Exercices de Mathématiques UE : L2-M Approfondissements Licence de sciences 2

Exercices de Mathématiques UE : L2-M Approfondissements

Licence de sciences 2 ^ème année Parcours Mathématiques

19 mai 2010

Alexandre MIZRAHI

1 Il existe des irrationnels (1 semaine) . . . 3

2 Écriture des réels dans une base donnée (1 semaine) . . . 5

3 Les fractions continues (2 semaines) . . . 8

4 Dénombrabilité (2 semaines) . . . 13

5 Relation d’ordre, intervalle (1 semaine) . . . 16

6 Points d’accumulation, ensemble dérivé, ensemble parfait (1 semaine) . . . 18

7 Sous groupes additifs de R(1 semaine) . . . 20

8 Nombres constructibles (2 semaines) . . . 21

9 Ensemble de Cantor (1 semaine) . . . 25

10 Exemples de fonctions ’curieuses’ de Rdans R(1 semaine). . . 27

11 Contrôles continus . . . 30

Présentation de l’enseignement

Cet enseignement se présente essentiellement sous forme d’exercices, certains correspondent à du cours ils sont repérables par le sigle ^C, et sont à connaître. Certains exercices sont plus difficiles ils sont siglés ^D, d’autres sont particulièrement facile ils sont marqués d’un ^F. Cet enseignement est l’occasion de revoir un nombre important de théorèmes déjà vu durant vos études, ils sont marqués d’un ^R et sont aussi à connaître avec précision. Un des objectifs de cet enseignement est d’habituer l’étudiant à la résolution de problèmes, de façon général le choix pédagogique de tout présenter sous forme d’exercice est une façon de mettre en exergue l’importance de chercher

Évaluation de l’enseignement

L’évaluation se fait à l’aide de 8 CC, soit pratiquement un par semaine entre la deuxième et la dixième semaine. Si on classe ces 8 notesx₁ ≤x₂ ≤. . .≤x₈, la note de CC est donnée par

∑₈

i=1ixi

∑₈

i=1i

La note finale de l’enseignement est donnée à l’aide de cette note CC et de la note d’examenE par

max(1

3(CC + 2E), E)

Bibliographie légère

a. La planèteR, voyage au pays des nombres réels. H. Boualem & R. Brouzet. (Dunod) b. Mathématiques tout en 1 pour la licence Niveau L2. Ramis, Warusfell, ... (Dunod)

c. Théorie des corps, la règle et le compas. Carrega (Hermann)

d. Les contres exemples en Mathématiques. Bertrand Hauchecorne (Ellipse) e. fr.wikipedia.org

1 Il existe des irrationnels

Les entiers naturels sont naturels entre autre car ils sont la base du comptage, les rationnels sont les rapports de tels nombres, mais il existe d’autres nombres, comment apparaissent-ils ?

Exercice^F 1 :

a. Rappeler la définition de "Deux entiers m et n sont premiers entre eux". Donner un exemple.

b. Rappeler la définition de "l’entier m est premier". Donner un exemple.

c. Rappeler ce qu’est la décomposition en facteur premier d’un entier. Donner un exemple.

d. Montrer qu’un rationnel peut toujours s’écrire sous la forme ^p_q, avec p etq premiers entre eux. Donner un exemple.

e. Soit pun entier premier, montrer que si m² est un multiple de p, alors m est aussi un multiple de p.

f. Montrer par l’absurde que √

2est irrationnel , on pourra commencer par écrire √

2 comme le rapport de deux entiers premiers entre eux.

Exercice^F 2 : a. Montrer que√

3 puis √³

2sont irrationnels.

b. Montrer que√

6 est irrationnel en déduire que √ 2 +√

3 est irrationnel.

c. Soit n∈N, montrer que √

n6∈N⇒√

n 6∈Q.

Exercice 3 : Montrer que la somme de deux rationnels est un rationnel, et donner un exemple de couple d’irrationnels dont la somme est rationnel.

Exercice 4 : Soit e le réel défini par la somme^R de la série

∑∞ n=0

1

n!. On va montrer qu’il est irrationnel.

a. On pose N_n =n!

( e−

∑n k=0

1 k!

)

, montrer que N_n≤∑^∞

t=1

1

(n+ 1)^t ≤ 1 n.

b. Supposons que e= ^p_q avec pet q premiers entre eux, montrer que pour n ≥q, Nn est un entier.

c. Montrer que pour n≥2, N_n= 0 et conclure.

Exercice 5 : Soit r un entier supérieur à 2.

a. Montrer que la série de terme général 1

r^(k2) est convergente^R, on note α sa somme.

b. On pose N_n =r⁽ⁿ²⁾ (

α−∑_n

k=0 1 r^(k2)

)

, montrer que N_n =∑_∞

t=1r^−t2−2tn ≤ _r²ⁿ¹₋₁. c. Supposons que α= ^p_q avec p etq premiers entre eux, montrer que qNn est un entier.

d. Montrer qu’à partir d’un certain rangqN_n= 0, en déduire que α est irrationnel.

Exercice 6 : Appliquer une méthode similaire aux deux précédentes pour montrer que le nombre de Liouville λ=

∑∞ k=0

1

10^k! est irrationnel.

