0,1)r{−1}. En particulier, nous trouvons pour z = 1 l’identit´e classique

ln 2 = 1− 1 2 + 1

3 − 1

4 +· · ·+ (−1)ⁿ⁻¹1

n +· · · .

Maintenant que nous disposons de la fonction logarithme (ou plutˆot des diverses d´eterminations du logarithme), nous pouvons d´efinir des d´eterminations correspondantes

(1.6.3) z^α = exp(αlog_θ0z), z ∈Ωθ0

de la fonction^hhpuissance complexeⁱⁱ, d´efinies pour un exposantα ∈Cquelconque.

La formule de d´erivation des fonctions compos´ees montre que l’on a encore

(1.6.4) d

dzz^α =αz^α−1 sur Ω_θ0.

On prendra cependant garde au fait que les valeurs z^α obtenues peuvent ˆetre compl`etement diff´erentes suivant les d´eterminations choisies. Ainsi, on obtient iⁱ =e^−π/2 avec la d´etermination principale du logarithme, tandis que iⁱ =e^−5π/2 avec la d´etermination log_2π.

La d´etermination principale (1 +z)^α = exp(αLog(1 +z)) d´efinie sur l’ouvert C r]− ∞,−1] admet sur le disque unit´e D(0,1) un d´eveloppement en s´erie enti`ere (1.6.5) (1 +z)^α = 1 +αz+ α(α−1)

2 z²· · ·+ α(α−1)· · ·(α−n+ 1)

n! zⁿ· · ·, connu sous le nom de formule de Newton. Pour le voir, notons f(z) la somme de la s´erie. Celle-ci admet un rayon de convergence R = 1 d’apr`es le crit`ere de d’Alembert, car

an+1

a_n = α−n

n+ 1 → −1 quand n→+∞. D’autre part, une d´erivation terme `a terme fournit la s´erie P

n>1na_nzⁿ⁻¹ avec na_n= α(α−1)· · ·(α−n+ 2)

(n−1)! (α−n+ 1) =αa_n−1−(n−1)a_n−1,

d’o`u f<sup>′</sup>(z) =αf(z)−zf<sup>′</sup>(z). Ceci implique que la somme f(z) de la s´erie satisfait l’´equation diff´erentielle lin´eaire (1 +z)f<sup>′</sup>(z) =αf(z). On voit alors d’apr`es (1.6.4) que la fonction quotient f(z)/(1 +z)^α admet une d´eriv´ee identiquement nulle sur D(0,1). Le quotient est donc identiquement ´egal `a sa valeur pour z = 0, soit 1.

Remarque.Pour d´evelopper (1+z)^α en s´erie, on pourrait aussi songer `a appliquer la formule de Taylor, mais on se trouve devant une difficult´e pour majorer le reste, notamment lorsque z est proche de −1 ; cette difficult´e sera compl`etement r´esolue par les r´esultats du Chapitre II (cf. §3.3, Corollaire), d´emontrant l’analyticit´e des fonctions holomorphes.

Cons´equence. Les d´eveloppements en s´erie enti`ere de (1 +z<sup>2</sup>)<sup>−1</sup> et (1−z<sup>2</sup>)<sup>−1/2</sup> fournissent par int´egration des d´eveloppements en s´erie enti`ere convergents sur

le disque D(0,1) de fonctions qui ´etendent au plan complexe les fonctions r´eelles correspondantes

Arctanz =z− z³ 3 + z⁵

5 − · · ·+ (−1)ⁿ z²ⁿ⁺¹

2n+ 1 +· · ·, (1.6.6)

Arcsinz =z+

+∞X

n=1

1.3.5. . .(2n−1) 2.4.6. . .2n

z²ⁿ⁺¹ 2n+ 1. (1.6.7)

La s´erie de l’Arctan, ´egale `a _2i¹ Log ^1+iz_1−iz, converge pour toutz ∈D(0,1)r{+i,−i}, tandis que celle de l’Arcsin est absolument convergente sur le disque ferm´eD(0,1).

