Exercices de Mathématiques UE : MS4-I
Licence de sciences 2 ème année Parcours informatique
17 septembre 2008
Alexandre MIZRAHI
Programme détaillé du cours
a. Complément d'algèbre linéaire (1 semaine) (1) Famille libre. base.
(2) Opération élémentaire sur les matrices.
(3) Matrice d'un endomorphisme relativement à une base.
(4) Algèbre des matrices diagonales.
b. Diagonalisation des endomorphismes (1,5 semaine) (1) Valeur propre, vecteur propre.
(2) Endomorphisme diagonalisable.
(3) Matrice de changement de bases.
(4) Polynôme caractéristique.
(5) CNS de diagonalisabilité, diagonalisation.
c. Espace euclidien (1,5 semaine)
(1) Dénition de produit scalaire, espace euclidien, base orthonormale (bon).
(2) Dénition de matrice orthogonale et lien avec les matrices de passage des bon.
(3) Méthode d'orthonormalisation de Schmidt.
(4) Projection orthogonale sur un SEV, pythagore.
d. Endomorphismes orthogonaux (0,5 semaine) (1) Dénition
(2) Rotations du plan et de l'espace
e. Réduction des endomorphismes symétriques (1 semaine) (1) Dénition des Matrices symétriques.
(2) Propriétés élémentaires des matrices symétriques.
f. Espace de probabilité (2 semaines) (1) Mesures de probabilités
(2) Probabilité conditionnelle, indépendance (3) Dénombrement
g. Variables aléatoires discrètes et à densités. (1 semaine) (1) Loi, Fonction de répartition.
(2) Variables aléatoires discrètes, dénition, espérance, variance.
(3) Variables aléatoires à densités, dénition, espérance, variance.
h. Lois usuelles. (1 semaine)
(1) Variables aléatoires discrètes : bernoulli, binomiale, poisson, géométrique.
(2) Variables aléatoires à densité : uniforme, exponentielle, normale, student, khi deux.
i. Introduction aux chaînes de Markov. (1 semaine) (1) Graphe et matrice de transition, loi invariante.
(2) Théorème de Perron Frobenius, et convergence.
j. Convergences des suites de variables aléatoires (1 semaine) (1) Loi des grands nombres
(2) Théorème de la limite centrée, approximation centrale k. Statistiques : vraissemblablement supprimé (1 semaine)
(1) Estimation ponctuelle et par intervalle de conance (2) Tests statistiques
Compléments d'algèbre linéaire élémentaire
Exercice 1 : Soient −→u = (1; 2; 3) et−→v = (2; 3; 4) deux vecteurs de R3. a. Montrer que (−→u;−→v) est libre.
b. La famille (−→u;−→v ) est-elle une base de R3?
c. Notons H le sous espace vectoriel engendré par (−→u;−→v). Quelle est sa dimension ? H ={λ−→u +µ−→v ;λ, µ∈R}
d. Déterminer une équation de H.
e. Soit −→w = (1; 1; 1), −→w appartient-il aH? f. Compléter→−w en une base de H.
g. Quelles sont les coordonnées de −→w dans la base(−→u;−→v )?
Exercice 2 : Lorsqu'elles sont possibles eectuer les opérations suivantes : AE; AB; AC; CA; CF; F C; C−1; A−1; D−1; G−1.
A=
1 2 0 3 −1 −2
; B =
1 2 3 4
−1 5
; C =
−2 1
−3 2
; D=
0 2 0 3 0 1 0 0 2
E =
1 3
−5
; F =
0 1 1 0
G=
2 −1
−4 2
Exercice 3 : Calculer les matrices inverses des matrices suivantes :
A=
3 2 3 4 4 3 3 3 3
; B =
5 −1 5 8 5 7 4 −1 4
; C =
3 2 5 4
; D=
7 −4
−3 2
;
Exercice 4 : SoitP =
1 −2 3
4 1 1
1 2 −2
, on peut montrer que P−1 =
4 −2 5
−9 5 −11
−7 4 −9
a. Résoudre les systèmes :
(S) :
x−2y+ 3z= 1 4x+y+z =−1
x+ 2y−2z= 3
(S0) :
x+ 4y+z = 1
−2x+y+ 2z =−1 3x+y−2z = 3
b. On suppose de plus que P est la matrice de passage d'une base B à une base B0. Soit−→u le vecteur de matrice coordonnées
1 2 3
dans B, quelles sont les coordonnées de −→u dans B0?
c. Soit −→v le vecteur de matrice coordonnées
1 2 3
dans B0, quelles sont les coordonnées de−→v dans B?