Exercice 7 : Montrons que π² est irrationnel, on suppose que π² = ^p_q oup etq sont deux entiers naturels premiers entre eux. On pose

P_n(X) = 1

n!Xⁿ(1−X)ⁿ et N_n=πpⁿ

∫ 1 0

P_n(x) sinπxdx

a. Soit T un polynôme à coefficient entier, montrer que ses dérivées successives sont des polynômes à coefficients entiers, puis que l’image d’un entier par un polynôme à coefficient entier est un entier.

b. Montrer que0< Nn≤ πpⁿ n!

∫ 1 0

sin(πx)dx≤ 2pⁿ n! . c. Pour k < n, calculer P^(k)(0) etP^(k)(1).

d. En utilisant les combinaisons, montrer que les dérivées successives de P_n prennent des valeurs entières en 0 et en 1, on pourra étudier les coefficients de P_n pour les dérivées d’ordre supérieur à n.

e. Montrer à l’aide d’intégrations par partie successives que N_n∈N. f. En déduire que π² est irrationnel, puis qu π est irrationnel.

Exercice^D 8 : On dit qu’un réel est algébrique si il existe un polynôme non nul, à coefficient entier dont il est racine.

a. Montrer que ¹₃ et √

3sont algébriques.

b. Soientn ∈N^∗,p un nombre premier, P(X) = _(p−¹_1)!X^p−1(X−1)^p(X−2)^p. . .(X−n)^p etd le degré de P. Montrer que

(1) Pour tout entier k supérieur ou égal àp, le polynôme ¹_pP^(k) est à coefficient entier.

(2) ∀k ∈ {0,1, . . . , p−1},∀j ∈ {1, . . . , n}, P^(k)(j) = 0.

(3) ∀k ∈ {0,1, . . . , p−2}, P^(k)(0) = 0.

(4) Montrer que P^(p−1)(0) = (−1)^np(n!)^p. (5) ∀x∈[0, n], |P(x)| ≤ ⁿ_(p^np+p_−1)!⁻¹.

(6) Soientα un nombre complexe, Q=P +P⁰+P⁽²⁾+. . .+P^(d) et I_α(P) =

∫ 1 0

αe^−αuP(αu)du i. Montrer que I_α(P) = [−e^−αxQ(αx)]¹₀.

ii. Montrer que e^αQ(0) =Q(α) +e^αI_α(P).

c. Supposons que∑n e soit algébrique il existe alors des entiers a₀, a₁, . . . , a_n tels que

i=0a_ieⁱ = 0

(1) On pose N_p =∑n

k=0a_kQ(k), montrer que N_p =−∑n

k=1a_ke^kI_k(P).

(2) Montrer∃j ∈Z, Q(0) = (−1)^np(n!)^p+jp.

(3) Montrer∃m ∈Z, N_p =a₀(−1)^np(n!)^p+mp.

(4) Montrer qu’il existe p₀ tel que pour tout nombre premier psupérieur à p₀ on ait, a₀(−1)^np(n!)^p n’est pas un multiple dep. En déduire que pour de tels p,N_p est un entier non nul.

(5) Montrer que

|N_p| ≤eⁿ

∫ n 0

e^−t|P(t)|dt

∑n k=1

|a_k| ≤eⁿ

∑n k=1

|a_k|n^np+p−1 (p−1)!

(6) Montrer que lim_p→∞N_p = 0.

d. En déduire que e est transcendant, c’est à dire qu’il n’est pas algèbrique.

Exercice 9 : Soit P un polynôme à coefficient entier de degré n ne possédant pas de racine rationnelle, et α une racine de P.

a. Montrer que pour tout rationnel ^p_q, on a |P(^p_q)| ≥ _q¹n.

b. En appliquant le théorème des accroissements finis à P entreα et ^p_q ∈[α−1;α+ 1], montrer qu’il existe une constante C telle que∀^p_q ∈Q, |α− ^p_q| ≥ _q^Cn.

c. En déduire que le nombre de Liouville λ(cf exercice 6) est transcendant. On pourra commencer par montrer que :

λ−

∑m k=0

1 10^k!

≤ 1 10^(m+1)!

∑∞ t=0

1 10^t

2 Écriture des réels dans une base donnée

Les nombres peuvent s’écrire de différentes façons, nous sommes habitués à l’écri- ture décimale, mais c’est un choix arbitraire d’écriture, voyons comment on peut généraliser ce mode d’écriture positionnel multiplicatif avec zéro.

Écriture des entiers dans une base b

Exercice^F 10 : Écrire dans un tableau les 15 premiers entiers en base 10 ;2 ;3 ;5 ; 12.

Exercice^F 11 : Écrire l’entier 100 en base 2, en base 3, en base 6, et en base 12.

Écrire l’entier 1582 en base 12.

Exercice^F 12 : Écrire la table d’addition en base 6, effectuer sans passer par l’écriture décimale l’addition des entiers suivants écrit en base 6. 1035 + 543.

Même question avec1035421032 + 423512.

Exercice^F 13 : Écrire la table de multiplication en base 6, effectuer sans passer par l’écriture décimale le produit des entiers suivants écrit en base 6.135×43.

Même question avec1235×543.

Effectuer la division euclidienne de345 par 25.

Exercice^C 14 : Soit b un entier naturel supérieur à 2 appelé base, on appelle chiffres les entiers naturels strictement inférieurs à b.

a. Soit m∈N^∗, on pose q₀ =m puis on définit par récurrence les suites (q_i)et (r_i)par : tant que q_i 6= 0, q_i+1 est le quotient et r_i+1 est le reste de la division euclidienne de q_i par b.