2. Fonctions holomorphes, condition de Cauchy- Riemann

2.1. D´ efinition des fonctions holomorphes

On a vu dans la section §1 l’importance de la notion de d´erivabilit´e au sens complexe. Ceci justifie la d´efinition suivante.

D´efinition. Soit Ω ⊂ C une partie ouverte du plan complexe et f : Ω → C une fonction complexe. On dit que f est holomorphe si f estC-d´erivable en tout point, c’est-`a-dire si la limite

f^′(z) = lim

h∈C∗, h→0

f(z+h)−f(z) h

existe en tout point z ∈Ω.

Notations. Conform´ement `a l’usage courant (d´eriv´e de l’Italien, o`u holomorphe se dit olomorfico), l’ensemble des fonctions holomorphes sur Ω sera not´e O(Ω).

Si f ∈O(Ω), la d´eriv´ee de f sera not´ee indiff´eremment f^′(z) ou df /dz.

Comme l’existence d’une d´eriv´ee implique automatiquement la continuit´e, on a O(Ω)⊂C⁰(Ω), o`u C⁰(Ω) d´esigne l’espace des fonctions continues Ω→C.

Propri´et´es ´el´ementaires. Soit Ω⊂C un ouvert et f, g ∈O(Ω). Alors (2.1.1) ∀λ, µ∈C, λf +µg ∈O(Ω) et (λf +µg)^′ =λf^′+µg^′.

(2.1.2) f g ∈O(Ω) et (f g)^′ =f^′g+f g^′. (2.1.3) f

g ∈O(Ωrg⁻¹(0)) etf g

′

= f^′g−f g^′ g² .

(2.1.4) Si f(Ω) est contenu dans un ouvert Ω^′ et si h∈O(Ω^′), alors h◦f ∈O(Ω) et (h◦f)^′ = (h^′◦f)f^′.

(2.1.5) Si f^′ = 0, alors f est constante sur chaque composante connexe de Ω.

D´emonstration. La d´emonstration de ces propri´et´es est presque enti`erement analogue `a celle des propri´et´es correspondantes pour les fonctions r´eelles d’une

variable r´eelle, nous omettrons donc les d´etails. En ce qui concerne (2.1.5), on peut supposer Ω connexe. Alors deux points quelconques de Ω peuvent ˆetre joints par un chemin polygonal trac´e dans Ω, et il suffit donc de montrer quef(a) =f(b) pour tout segment [a, b] ⊂ Ω. Or ceci r´esulte du fait que la fonction de variable r´eelle ϕ(t) =f(a+t(b−a)) a une d´eriv´ee ϕ^′(t) = (b−a)f^′(a+t(b−a)) nulle pour tout t ∈[0,1].

Il r´esulte en particulier des propri´et´es (2.1.2), (2.1.3) que l’ensemble des fonctions holomorphes (O(Ω),+,×,·) a une structure de C-alg`ebre pour les lois usuelles d’addition, de multiplication et de produit d’une fonction par un scalaire complexe.

Fonctions enti`eres. On appelle fonctions enti`eres les fonctions qui sont holo- morphes sur C tout entier, c’est-`a-dire les fonctions de O(C).

Exemples.Nous avons d´ej`a d´emontr´e que les sommes de s´eries enti`eres d´efinissent des fonctions holomorphes sur leur disque ouvert de convergence. Ainsi les fonctions polynˆomes P(z) = a₀ +a₁z +· · ·+a_nzⁿ, les fonctions exp, cos, sin, ch, sh d´efinissent des fonctions holomorphes sur C tout entier (i.e. des fonctions enti`eres). On a par ailleurs

tan = sin

cos ∈O C r(π/2 +πZ)

, cotan = cos

sin ∈O C rπZ , th = sh

ch ∈O C r(iπ/2 + iπZ)

, coth = ch

sh ∈O C riπZ ,

et de mˆeme les d´eterminations log_θ0 et z 7→ z^α = exp(αlog_θ0z) du logarithme et des fonctions puissances sont holomorphes sur l’ouvert Ω_θ0 =C^∗r(R^∗₋)e^iθ0. Contre-exemples. Il n’est pas tr`es difficile de trouver des exemples de fonctions non holomorphes, on peut mˆeme en donner qui soient ind´efiniment diff´erentiables au sens r´eel. Ainsi la fonction f(z) = z n’admet nulle part de d´eriv´ee complexe, puisque la limite

