ExerciceC 76 : Commençons par des définitions :
– SoitP le plan euclidienR2 et B ={(0,0),(1,0)} , un pointM du plan est constructible à la règle et au compas si il existe des points du planM1, M2, . . . , Mn=M tels que pour touti, en posant Ei =B ∪ {M1, M2, . . . , Mi−1}, Mi est un point d’intersection soit :
*) De deux droites passant chacune par deux points distincts de Ei.
*) De deux cercles chacun centré en un point de Ei, et de rayon égal à la distance entre deux points de Ei.
*) D’un cercle centré en un point de Ei, et de rayon égal à la distance entre deux points deEi et d’une droite passant par deux points distincts de Ei.
– Une droite est constructible si elle passe par deux points constructibles.
– Un cercle est constructible si son centre est constructible et son rayon est la distance entre deux points constructibles.
– Un réelx est constructible si(x,0)est constructible. On note C, l’ensemble des réels constructibles.
Des applications immédiates, montrer que a. (−1,0)est constructible.
b. (0,1)est constructible.
c. (0, y) est constructible ssiy est constructible.
d. La droite orthogonale à une droite constructible et passant par un point constructible est constructible.
e. La droite parallèle à une droite constructible et passant par un point constructible est constructible.
f. Le milieu de deux points constructibles est constructible.
ExerciceC 77 : Une partie K de R, est un sous corps de Rsi : C1 : 1∈K.
C2 : a, b∈K ⇒a+b ∈K.
C3 : a∈K ⇒ −a∈K. C4 : a, b∈K ⇒ab∈K.
C5 : a∈K\ {0} ⇒ 1a ∈K.
a. Montrer que tout sous corps de R contient 0.
b. Montrer queC est un sous corps de R.
c. Montrer qu’un sous corps de Rest un sous groupe additif de R. d. Soit K un sous corps de R, montrer que K contient Z, puis Q.
e. Soient K1 et K2 deux sous corps de R, montrer que K1∩K2 est un sous corps de R. ExerciceC 78 :
a. Soit a un réel supérieur à−12, constructible, en considérant le cercle de diamètre [(0,0),(a+ 1,0)], montrer que √
2a+ 1 est constructible.
b. Montrer queC est stable par passage à la racine carrée, c’est-à-dire que : a∈C ∩R+ ⇒√
a∈C
c. Soient a, b, ctrois réels constructibles, a étant non nul. Montrer que si α est une racine réelle de ax2+bx+c, alors α∈C.
Exercice 79 : Soit K un sous corps de R, R est un espace vectoriel sur le corps K (on parle alors deK−espace vectoriel , c’est à dire que les scalaires sont les éléments de K et les vecteurs sont les réels. Supposons queK =Q, montrer que 37 et 65 sont deux vecteurs liés, puis que√
2−1 et 37 sont deux vecteurs libres. Les familles suivantes sont-elles Q−libres (π,57π), (π+ 1, π+ 2), (π+ 1, π+ 2, π+ 3)?
ExerciceF C 80 : Soit L un sous corps de R et K un sous corps de R contenant L, montrer queK est un sousL−espace vectoriel de R. SiK est un espace vectoriel de dimension fini sur L, on note[K :L] la dimension deK vu commeL espace vectoriel.
ExerciceC 81 : Soit K un sous corps de R, et a un réel, on note K(a) le plus petit sous corps deR tel que K ⊂K(a) eta ∈K(a). C’est l’intersection de tous les sous corps de R qui ont ces propriétés. On poseE =Q(√
2), et L=vectQ(1,√
2) ={a+b√
2/a, b∈Q}. a. Montrer queL⊂Q(√
2).
b. Montrer queL est un sous corps de R.
6) est une familleQ-libre.
b. Montrer que(1,√
2)-libre, pour cela on montrera par l’absurde que
√36∈Q(√ 2).
d. Montrer que(1,√ 2,√
3,√
6)est une famille Q-libre.
ExerciceC 83 : Soit K un sous corps deR etα un réel n’appartenant pas àK tel queα2 ∈K, montrer en vous inspirant de l’exercice 81 que [K(α) : K] = 2. En déduire que si β est un réel n’appartenant pas à K, solution d’une équation du second degré à coefficient dans K, alors [K(β) :K] = 2.
(2) Montrer que ϕx est injective.
(3) Montrer qu’il existe y∈L tel que xy= 1.
d. Déduire de la question précédente que L est un sous corps de R. e. Montrer queL=Q(√3
2).
f. Montrer que (1,√3
2) est une familleQ-libre.
g. En supposant qu’il existe des rationnels a, b vérifiant √3
4 =a+b√3
Exercice 85 : Montrer que Q(e) est unQ-espace vectoriel de dimension infini.