Montrer qu’il existe un entier n tel que q_n = 0.

b. Calculer les suites pour m= 1327et b= 3.

c. Montrer quem =∑n−1 k=0r_kb^k.

d. On suppose dans cette question que m =∑_m

k=0a_kb^k, ou les a_k sont des chiffres et a_m 6= 0.

Montrer que m =n et pour tout k, a_k =r_k+1.

e. Montrer que tout entier non nul possède une unique écriture de la formem =∑n

k=0a_kb^k, que l’on notera dorénavant :

m =a_na_n−1. . . a₁a₀^b

Exercice^C 15 : Utilisation de la base 2 pour l’exponentiation rapide . Le calcul classique de x³² demande le calcul de 31 produits mais on peut remarquer que c’est aussi ((((x²)²)²)²)², qui ne fait intervenir que 5 produits. Écrire 21 en base 2, en déduire une méthode pour le calcul de x²¹ avec un nombre réduit de multiplications. Même question avec x¹⁴⁹.

Exercice^F 16 : Commençons par quelques rappels sur l’anneauZ/nZ . Soient a et b deux entiers, on noteea l’ensemble des entiers qui ont le même reste quea par la division euclidienne par n, et Z/nZl’ensemble des ea. On peut définir deux opérations sur Z/nZ par

{ ea+eb=a]+b ea×eb=a bf a. (1) Montrer que ea=eb ssi a∈eb ssi b∈ea.

(2) Dans le cas où n = 6, calculere5 +e5 ete5×e5.

(3) Montrer que ea=e0ssi a est un multiple de n.

b. Soit n un entier, dont l’écriture en base 10 est : b_kb_k−1. . . b₂b₁b₀. (1) Montrer que si n est un multiple de 3 alors ∑

b_i aussi.

(2) Montrer que si n est un multiple de 9 alors ∑

b_i aussi.

(3) Montrer que si n est un multiple de 5 alors b₀ aussi.

(4) Montrer que si n est un multiple de 2 alors b₀ aussi.

(5) Démontrer la méthode dite de la preuve par 9.

(6) En analysant les résultats précédent, déterminer des résultats analogue pour une écriture en base 7, puis une écriture en base 12.

Écriture des réels dans une base b

Exercice^F 17 : Quelle est l’écriture décimale de ₁₂₅⁷ ; ¹⁰₃ et ¹₇? Exercice^F 18 : Soit x le réel qui s’écrit en base 10 : 0,9999999. . ..

a. Calculer 10x−x, en déduire la valeur de x.

b. Calculer ^x₃ et retrouvé une fraction bien connue.

c. Pour plus de rigueur vérifier quex=

∑∞ k=1

9.10^−k, calculer la somme de cette série.

Exercice^F 19 :

a. Écrire le développement en base 10 de ¹³₆

b. Écrire le développement en base 6 de ¹³₆ puis de ¹₇, ces fractions étant ici écrites en base 10.

Exercice^C 20 : Soient b un entier supérieur ou égal à 2, et(x_n)_n une suite de chiffres, on note b⁰ =b−1.

a. Calculer ∑_∞

k=nb⁰b^−k.

b. A l’aide de la question précédente montrer que 0≤∑_∞

k=nx_kb^−k≤b⁻ⁿ⁺¹. c. Dans la question précédente, préciser les cas ou l’on a égalité.

d. On suppose que x=∑_∞

k=nx_kb^−k=∑_∞

k=ny_kb^−k=y, et on note m le premier indice tel que xk 6=yk, on suppose que ym < xm. Montrer que 0 = (ym−xm)b^−m+∑_∞

k=m+1(yk−xk)b^−k, en déduire que y_m =x_m+ 1 et que ∀k > m, y_k = 0 et x_k=b⁰.

e. Énoncer un résultat général sur l’unicité du développement en base b.

f. Les rationnels suivants ont-ils un développement unique en base b : ¹₇, ²₃, ¹₅, ⁷₄, ₄₉⁹ .

Exercice^C 21 : On note [x] la partie entière d’un réelx, elle peut s’écrire dans une base b, x s’écrit alorsx= [x] + (x−[x])avec {x}=x−[x]∈[0; 1[ appelée partie fractionnaire de x.

a. Soit (x_n)_n∈N∗ une suite de chiffres, montrer que la série ∑

x_nb⁻ⁿ converge, et que sa somme est comprise entre 0 et 1. On note cette somme 0, x₁x₂x₃. . . x_n. . .^b.

b. Soit y∈[0; 1[, montrer que [by]est un entier compris entre 0 et b−1.

c. On pose y₁ =y−[by]b⁻¹, montrer que 0≤y₁ < ¹_b.

d. On construit par récurrence la suite (y_n) par y_n+1=y_n−[bⁿ⁺¹y_n]b⁻⁽ⁿ⁺¹⁾. Montrer que pour tout n on a y_n∈[0;b⁻ⁿ[, et [bⁿ⁺¹y_n]est un chiffre. Vérifier que :

y= [by]

b +[b²y₁]

b² +. . .+ [bⁿy_n−1] bⁿ +y_n

e. En déduire que tout réel x de [0 ;1[ s’écrit comme somme d’une série 0, x₁x₂x₃. . . x_n. . .^b, appelé développement propre en base b dex.

f. Déterminer le développement décimal propre de ¹₃ et de 0,239. . .¹⁰ Exercice 22 :

a. En base 3 quelle est la forme du développement des réels de l’intervalle[0,¹₂].

b. Soit x=∑

i≥1x_i3⁻ⁱ, où les x_i sont des chiffres, comment s’écrivent les réels de l’intervalle [0, x[ en base 3 ?

c. Donner un développement en base 3 de1−x.

d. Donner un exemple dex pour lequel le développement en base 3 de1−xn’est pas unique.