C∗lim∋h→0

f(z+h)−f(z)

h = lim

C∗∋h→0

h h

n’existe pas (si on pose h = ρe^iθ, alors h/h= e^−iθ/e^iθ = e^−2iθ admet des limites diff´erentes suivant chacune des demi-droites issues de l’origine). On v´erifiera de mˆeme que la fonction f(z) =|z|² n’admet pas de d´eriv´ee complexe, sauf au point z = 0 en lequel la d´eriv´ee est nulle.

2.2. Rappels sur la notion de diff´ erentiabilit´ e

Soient E et F des espaces vectoriels de dimension finie sur le corps K = R ou C. ´Etant donn´e un ouvert Ω dans E, rappelons qu’une application f : Ω→F est dite K-diff´erentiable en un point x ∈ Ω s’il existe une application K-lin´eaire ℓ ∈ L_K(E, F) et une fonction ε d´efinie sur un voisinage V de l’origine dans E, telles que pour h dans V on ait

(2.2.1) f(x+h) =f(x) +ℓ(h) +khkε(h),

avec lim_h→0ε(h) = 0 (k k d´esigne ici une norme quelconque sur E ; par ailleurs, l’adjectif^hhdiff´erentiableⁱⁱutilis´e seul fera toujours r´ef´erence `a laR-diff´erentiabilit´e, si le corps de base n’est pas pr´ecis´e). L’application lin´eaireℓs’appellediff´erentielle de f au pointxet elle est not´eeℓ =dfx. Rappelons par ailleurs les conventions de notations usuelles concernant les Oeto, dites conventions de Landau : sih7→η(h) est une fonction arbitraire, on ´ecrit

η(h) =O(khk^p)⇐⇒ ∃C >0, kη(h)k6Ckhk^p, η(h) =o(khk^p) ⇐⇒ ∃ε, lim

h→0ε(h) = 0 et kη(h)k6ε(h)khk^p. La formule (2.2.1) peut alors se r´ecrire sous la forme

(2.2.2) f(x+h) =f(x) +df_x(h) +o(khk).

Si f est diff´erentiable sur Ω, on note df : Ω → L_K(E, F), x 7→ df_x, l’application diff´erentielle de f. ´Etant donn´e une base (e1, . . . , en) deE eth =P

16j6nhjej ∈ E, une application lin´eaire ℓ ∈ L_K(E, F) s’exprime de mani`ere unique sous la forme

(2.2.3) ℓ(h) = X

16j6n

hjvj, vj ∈F,

avec des vecteurs v_j =ℓ(e_j) quelconques. En particulier, la diff´erentielle df s’´ecrit

(2.2.4) df_x(h) = X

16j6n

h_j ∂f

∂x_j, ∀h=X h_je_j,

o`u ∂f /∂x_j = df_x(e_j) ∈ F est la d´eriv´ee partielle de f dans la direction e_j. Si f est lin´eaire, il est clair que f admet une diff´erentielle en tout point et que sa diff´erentielle co¨ıncide avec f. Les fonctions coordonn´ees x_j, vues comme des fonctions E → K, admettent elles-mˆemes des diff´erentielles dx_j telles que dx_j(h) =h_j. L’identit´e (2.2.3) devient alors

(2.2.5) ℓ= X

16j6n

dxj·vj = X

16j6n

dxj ·ℓ(ej)

et, en particulier, (dx₁, . . . , dx_n) est une base du K-espace vectoriel L_K(E,K).

Ceci nous permet d’exprimer la diff´erentielle df sous la forme plus famili`ere

(2.2.6) df = X

16j6n

∂f

∂x_jdx_j.