Exercice 5 : SoitB = (−→ i ;−→
j ;−→
k)et B0 = (−→ i0;−→
j0;−→
k0) deux bases telles que
−
→i0 = 2−→ i +−→
− j
→j0 =−→ i +−→
j −−→
− k
→k0 =−−→ i +−→
j +−→ k etf l'application linéaire dénie parf(x−→
i +y−→ j +z−→
k) = (x−y)−→
i + (2y−z)−→
j −(x+y+z)−→ k a. Déterminer la matrice M def dans la baseB.
b. Déterminer la matrice N def dans la baseB0.
c. Quelles sont les relations qui lient les matrices M, et N. Exercice 6 : f(x, y, z) =x+ 2y−z,g(x, y, z) = (2x−y, y−2x).
Déterminer les noyaux et les images de f etg. Pour chacun de ces 4 SEV on déterminera une base.
Exercice 7 : Soitf dénie par f(x, y, z) = (2x−y+z, y+x). a. Déterminer le noyau et l'image de f.
b. Déterminer une base du noyau de f puis une base de l'image def.
c. Écrire la matrice M de f relativement aux bases canoniques : (1; 0; 0),(0; 1; 0),(0; 0; 1)et (1; 0),(0; 1).
Exercice 8 : SoitE l'ensemble des solutions dénies sur R de l'équation diérentielle xy00−y+xy = 0.
a. Montrer que E est un sous-espace vectoriel.
b. Écrire E comme noyau d'un application linéaire.
Exercice 9 : SoientD etD0 les droites d'équation 2x−3y= 0 et x−7y= 0 dans une base B du plan, soit S la symétrie d'axe D parallèlement àD0.
a. Déterminer une base B0 dans laquelle la matrice de S est très simple.
b. Déterminer la matrice de S dans B0. c. Déterminer la matrice de S dans B?
Exercice 10 : Soit E l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3. On considère l'endomorphisme Φ qui a un polynôme P associe le polynôme P0+P. Déterminer la matrice de Φ dans la base(1;X;X2;X3). déterminer le noyau et l'image deΦ.
Exercice 11 : Soit h l'homothétie de centre 0 et de rapport 5, et p la projection sur le plan d'équation x+ 2y+ 3z = 0 parallèlement à au vecteur(−1; 1; 0). Déterminer la matrice de h◦pdans la base canonique deR3.
Determinant
Exercice 12 : Calculer les déterminants suivants :
∆1 =
a a2 1 2
∆2 =
ab a2 a b 2 6 b 1 1
∆3 =
1 1 1
a+b c+a b+c
ab ac bc
∆4 =
2a 2a abc 2b abc 2b abc 2c 2c
Diagonalisation
Exercice 13 : Montrer sans utiliser le polynôme caractéristique que la matriceM =
−3 −2 6
−4 −1 6
−2 0 2
admet 1 comme valeur propre et déterminer le sous espace propre associé à 1 : E1. Montrer que 2 n'est pas valeur propre. Le vecteur U =
1 1 1
est-il un vecteur propre de M? Exercice 14 : Soient A etB des matrices carrées de même dimension.
a. Montrer que si λ est une valeur propre de AB associé au vecteur propre U alors λ est une valeur propre de BA, on pourra considérer à part le cas ou BU = 0.
b. Montrer ce résultat en utilisant le polynôme caractéristique.
Exercice 15 : Soit E l'espace de dimension innie des polynômes à coecients réels, et f l'ap- plication de E dans E dénie par ∀P ∈E, f(P) = XP0−P. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de f.
Exercice 16 : Diagonaliser les matrices suivantes : A =
3 −3 2 −4
B =
−4 −15
2 7
C =
7 −10 4 −7
D=
3a+ 1 −3a−3 a+ 1 −a−3
E =
−3 −2 6
−4 −1 6
−2 0 2
F =
1 4 4
4 7 8
−4 −8 −9
G=
−3 −8 −4
−5a−11 −3a−28 −2a−14 10a+ 24 6a+ 62 4a+ 31
Exercice 17 :
M =
1 −5 −2
−5 1 −2
−2 −2 −2
1) Diagonaliser M.