Exercice 23 : On écrit les réels en base 6, soit x=∑

i≥1x_i6⁻ⁱ. a. Quel est le développement en base 6 de 6x? de 36x? de ¹₆x?

b. Dans le cas où pour tout i, x_i ∈ {0; 1; 2}. Quel est le développement de 2x? c. Si x= 0,1313. . .⁶, quel est le développement de 2x?

Exercice 24 : Écrire les développements en base b de ¹

100^b, ¹

101^b. Exercice^F 25 : Soit b un entier supérieur à 2.

a. Quels sont les réels que l’on peut écrire sous la forme 10, d1d2. . . dn. . .^b avec pour tout n, d_n∈ {0,1, . . . , b−1}.

b. Dans la suite de l’exercice a désigne un réel dont le développement propre en base b est a =d₀, d₁d₂. . . d_n. . .^b avec pour tout n, d_n∈ {0,1, . . . , b−1}. Quel est le développement en base b de ab?

c. Quel est le développement de bⁿa, pour n∈N? d. Quel est le développement de a− ¹_bd₁?

e. A quelle condition (CNS) sur d₀ et d₁ a-t-ona < ¹_b? f. Quel est le développement en base b deb−a.

Exercice^F 26 : Soient x = 0,3434. . .¹⁰ et y = 0,162121. . .⁷, montrer que x et y sont des rationnels.

Exercice^C 27 :

a. Montrer à l’aide de divisions euclidiennes successives que tout rationnel a un

développement en base b qui est périodique à partir d’un certain rang. on pourra montrer que lors des divisions euclidiennes successives la suite des restes ne peut prendre qu’un nombre fini de valeur.

b. Montrer que tout réel ayant un développement en base b périodique à partir d’un certain rang est un rationnel.

3 Les fractions continues

Nous avons vu que tout réel était limite d’un suite de rationnels donné par exemple par son développement en baseb. On peut s’intéresser à approximer un réelxpar un rationnel ^p_q aussi proche que possible de x, avec des p etq les plus petits possibles, c’est ce que les fractions continues permettent.

Exercice^F 28 : Étudier le calcul suivant : 137

10 = 13 + 7

10 = 13 + 1

10 7

= 13 + 1

1 + ³₇ = 13 + 1 1 + ¹7

3

= 13 + 1 1 + ₂₊¹1

3

Essayer de faire des calculs similaires pour 30 11,210

77,−30 11 .

Exercice^C 29 : On note [x] la partie entière d’un réelx, x s’écrit alors x= [x] + (x−[x]). On pose : x0 =x,q0 = [x]et {x}=x−[x]∈[0; 1[ appelée partie fractionnaire de x.

– Si {x}est non nul, on pose x₁ = _{x¹_}, doncx₁ ≥1. On pose q₁ = [x₁], on a x₁ =q₁+{x₁}. – Si {x₁}est non nul, on pose x₂ = _{x¹

1}, donc x₂ ≥1. On pose q₂ = [x₂], on a x₂ =q₂+{x₂}. – On peut ainsi construire une suite dex_i tant que {x_i} 6= 0.

a. Écrireq_n et x_n+1 en fonction de x_n. b. Écrirex en fonction des qn et de xm.

c. Montrer que s’il existe unn tel que {x_n}= 0, alorsx est un rationnel.

d. On suppose dans cette question que x= ^p_q ∈Q, montrer à l’aide de divisions euclidiennes successives qu’il existe un n tel que x_n =q_n. Montrer que l’on a alors

x= [x] + 1

[x₁] + ¹

[x2]+ ¹

... ⁺_[xn]¹

=q₀+ 1 q₁+ ¹

q2+ ¹

... ^{+ 1}_qn

Cette écriture s’appelle le développement en fraction continue du rationnel x.

Exercice^F 30 : Déterminer le développement en fraction continue de ¹³₅, puis de ³⁰₁₁. On expli- citera bien la suite (q_n) ainsi trouvée.

Exercice^C 31 : Pour n₀ ∈Z, n₁, n₂, . . . , n_k∈N^∗ et x∈R^∗+. On note alors Jn₀, n₁, n₂, . . . , n_k, xK =n₀+ 1

Jn₁, n₂, . . . , n_k, xK avec∀y∈R,JyK=y a. Calculer J1,2K puis J2,1,3,2K.

b. Montrer que si n₀, n₁, . . . , n_k ∈N^∗ alors Jn₀, n₁, n₂, . . . , n_kK est un rationnel.

c. Remarquer que ∀n₀ ∈Z, ∀n₁, n₂, . . . , n_k ∈N^∗, ∀x∈R^∗₊, et i < k :

• Jn₀, n₁, n₂, . . . , n_k, xK = Jn₀, n₁, . . . , n_k+_x¹K

• Jn₀, n₁, n₂, . . . , n_k, xK = q

n₀, n₁, . . . , n_i,Jn_i+1, . . . , n_k, xKy

• Jn₀, n₁, n₂, . . . , n_k,1K = Jn₀, n₁, n₂, . . . , n_k+ 1K

d. En reprenant les notations de l’exercice 29, montrer que ∀k, x=Jq₀, q₁, . . . , q_k, x_k+1K. En particulier si x est rationnelx=Jq₀, q₁, . . . , q_nK.