2.3. Op´ erateurs ∂/∂z et ∂/∂z

Dans le cas o`u f prend sa source dans un ouvert Ω ⊂ C, nous utiliserons l’identification canoniqueC≃R² pour ´ecrire la variable indiff´eremment z =x+ iy ou z = (x, y). Si f : Ω→C est R-diff´erentiable, nous avons une diff´erentielle

df = ∂f

∂xdx+ ∂f

∂ydy.

Comme on travaille sur C, il est beaucoup plus commode de faire intervenir la variable complexe z = x+ iy et sa variable conjugu´ee z = x−iy plutˆot que les variables r´eelles x et y. La propri´et´e de C-lin´earit´e de la diff´erentiation entraˆıne

dz=dx+ idy, dz=dx−idy.

Ceci permet de substituer dx= ¹₂(dz+dz) et dy = −₂ⁱ(dz−dz) dans (2.2.6), ce qui donne

df = 1 2

∂f

∂x −i∂f

∂y

dz+ 1 2

∂f

∂x + i∂f

∂y dz.

L’id´ee sous-jacente `a ce calcul est qu’on dispose de deux bases duC-espace vectoriel L<sub>R</sub>(C,C), `a savoir (dx, dy) et (dz, dz), et qu’`a bien des ´egards la deuxi`eme est plus commode que la premi`ere. On est alors amen´e `a poser la d´efinition suivante.

D´efinition. Si z = x+ iy ∈ Ω ⊂ C, et si f : Ω → C est une fonction R-diff´e- rentiable, on note

(2.3.1) ∂f

∂z = 1 2

∂f

∂x −i∂f

∂y

, ∂f

∂z = 1 2

∂f

∂x + i∂f

∂y

. La diff´erentielle de f peut alors s’´ecrire

(2.3.2) df = ∂f

∂zdz+ ∂f

∂zdz.

Remarque. Les op´erateurs ∂/∂z et ∂/∂z sont conjugu´es, c’est-`a-dire que l’on a ∂f

∂z

= ∂f

∂z, ∂f

∂z

= ∂f

∂z.

Nous pouvons maintenant ´enoncer l’importante caract´erisation suivante des fonctions holomorphes.

Caract´erisation des fonctions holomorphes. Etant donn´e un ouvert´ Ω ⊂ C et une fonction f : Ω→C, il y a ´equivalence entre

(i) f est holomorphe dans Ω.

(ii) f estR-diff´erentiable sur Ω et df_z estC-lin´eaire en tout point z ∈Ω.

(iii) f estR-diff´erentiable surΩ et ∂f /∂z= 0 en tout point z ∈Ω (cette derni`ere condition est connue sous le nom de condition de Cauchy-Riemann).

Si l’une de ces conditions est r´ealis´ee, on a

∂f

∂z =f^′, ∂f

∂z = 0.

D´emonstration. (i)⇒(ii) En effet, l’existence d’une d´eriv´ee complexef^′(z) en tout point z ∈Ω se traduit par l’existence d’une fonction ε d´efinie sur un voisinage de l’origine dans C, telle que lim_h→0ε(h) = 0 et

f(z+h)−f(z)

h =f^′(z) +ε(h) au voisinage de 0. On a donc

f(z+h) =f(z) +f^′(z)h+h ε(h),

ce qui implique que f admet une diff´erentielle dfz ∈ L_R(C,C), telle que df_z(h) =f^′(z)h. Cette diff´erentielle est bien C-lin´eaire.

(ii) ⇒ (iii) L’´ecriture (2.3.2) ´equivaut `a df_z(h) = ∂f

∂z h+ ∂f

∂z h.

On a donc

df_z(ih) = i∂f

∂z h−i∂f

∂z h,

et on voit que la condition de C-lin´earit´e df_z(ih) = idf_z(h) est r´ealis´ee pour tout h si et seulement si ∂f /∂z = 0.

(iii)⇒(i) Sous l’hypoth`ese (iii), la d´efinition de la diff´erentiabilit´e jointe `a l’´ecriture (2.3.2) fournit

f(z+h) =f(z) + ∂f

∂z(z)h+o(h).

Ceci implique bien l’existence d’une d´eriv´ee complexe f^′(z) = ∂f(z)/∂z en tout point z ∈Ω.