2) Donner une interprétation géométrique de la transformation associée à la matrice M dans une base B.
Exercice 18 : Soit E l'espace vectoriel des suites réelles indicée par N. Soit Φl'endomorphisme deE qui à une suite (un)n∈N associe la suite (un+1)n∈N.
a. Soit la suite dénie par un =n. Quelle est son image par Φ? Écrire les premiers termes.
b. Soit la suite dénie par un = 2n. Quelle est son image par Φ? Écrire les premiers termes.
c. Déterminer les vecteurs propres de Φ? Puis l'ensemble des valeurs propres de Φ.
Exercice 19 : [dur]Soit A une matrice n×n qui ne contient que des 0 sauf sur la première et la dernière colonne ainsi que sur la première et la dernière ligne ou il y a des 1.
a. Si n = 2, A est-elle diagonalisable ?
b. Si n≥3, montrer que 0 est une valeur propre de A, et que le sous espace propre associé est de dimension supérieur à n−2.
c. Montrer que les seules valeurs non nulles de λ pour lesquelles le système AX =λX a des solutions (X 6= 0) sont λ1 = 1 +√
2n−3 etλ2 = 1−√ 2n−3
d. En déduire que A est diagonalisable.
Exercice 20 : Soit E un espace vectoriel de dimension ni et p un projecteur, c'est à dire un endomorphisme de E ayant la propriété : p◦p=p. Montrer que les seuls valeurs propres que peut avoir un projecteur sont 1 et 0. Montrer qu'un projecteur est toujours diagonalisable. Pour cela on pourra montrer que tout vecteur s'écrit comme somme d'un vecteur propre associé à 1 et d'un vecteur propre associé à 0.
Espace euclidien
Exercice 21 : Les bases dénies ci-après deR2 ou R3 sont-elles orthogonales ? orthonormales ?
−
→u1 = 1
2
−→v1 = −1
2
−
→u2 = 3
1
−→v2 = 1
−3
−
→u3 =
√1 12
√2
!
−
→v3 = −√1
1 2
√2
!
−
→u4 =
1 1
−4
−→v4 =
2 2 1
−w→4 =
−1 1 0
−
→u5 =
1 1
−4
−→v5 =
3 1 1
−w→5 =
−1 1 0
Exercice 22 : Déterminer une base orthonormale du plan vectoriel d'équation2x−y+ 3z = 0. Exercice 23 : Déterminer une base orthonormale du plan vectoriel P d'équation x−y−z = 0. Déterminer le projeté orthogonal du vecteur −→u =
1 3 2
sur le plan vectoriel P. En déduire la distance de −→u à P.
Exercice 24 : Appliquer la méthode d'orthonormalisation de Schmidt pour orthonormaliser les bases dénies par :
−
→u1 = 3
1
−→v1 = 1
2
−
→u =
1 1 1
−→v =
1 2 3
−→w =
1
−1 3
Exercice 25 : Soit E l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2. On pose
∀P, Q∈E, < P, Q >=R1
0 P(x)Q(x)dx a. Calculer < X,1 +X2 >.
b. Montrer que <·,·> déni un produit scalaire surE.
c. Appliquer la méthode d'orthonormalisation de Schmidt pour orthonormaliser la base canonique deE : (1, X, X2).
Exercice 26 : [Distance d'un point à une droite]
Soit D la droite deR2 passant par le point A= (a, b) et de vecteur directeur−→u = (α, β), M0 = (x0, y0) etH le projeté orthogonal de M0 sur D.
a. D est-elle un sous espace vectoriel ? b. Montrer que |Det(−−→
AM0,−→u)|=|Det(−−−→
HM0,−→u)|=|−−→
HM||−→u|. c. En déduire que la distance de M0 àD est égale à :
d= |β(x0−a)−α(y0−b)|
pα2+β2
d. En déduire que la distance de M0 à la droite d'équation ux+vy+w= 0 est : d= |ux0+vy0+w|
√u2+v2
Exercice 27 : SoitE l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur à 2. On pose ∀P, Q∈E,
< P, Q >=P2
k=0P(k)Q(k)
a. Rappeler la dénition de la base canonique de E. Quelle est la dimension de E? b. Calculer < X, X2 >, puis < X −1, X −1>.
c. Montrer que <·,·> déni un produit scalaire surE.
d. Déterminer pour ce produit scalaire le projeté orthogonal de X2 sur le sous espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 1.
e. Déterminer une base orthonormale pour <·,·>.