e. Montrer que si Jn0, n1, n2, . . . , nk, xK=Jn0, n1, n2, . . . , nk, yK alors x=y.

f. Montrer que si y >1, et x=Jn₀, n₁, n₂, . . . , n_k, yK alors [x] =n₀.

g. Montrer que si y >1, et x=Jn₀, n₁, n₂, . . . , n_k, yK les premiers termes de la suite(q_n) de l’exercice 29 associé à x ne sont autres que :n0, n1, n2, . . . , nk.

h. Montrer que∀n0, m0 ∈Z, ∀n1, n2, . . . , nk, m1, m2, . . . , ml∈N^∗, avec ml >1 etnk>1 Jn₀, n₁, n₂, . . . , n_kK=Jm₀, m₁, m₂, . . . , m_lK ⇒l =k et ∀i, n_i =m_i

i. Montrer que le développement en fraction continue d’un rationnel est unique.

Exercice^F 32 : Pour calculer la fraction continue du rationnel x= ^p_q, on considère un rectangle de longueurp et de largeurq, et on le pave par des carrés de côtéq. Si x est entier alors le pavage comporte exactement x carrés. Sinon, si a₀ désigne le nombre de carrés insérés dans le rectangle, il s’agit du premier terme de la fraction continue. Il reste une bande non pavée de dimensionq×b₁ avecb₁ égal àp−a₀.q; on pave cette bande avec des carrés de dimension maximale, c’est-à-dire de côtéx₁. Le nombre de carrés est égal au deuxième terme a₁ de la fraction continue. En réitérant la méthode, on obtient l’intégralité des coefficients. Dans l’image ci-contre, on illustre 30

13 =J2,3,4K.

Faites de même pour le rationnel 22 9 .

En utilisant cet outil géométrique déterminer le rationnel :J1,1,2,3K.

Exercice 33 : Nous allons maintenant chercher des développements en fractions continues de nombres irrationnels, en reprenant les notations des l’exercices 29 et 31.

a. Déterminer la suite(q_n) pour x=√ 2.

b. On pose u_n =J1,2,2, . . . ,2

| {z }

nfois

K. Montrer que

u_n+1−1 = 1 u_n+ 1

c. En supposant que (u_n) converge vers un réell, déterminerl.

d. On pose alors v_n= ^u_u^n−l

n+l, montrer que (v_n) est une suite géométrique . En déduire la limite de la suite (u_n).

e. Donner le développement en fractions continues de √ 2.

Exercice 34 : En s’inspirant de l’exercice 33, déterminer le développement en fraction continue de√

5.

De même déterminer le développement en fraction continue de√ 7.

Exercice^C 35 : Les fonctions homographiques .

On note R1 l’ensembleR∪ {∞}, on prolonge à R1 les opérations usuelles de façon intuitive :

∀a ∈R, b∈R^∗,∀x∈R1, a+∞=∞, 0∗x= 0, b∗ ∞=∞, a

∞ = 0, b 0 =∞

on appelle fonctions homographiques les fonctions deR1 dans R1 de la forme

f(x) =





ax+b

cx+d si x∈R\ {−^d_c}

a

c si x=∞

Aveca, d, b, c∈R etad−bc6= 0.

a. Montrer quef est bien définie en particulier que l’on a jamais f(α) = ⁰₀ qui n’est pas défini.

b. Montrer qu’une fonction homographique est une bijection^R, et que sa réciproque est une fonction homographique.

c. Montrer que la composé de deux fonctions homographiques est une fonction homographique.

d. On note Ψl’application qui associe à la matrice inversible

( a b c d

)

la fonction homographique définie ci dessus. Déterminer Ψ

(( 1 1 0 1

)) etΨ

(( 1 1 1 0

))

e. Montrer queΨ est une surjection^R de l’ensemble des matrice 2×2 inversibles, dans l’ensemble des fonctions homographiques.

f. Montrer que Ψ est non injective^R.

g. Montrer queΨ transforme le produit matriciel en composée^R d’applications . On notera dorénavant

[ a b c d

]

la fonction homographique.Ψ

(( a b c d

)) . h. Calculer

[ 2 1 3 1

] (5)

i. Montrer que si λ6= 0 alors Ψ(λM) = Ψ(M).

j. Déterminer toutes les fonctions homographiques f telle que f(0) = 1,f(∞) = 2, et f(1) = 3.

k. Soit α, β et γ des éléments distincts de R1, montrer qu’il existe une unique fonctionf homographique telle que f(α) = 0, f(β) = 1 etf(γ) =∞. On pourra étudier quatre cas, suivant que α, β ouγ sont égaux à∞.

l. En déduire que pour deux triplés de points deR1, (α, β, γ) et(α⁰, β⁰, γ⁰) avec

α 6=β 6=γ 6=α etα⁰ 6=β⁰ 6=γ⁰ 6=α⁰, il existe une unique fonction homographique telle que f(α) = α⁰, f(β) = β⁰ et f(γ) = γ⁰.