Autre formulation de la condition de Cauchy-Riemann.Soitf =u+ivune fonction complexe d´efinie sur un ouvert Ω du plan complexe, avec u, v : Ω → R.

Nous avons

∂f

∂z = 1 2

∂u

∂x + i∂v

∂x + i∂u

∂y + i∂v

∂y ,

donc la condition de Cauchy-Riemann∂f /∂z = 0 se traduit par les deux conditions de ^hhconjugaison de Cauchy-Riemannⁱⁱ (g et h sont alors dites conjugu´ees)

(2.3.3) ∂u

∂x = ∂v

∂y, ∂u

∂y =−∂v

∂x.

Cas des fonctions polynomiales dans C ≃ R². Les fonctions complexes polynomiales de deux variables x, y et de degr´e inf´erieur ou ´egal `a d peuvent s’´ecrire sous la forme

P(x, y) = X

06α+β6d

c_αβx^αy^β

avec des coefficients complexes c_αβ. Lorsqu’on travaille dans C, il est pr´ef´erable de substituer x= (z +z)/2 ety = (z−z)/2i, ce qui donne une autre ´ecriture

(2.3.4) P(z) = X

06α+β6d

a_αβz^αz^β avec de nouveaux coefficients a_αβ. Comme

∂

∂zz = 1, ∂

∂zz = 0, ∂

∂zz = 0, ∂

∂zz = 1,

on voit que les coefficients aαβ sont uniquement d´etermin´es par la fonction P `a partir de la formule

(2.3.5) a_αβ = 1

α!β!

∂^α+β

∂z^α∂z^βP(0).

Ceci peut se r´einterpr´eter comme un isomorphisme d’anneaux C[x, y] ≃ C[z, z].

La fonction z 7→ P(z) est holomorphe si et seulement si a_αβ = 0 pour β > 0, autrement dit si P ∈C[z].

2.4. Op´ erateur Laplacien et fonctions harmoniques

Supposons, avec les notations pr´ec´edentes, que f =u+ iv soit holomorphe et de classe C² (comme on le verra au chapitre II, §3.1, cette derni`ere condition est en fait superflue, car l’holomorphie entraˆıne l’infinie diff´erentiabilit´e de f). Dans ce cas g et h sont de classe C² et nous trouvons

∂²u

∂x² + ∂²u

∂y² = ∂

∂x ∂v

∂y

+ ∂

∂y

− ∂v

∂x

= 0, (2.4.1^′)

∂²v

∂x² + ∂²v

∂y² = ∂

∂x

− ∂u

∂y

+ ∂

∂y ∂u

∂x = 0 (2.4.1^′′)

grˆace au th´eor`eme de Schwarz relatif `a la commutation des d´eriv´ees partielles.

Le Laplacien (agissant sur les fonctions h(x, y) de deux variables r´eelles) est par d´efinition l’op´erateur diff´erentiel ∆ d’ordre 2 d´efini par

(2.4.2) ∆ = ∂²

∂x² + ∂²

∂y²

D´efinition. Soit Ω un ouvert de R² (ou de C). Une fonction h : Ω→C est dite harmonique si h est de classe C² et ∆h = 0.

Une autre d´emonstration des propri´et´es d’harmonicit´e (2.4.1) consiste `a ob- server que ∆ s’´ecrit comme la compos´ee d’op´erateurs

(2.4.3) ∆ = ∂

∂x −i ∂

∂y

◦ ∂

∂x + i ∂

∂y

= 4 ∂

∂z ◦ ∂

∂z = 4 ∂

∂z ◦ ∂

∂z

(attention, on utilise ici de nouveau le th´eor`eme de Schwarz !). La condition d’holomorphie ∂f /∂z implique donc ∆f = 0, et de l`a, on d´eduit ∆u+ i∆v = 0, d’o`u ∆u = ∆v = 0.