Exercice 86 : SoitK un sous corps de R,P un polynôme à coefficient dansK, et a une racine réelle de P. On posen =deg(P) etL=vectK(1, a, a2, . . . , an−1).
a. Rappeler le théorème de division euclidienneR des polynômes à coefficients réels. Effectuer la division euclidienne de X4+ 4X3 −1 par (X+ 1)2.
b. Montrer queL est stable par multiplication.
c. Soit x∈L\ {0}, posons
ϕx : L → L y 7→ xy (1) Montrer que ϕx est K-linéaire.
(2) Montrer que ϕx est injective.
(3) Montrer qu’il existe y∈L tel que xy= 1.
d. Montrer queL est un sous corps de R. e. Montrer queK(a) =L.
Exercice 87 :
a. Soit K un sous corps de R, et Lun sous espace vectoriel de R sur le corps K. En vous inspirant des exercices précédents, montrer que si Lest stable pour le produit alors Lest un sous corps de R.
b. Soit M ={x∈R/∃N ∈N,∃a0, a1, . . . , aN ∈Q, x=a0+a1e+a2e2+. . . aNeN}, montrer que M est un sous espace vectoriel stable pour le produit mais n’est pas un sous corps de R.
3), et on s’inspirera des exercices précédents.
Exercice 89 : Soit K un sous corps de R, a un nombre algébrique sur K. On dit que a est de base de K(a) vu commeK espace vectoriel.
c. Montrer que√
a. Montrer que la famille de mn vecteurs : (eifj)i,j est une famille génératrice de N comme L-espace vectoriel.
b. Montrer que la famille de mn vecteurs : (eifj)i,j est une famille libre comme L-espace vectoriel.
a. On va montrer par l’absurde que√
56∈H, on suppose qu’il existe des rationnels a et b tels que √
5 =a+b√ 2.
(1) Montrer que 5 =a2+ 2b2+ 2√ 2ab.
(2) Montrer avec rigueur, en utilisant le fait que(1,√
2)est une Q-base de H, que
b. Montrer quea est racine d’un polynôme de degré 2 à coefficient dans K.
c. Soit L0, L1, . . . , Ln une suite de sous corps de R tels que [Li :Li−1] = 2 pour tout i, et L0 =Q. Montrer par récurrence que Ln⊂C (On pourra utiliser l’exercice 78).
Exercice 93 : Soient K un sous corps de R, xA, yA, xB, yB, xC, yC, xD, yD, xE, yE, xF, yF ∈K A= (xA, yA), B = (xB, yB), C = (xC, yC), D = (xD, yD), E = (xE, yE), des points distincts deux à deux, tels que les droites (AB)et (CD)ne soient pas parallèles.
a. Montrer que la droite (AB) possède une équation de la forme αx+βy +γ = 0 avec α, β, γ ∈K.
b. Montrer que le cercle de centre A et de rayon BC, possède une équation de la forme x2+y2+ρx+σy+τ = 0 avec ρ, σ, τ ∈K.
c. Montrer que les coordonnées du point d’intersection de la droite (AB)et de la droite (CD) appartiennent à K.
d. En supposant qu’il existe, notonsG= (xG, yG) un point d’intersection de la droite (AB) et du cercle de centre C et de rayon DE, montrer que sixG ouyG n’appartient pas à K alors [K(xG, yG) :K] = 2 (on pourra utiliser l’exercice 83).
e. En supposant qu’il existe, notonsH = (xH, yH) un point d’intersection du cercle de centre A et de rayon BC, et du cercle de centre D et de rayon EF, montrer que sixH ou yH n’appartient pas à K alors [K(xH, yH) :K] = 2 (on pourra se ramener à la question précédente).
f. Déduire des questions précédentes que si t∈C il existe une suite de sous corps de R : L0 =Q, L1, . . . , Ln tels que [Li :Li−1] = 2 pour touti, et t ∈Ln.
g. On a donc montré le théorème de Wandzel : Soit t ∈R, t est constructible ssi il existe une suite de sous corps de R, L0, L1, . . . , Ln tels que L0 =Q, [Li :Li−1] = 2 pour tout i, et t ∈Ln.
Exercice 94 : Soit t ∈ R, montrer que si t est constructible alors il existe m ∈ N tel que [Q(t) :Q] = 2m.
Exercice 95 : En admettant que π est transcendant montrer que la quadrature du cercle n’a pas de solution. C’est à dire que l’on ne peut pas construire à la règle et au compas un carré dont l’aire est égale à l’aire d’un cercle de rayon 1.
Exercice 96 : Montrer que le problème de la duplication du cube n’a pas de solution à la règle et au compas. C’est à dire qu’étant donné un cube de coté 1, il n’est pas possible de construire à la règle et au compas le coté d’un cube dont le volume est double du cube de départ.