Exercice 36 : Soit (u_n) une suite vérifiant la relation de récurrence u_n+1 =

[ a b c d

]

(u_n). On

suppose juste que la fonction homographique

[ a b c d

]

n’est pas l’identité.

a. Montrer queα ∈Rest un point fixe^R de

[ a b c d

] ssi

( α 1

)

est un vecteur propre^R associé à la valeur propre^R cα+d de la matrice

( a b c d

) . b. Montrer que la matrice

( a b c d

)

a au plus deux valeurs propres réelles, en déduire que la fonction homographique

[ a b c d

]

a moins de deux points fixes.

c. On suppose dans la suite que

[ a b c d

]

a deux points fixes réels distincts, α etβ. On pose P =

( α β 1 1

)

, calculer P⁻¹. d. Déterminer P⁻¹

( a b c d

) P. e. Montrer que

[ 1 −β

−1 α ]

◦

[ a b c d

]

=

[ cα+d 0 0 cβ+d

]

◦

[ 1 −β

−1 α ]

. f. En déduire que u_n+1−β

u_n+1−α =ku_n−β

u_n−α aveck = ^cα+d_cβ+d. g. En déduire que ∀n, u_n = kⁿαu−β

kⁿu−1 , avec u= ^u_u^0−β

0−α.

h. Application : Soientf(x) = ^4x_x−⁻₁⁶,u₀ = 0 et∀n ∈N, u_n+1 =f(u_n).

(1) Étudier et représenter la fonction f.

(2) Représenter sur le graphe def, les premiers termes de la suite : u₀, u₁, u₂, u₃, u₄. (3) Calculeru0, u1, u2, u3, u4.

(4) En utilisant le début de l’exercice, déterminer u_n en fonction de n, et étudier la limite de la suite (u_n).

Exercice^C 37 : Suite de Fibonacci

Notons E l’ensemble des suites réelles vérifiant la relation de récurrence

∀n∈N, u_n+2 =u_n+1+u_n. On appelle suite de Fibonacci l’élément deE vérifiant F₀ = 0 et F1 = 1.

a. Calculer les 10 premiers termes de la suite de Fibonacci.

b. Montrer que si une suite (un) de E converge^R alors limun = 0.

c. Montrer que∀n ∈N, F_n≥n−1, en déduire que limF_n =∞.

d. Montrer queE est un sous espace vectoriel^R de l’espace des suites réelles.

e. Soit ϕ l’application de E dans R² telle que ϕ( (un))

= (u0, u1). Montrer que ϕ est une application linéaire^R. Montrer que ϕ est injective, surjective.

f. Montrer que E est un espace vectoriel de dimension ^R 2.

g. Déterminer r tel que la suite (rⁿ)_n appartienne à E.

h. Montrer qu’il existe r₁ et r₂ telle que(

(r₁ⁿ)_n,(r₂ⁿ)_n)

soit une base deE. i. Montrer que∀n ∈N, F_n= 1

√5 (

1 +√ 5 2

)n

− 1

√5 (

1−√ 5 2

)n

. j. En déduire un équivalent^R simple de F_i.

Exercice^F 38 : Soit r_n=J1,| {z }1, . . . ,1

(n+1)fois

K.

a. Montrer quer_n =

[ 1 1 1 0

]

(r_n−1). On pourrait utiliser la méthode de l’exercice 36, pour étudier la suite (r_n), on utilise ici une autre méthode.

b. Montrer quern =

[ 1 1 1 0

]

◦

[ 1 1 1 0

]

◦. . .◦

[ 1 1 1 0

]

| {z }

(n+1)fois

(∞).

c. On note dorénavant Mn=

( un u⁰_n v_n v_n⁰

)

=

( 1 1 1 0

) ( 1 1 1 0

) . . .

( 1 1 1 0

)

| {z }

(n+1)fois

Montrer que r_n =

[ u_n u⁰_n v_n v_n⁰

] (∞)

d. Montrer queu⁰_i =ui−1, v⁰_i =vi−1, vi =ui−1 et ui =ui−1 +vi−1 avecv₋1 = 0 et u₋1 = 1.

e. Montrer que pour tout n, rn= ^u_vⁿ

n.

f. Montrer que ∀n ≥1, vn+1 =vn+vn−1, en déduire que ∀n∈N, vn=Fn+1, ou (Fn)est la suite de Fibonacci (cf exo 37).

g. Déterminer la limite de la suite (r_n).

Exercice^C 39 : Nous avons vu dans l’exercice 29 qu’un réel x était irrationnel ssi la suite (q_n) associée était infinie. On va maintenant partir d’une suite d’entiers. Soitq₀ ∈N et(q_n)_n≥1 une suite d’entiers strictement positifs, on poser_n=Jq₀, q₁, . . . q_nK.

a. Montrer queJq0, q1, . . . qnK=

[ q0 1 1 0

]

(Jq1, q2, . . . qnK) b. Montrer queJq₀, q₁, . . . q_nK=

[ q₀ 1 1 0

]

◦

[ q₁ 1 1 0

]

◦. . .◦

[ q_n 1 1 0

] (∞).

c. On note dorénavant M_n =

( u_n u⁰_n vn v_n⁰

)

=

( q₀ 1 1 0

) ( q₁ 1 1 0

) . . .