Les calculs pr´ec´edents nous permettent d’´enoncer le th´eor`eme suivant (nous omettrons ici l’hypoth`ese C² sur les fonctions holomorphes, puisque nous verrons ult´erieurement que celles-ci sont automatiquement de classe C^∞). On notera que la conjugu´ee g d’une fonction holomorphe g est harmonique, donc toute fonction h de la forme h=f +g, avec f et g holomorphes, est harmonique.

Proposition. Si Ω est un ouvert de C et si f ∈ O(Ω), alors u = Ref, v = Imf sont des fonctions harmoniques et sont li´ees par les relations de conjugaison de Cauchy-Riemann (2.3.3).

Inversement, si u et v sont des fonctions de classe C² sur Ω li´ees par les relations de conjugaison de Cauchy-Riemann, alors u et v sont harmoniques et f = u + iv est holomorphe sur Ω. De telles fonctions harmoniques u, v sont appel´ees fonctions harmoniques conjugu´ees.

Corollaire.Si f est holomorphe sur Ω⊂Cet ne s’y annule pas, la fonction ln|f| est harmonique.

D´emonstration. Pour le voir, on peut utiliser le fait qu’il existe localement des d´eterminations holomorphes logf du logarithme complexe de f (si z₀ ∈Ω, on se place dans un disqueD(z0, r) assez petit pour quef(D(z0, r)) soit contenu dans un disque D(f(z₀), ε) de rayonε <|f(z₀)|; un tel disque est disjoint de la demi-droite issue de 0 passant par −f(z0)). Alors ln|f|= Re(logf) sur D(z0, r), et par suite ln|f| est harmonique. Bien entendu, cette propri´et´e pourrait aussi se d´emontrer par un calcul direct. Nous laissons au lecteur le soin de faire ce calcul.

2.5. Applications conformes

Soit f : Ω → Ω^′ une application R-diff´erentiable entre deux ouverts Ω, Ω^′ de R². On s’int´eresse au probl`eme de savoir `a quelle conditionf ^hhconserve les anglesⁱⁱ au sens suivant : ´etant donn´e deux courbes r´eguli`eresγ<sub>1</sub> etγ<sub>2</sub> de classeC<sup>1</sup> trac´ees dans Ω et passant par un mˆeme pointz, les courbes images f◦γ<sub>1</sub>et f◦γ<sub>2</sub> forment entre elles au point f(z) un angle ´egal `a l’angle form´e par γ₁ et γ₂ au point z (sch´ema ci-dessous). On dit alors que f est une application conforme. Cette question est apparue historiquement au cours des 16^e et 17^e si`ecles, en liaison avec des probl`emes de cartographie (nous y reviendrons plus en d´etail au Chapitre ??,

`

a l’occasion de l’´etude de la sph`ere de Riemann).

Soient donc γ₁, γ₂ : ] − a, a[ → Ω deux courbes de classe C¹ telles que γ1(0) = γ2(0) = z, admettant des demi-tangentes bien d´efinies γ₁^′(0) 6= 0,

γ₂^′(0) 6= 0. L’angle entre les 2 courbes (orient´ees) est par d´efinition l’angle de leurs demi-tangentes angle(γ₁^′(0), γ₂^′(0)). Supposons dans un premier temps que df_z ∈ L_R(C,C) soit un isomorphisme. Alors les courbes images f ◦γ₁ et f ◦γ₂ admettent au point f(z) des demi-tangentes bien d´efinies

(f◦γ1)^′(0) =dfz(γ₁^′(0))6= 0, (f◦γ2)^′(0) =dfz(γ₂^′(0))6= 0.

Ω

Ω^′

z

f(z)

γ1 γ2

γ₂^′(0) γ₁^′(0)

f df_z

f◦γ₁

f ◦γ2

dfz(γ₁^′(0)) dfz(γ₂^′(0))

Par cons´equent, la propri´et´e de conservation des angles ´evoqu´ee plus haut ´equivaut

`a l’hypoth`ese que l’application lin´eairedf_z pr´eserve l’angle d’un couple de vecteurs quelconques. Rappelons qu’une application lin´eaire bijective ℓ ∈ L_R(C,C) con- serve les angles orient´es (resp. conserve l’angle en valeur absolue, mais avec change- ment de signe), si et seulement si c’est une similitude directe (resp. une similitude indirecte)

ℓ(h) =ah, (resp. ℓ(h) =ah), a∈C^∗.