( q_n 1 1 0

)

Montrer que r_n =

[ u_n u⁰_n vn v_n⁰

] (∞)

d. Montrer queu⁰_n =u_n−1 etv_i⁰ =v_i−1 avec v₋₁ = 0 etu₋₁ = 1.

e. Montrer que∀n, r_n= ^u_vⁿ

n.

f. En utilisant des déterminants , montrer que u_nv_n−1−v_nu_n−1 = (−1)ⁿ⁺¹. en déduire que r_n−r_n−1 = (−1)ⁿ⁺¹

v_nv_n−1

g. Montrer queu0 =q0, v0 = 1 puis que∀n ≥2, vn=qnvn−1+vn−2 etun =qnun−1+un−2. h. En déduire que(vn)est strictement croissante et même que ∀n ∈N, vn≥Fn+1, ou (Fn) est

la suite de Fibonacci (cf exo 37).

Exercice 40 : Convergence de l’algorithme de fraction continue.

Soient x un irrationnel, (q_n)et (x_n) les suites de l’exercice 29 associées au réel x, on a en particulierx=Jq₀, q₁, . . . , q_n, x_n+1K, et (u_n)et (v_n)les suites définies à l’exercice 39 associées à la suite(q_n).

a. Montrer en utilisant les résultats de l’exercice 39, que : x= x_n+1u_n+u_n−1

x_n+1v_n+v_n−1

b. Montrer que

x− u_n v_n

= 1

v_n(x_n+1v_n+v_n−1)

c. Montrer quelim

n

un

v_n =x.

d. Conclure : Tout réel x est limite d’une suite le la forme (Jq₀, q₁, . . . , q_nK)_n, ou la suite(q_n)_n est définie à l’exercice 29.

Exercice 41 : Meilleures approximations d’un irrationnel par des rationnels.

Suite de l’exercice 39, les hypothèses et les notations sont les même, en particulier la suite (q_n)_n≥1 est une suite quelconque d’entiers strictement positifs.

a. Posons wn =rn−rn−1 pour créer un télescopage . (1) Montrer que w_n= (−1)ⁿ⁻¹

v_nv_n−1 . (2) Montrer que limw_n= 0.

(3) Montrer que la suite (|w_n|) est décroissante.

(4) Énoncer le théorème des séries alternées^R , en particulier la majoration du reste.

Peut-on l’appliquer à la série ∑ w_n?

b. Conclure sur la convergence de la suite(r_n), vers un réel r noté Jq₀, q₁, . . . , q_n, . . .K. c. Montrer que|r−^u_vnⁿ| ≤ _vnv¹_n+1 puis que |r− ^u_vⁿ_n|< _v¹2

n. d. Montrer quer−^u_vnⁿ est du signe de (−1)ⁿ.

e. En Supposant que |r− ^u_vnⁿ| ≥ _2v¹²

n et|^u_vnⁿ⁻₋¹₁ −r| ≥ _2v²¹

n−1

, montrer par l’absurde en minorant

|^u_vnⁿ − ^u_vnⁿ⁻¹₋₁|que pour tout n, ^u_vⁿ

n ou ^u_vⁿ⁻¹

n−1 vérifie |r− ^p_q|< _2q¹2.

f. Le théorème de Legendre, plus difficile, précise que pour tout irrationnel x, si

|x− ^p_q|< _2q¹2, alors ^p_q est un des ^u_vⁿ

n associé à x. Ceci n’est pas demandé.

g. Donner une bijection entre les suites d’entiers strictement positifs et les irrationnels positifs.

Exercice^F 42 : On admet queπ =J3,7,15,1,292,1,1, . . .K. a. Calculer u₁, u₂, u₃, u₄, v₁, v₂, v₃, v₄, r₁, r₂, r₃, r₄.

b. Montrer que|π− ³⁵⁵₁₁₃| ≤ _292.113^{1 2}. Exercice^F 43 :

a. Calculer Jq, q, . . . , q . . .K. b. Calculer J1,2,1,2. . . ,1,2. . .K.

c. A titre d’information e=J2,1,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1, . . .K.

4 Dénombrabilité

Il existe des irrationnels, nous en avons rencontré, mais sont-ils nombreux, plus ou moins nombreux que les rationnels, comment définir de manière rigoureuse cette idée d’ensemble infini plus nombreux qu’un autre ?

Exercice^C 44 : Rappeler les définitions d’injection, surjection, bijection. Illustrer à l’aide de dessins.

Exercice 45 : Soient f :E →F, et g :F →G.

a. Montrer que si f et g sont injectives alors g◦f est injective.

b. Montrer que si f et g sont surjectives alors g◦f est surjective.

c. Montrer que si f est injective, il existe h:F →E surjective tel que h◦f soit l’identité de E.

d. Montrer que si g◦f est injective alors f est injective.

e. Montrer que si g◦f est surjective alors g est surjective.

Exercice 46 : Les applications suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ? f1 : R → R

x 7→ sinx f₂ : R → R⁺

x 7→ x² f₃ : R⁺ → R⁺

x 7→ x² f₄ : R → R

x 7→ ^x_x³2⁺¹+1

f5 : R → R x 7→ x³−x f₆ : ]− ^π₂;^π₂[ → R

x 7→ tanx f₇ : R → [0; 1]

x 7→ cosx f₈ : R → R

x 7→ [x]− {x} f₉ : R² → R³

(x, y) 7→ (x;y;x+y)

f10: R² → R²

(x, y) 7→ (3x−6y;−4x+ 8y) f₁₁: R² → R²

(x, y) 7→ (xy,√

x² +y²) f₁₂: R³ → R2[X]

(a, b, c) 7→ a(X−b)(X−c) f₁₃: C⁰([0,1],R) → R²

h 7→ (

h(0),∫1

0 h(t)dt)

f₁₄: {Matrices à coefficient réel} → {Sous ensemble de R de cardinal fini} M 7→ Ensemble des valeurs propres de M Exercice 47 :

a. Déterminer toutes les injections de N dans N qui vérifient∀n ∈N, f(n)≤n.

b. Déterminer toutes les surjections de N dans N qui sont strictement croissantes.

Exercice^C 48 : On appelle relation d’équivalence sur un ensemble E une relation binaire, réflexive , symétrique et transitive .

– Réflexive : ∀x∈E, xRx.

– symétrique : ∀x, y ∈E, xRy=⇒yRx.

– Transitive :∀x, y, z ∈E, (xRy etyRz) =⇒xRz.

On appelle classe d’équivalence de l’élémenta, l’ensemble des éléments de E en relation avec A.

a. (1) Représenter un ensemble à 5 éléments munie d’une relation d’équivalence possédant 3 classes d’équivalences.

(2) Représenter un ensemble à 4 éléments munie d’une relation d’équivalence possédant 2 classes d’équivalences de 2 éléments.

(3) Représenter un ensemble à 3 éléments munie d’une relation symétrique et transitive mais pas réflexive.

(4) Montrer qu’une relation symétrique et transitive sans élément isolé est réflexive.

b. Les relations suivantes sont-elles des relations d’équivalence ? Si oui décrire rapidement les classes d’équivalence, ainsi qu’un système de représentants des différentes classes, c’est à dire une partie de E possédant un et un seul élément de chacune des classes.

(1) E =R,xRy six² ≤y². (2) E =R,xRy si[x] = [y].

(3) E =R,xRy si{x}={y}.

(4) E est l’ensemble des applications de R dans R. fRg si ∀x∈R, f(0) =g(0).

(5) E =C,zRz⁰ si|z|=|z⁰|.

(6) E est l’ensemble des triangles du plan euclidien. TRT⁰ si l’aire deT est égale à l’aire deT⁰.

(7) E est l’ensemble des parties de R etARB si A∩B =∅.

(8) E =N,nRm si n−m est pair.

(9) Soit f une application de E dans F,xRy sif(x) =f(y).

Exercice^C 49 : Soit E un ensemble et R une relation d’équivalence, montrer que les classes d’équivalences forment une partition deE, c’est à dire queE est la réunion disjointe de ses classes d’équivalences.

Exercice 50 : Soit Ω l’ensemble de tous les ensembles. Considérons la partie de Ω suivante

∆ ={A∈Ω, A6∈A},∆ appartient-il à∆? Que pouvons nous faire ?

Exercice^C 51 : Deux ensembles sont dit équipotents si il existe une bijection entre eux. Montrer que la propriété "être équipotent" a les propriétés d’une relation d’équivalence, toutefois l’exercice 50, nous met en garde contre cette dénomination.

Exercice^C 52 : Quelques définitions pour commencer

– Un ensemble A est fini si il existe un entiern tel que A soit en bijection avec {1,2, . . . , n}, on écrit alors card(A) = n.

– Un ensemble A est dénombrable si il est équipotent àN, on écrit card(A) =card(N) =ℵ0. – Un ensemble et "au plus dénombrable " si il est fini ou dénombrable.

– Si il existe une injection de A dans B on écrit que card(A)≤card(B).

Quelques questions pour continuer

a. Déterminer le cardinal de l’ensemble des applications de {0,1,2} dans lui même.

b. Montrer queN^∗,N∪ {−2,−4},2N etZ sont dénombrables.

c. SoitA une partie de N qui n’est pas finie, on poseϕ(0) = minA, ϕ(1) = min(

A\ {ϕ(0)}) , ϕ(2) = min(

A\ {ϕ(0), ϕ(1)})

, etc... Justifier le fait que la fonction ainsi définie est bijective de Ndans A.

d. Soit E un ensemble tel qu’il existe une surjection de N dans E, montrer que E est fini ou dénombrable.

e. Montrer que si card(A)≤card(N), alors Aest soit fini soit dénombrable. On peut dire que le dénombrable est le plus petit infini.

Exercice 53 : Soit E un ensemble, on note P(E) l’ensemble de ses parties.

a. On suppose dans cette question que E ={0,1,2}, déterminerP(E).

b. On suppose dans cette question que E =∅, déterminerP(E) puis P(P(E))et enfin P(P(P(E))).

c. Déterminer le cardinal de P(E) dans le cas ou E est de cardinal fini.

d. Montrer que card(E)≤card( P(E))

.

e. Soient ϕ une application de E dans P(E) etA={a∈E, a6∈ϕ(a)}.

(1) Dans cette question, on suppose queE =R etϕ(x) =]−x²; 2x²[, calculer ϕ(1) puis déterminer A

(2) Supposons qu’il existea tel que ϕ(a) = A,a appartient-il à A? (3) Montrer que ϕ n’est pas surjective.

(4) Montrer qu’il n’existe jamais de bijection entreE et P(E).

(5) Utiliser ce résultat pour montrer qu’il n’existe pas d’ensemble de tous les ensembles.

Exercice 54 : Montrer à l’aide d’un dessin queN×Nest dénombrable. De même montrer que N^∗ ×Z est dénombrable, en déduire que Q est dénombrable.

Exercice^C 55 : On note ϕ une bijection de Ndans N×N. ∀n∈N, ϕ(n) =(

ϕ1(n), ϕ2(n)) .