Pour le voir, il suffit d’observer que ℓ transforme n´ecessairement une base or- thonorm´ee (v1, v2) en une base orthogonale, et on doit avoir de plus kℓ(v1)k = kℓ(v₂)kpour que la conservation des angles ait lieu (au moins en valeur absolue) ; on obtient alors une similitude directe (resp. indirecte) si (ℓ(v1), ℓ(v2)) a mˆeme orientation que (v₁, v₂) (resp. une orientation inverse). On peut donc ´enoncer Proposition. Soit f : Ω → Ω^′ une application entre ouverts de C admettant en tout point une diff´erentielle df_z ∈L_R(C,C) inversible. Alors

(i) f est une application conforme (pr´eservant l’orientation) si et seulement si f est holomorphe ;

(ii) f est une application conforme inversant l’orientation si et seulement si f est anti-holomorphe, c’est-`a-dire sidf_z est une application C-anti-lin´eaire en tout point z ∈Ω.

Remarque. Mˆeme lorsque f est holomorphe, il n’y a en g´en´eral pas conservation des angles en un pointz₀ o`udf<sub>z0</sub> n’est pas inversible (ce qui, dans ce cas, ´equivaut `a f^′(z0) = 0). Consid´erons en effet f(z) =zⁿ, z0 = 0 etγ1(t) =t e^iθ1, γ2(t) =t e^iθ2,

t ∈ R. Il est clair que la courbe image f ◦γ_j(t) = tⁿe^inθj admet en t = 0⁺ une demi-tangente d’angle polaire nθj. L’angle des demi-tangentes `a droite se trouve donc multipli´e par n sous l’action de f (alors que cet angle est pr´eserv´e en tout point z0 6= 0, d’apr`es l’´enonc´e pr´ec´edent).

La notion d’application anti-holomorphe, quant `a elle, est pr´ecis´ee par l’´enonc´e suivant (la d´emonstration, tout `a fait imm´ediate, sera laiss´ee au lecteur).

Caract´erisation des applications anti-holomorphes. Soit Ω un ouvert de C et f : Ω → C une application. Alors il y a ´equivalence entre les propri´et´es suivantes :

(i) la fonction f : Ω→C, z 7→f(z), est holomorphe ;

(ii) la fonction z 7→f(z) est holomorphe sur l’ouvert Ω^′ ={z; z ∈Ω} miroir de Ω par rapport `a la droite r´eelle;

(iii) f est diff´erentiable et, pour tout pointz ∈Ω, la diff´erentielle df_z ∈L_R(C,C) est C-anti-lin´eaire ;

(iv) f est diff´erentiable et ∂f /∂z = 0 sur Ω.

3. Exercices

3.1. Montrer que pour tout z ∈C on a

n→+∞lim

1 + z n

n

= exp(z), avec convergence uniforme sur tout compact de C.

3.2. Soient Ω un ouvert de C et f : Ω → C, g : f(Ω) → C deux applications de classe C¹ au sens r´eel.

a) Calculer ∂

∂z(g◦f) et ∂

∂¯z(g◦f).

b) En d´eduire que ∂f¯

∂z = ∂f

∂z¯

et que ∂f¯

∂z¯ = ∂f

∂z

.

3.3. D´eveloppements limit´es en z, z.

a) Calculer l’image par ∂

∂z et ∂

∂¯z de la fonction zⁿ(¯z)^m, o`u (n, m)∈N².

b) Soit f : R² → C poss´edant un d´eveloppement limit´e `a l’ordre n en (0,0), en termes des variables r´eelles (x, y). Montrer qu’il existea_αβ ∈C, α, β ∈N, tels que

f(x, y) = Xn k=0

X

α+β=k

a_αβz^αz¯^β +O(|z|ⁿ⁺¹).

Exprimer aαβ en fonction des d´eriv´ees de f par rapport aux variables z et ¯z.