Exercice 28 : Soit E l'espace vectoriel des fonctions continues sur [0; 2π], on pose ∀f, g ∈E,
< f, g >=R2π
0 f(x)g(x)dx
a. Soient les fonctions f et g dénies par f(x) =x et g(x) = cosx4, calculer < f, g >.
b. Montrer que <·,·> déni un produit scalaire surE. Interpréter géométriquement la norme associée.
c. Déterminer pour ce produit scalaire le projeté orthogonal de la fonction g sur le sous espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 1. Interprétation.
d. Déterminer pour ce produit scalaire le projeté orthogonal de la fonction f sur le sous espace vectoriel H ={a0+a1cos +b1sin, a0, a1, a2 ∈R}.
Exercice 29 : Soit E l'espace vectoriel des matrices 2×2, A=
3 −3 2 −4
etB =
1 −1
−2 0
. a. Quelle est la dimension de E?
b. Pour M, N ∈E on pose < M;N >=tr (tM N). Calculer < A;B >. c. Montrer que <·;·> est un produit scalaire surE.
d. Quelle est la norme associée ?
e. Déterminer l'ensemble des vecteur orthogonaux à I.
f. Déterminer le projeté orthogonal de A sur le sous espace vectoriel S des matrices symétriques.
Exercice 30 : Soit E l'espace vectoriel des fonctions continues sur [0,π2], on pose
∀f, g ∈E, < f, g >=
Z π2
0
f(x)g(x)dx On admet que<·,·>dénit un produit scalaire sur E.
a. Soient les fonctions dénies par f0(x) = 1,f1(x) =x et g(x) = sin(x), calculer < f0, g >et
< f1, g >.
b. Soit H ={h∈E | ∃m, p∈R,∀x∈[0; 1], h(x) =mx+p} l'espace vectoriel des fonctions anes, déterminer une base de H, en déduire que H est de dimension 2.
c. Déterminer le projeté orthogonal G de la fonction g surH.
d. De toutes les fonctions linéaires (de la forme v(x) =αx), quelle est celle qui est "la plus proche" deg.
Matrices orthogonales
Exercice 31 :
a. Montrer que les valeurs propres réelles d'une matrice orthogonale appartiennent à {1;−1}. b. Montrer que le déterminant d'une matrice orthogonale est égal à ±1.
Exercice 32 : Soit M une matrice orthogonale 2×2. a. On suppose que le déterminant de M est égal à -1.
(1) Montrer que le polynôme caractéristique de M possède deux racines réelles diérentes.
(2) Montrer que M est diagonalisable.
(3) Montrer que deux vecteurs propres associés à deux valeurs propres diérentes sont orthogonaux.
(4) Montrer qu'il existe T orthogonale tels que M =P
1 0 0 −1
tP.
b. On suppose que le déterminant de M est égal à 1. Montrer qu'il existe θ tel que : M =
cos(θ) −sin(θ) sin(θ) cos(θ)
c. Donner une interprétation géométrique de ce qui précède.
Exercice 33 : Un invariant important la trace.
Soit M une matrice carrée on appelle trace deM la somme des éléments diagonaux de M. On la note tr(M).
a. Calculer la trace des matrice suivantes :
A= −6 6
−12 11
!
B = 8 −4 9 −4
!
C =
3 −3 3 2 −1 0 1 −2 3
b. Montrer que pour deux matrices carrées A et B on a tr(AB) =tr(BA). Exercice 34 :
Soit E l'ensemble des matrice 3×3de la forme M =
α 0 0 0
0 N
avec N =
a c b d
. a. Montrer que E est un sous espace vectoriel dont on déterminera la dimension.
b. Montrer que le produit de deux matrices de E appartient encore àE.
c. Donner une CNS sur N etα pour qu'une matrice M de cette forme soit inversible et déterminer son inverse.
d. Calculer lorsqu'il est déni le produit :
α 0 0 0
0 N
α0 0 0 0
0 N0
α 0 0 0
0 N
−1
Exercice 35 : (suite des exercices 31 : 32 :33 : et 34 :pour les matrices 3×3)
Soit f un endomorphisme d'un espace euclidien E de dimension 3 et M la matrice de f dans une bon de E. On suppose que M est orthogonale.
a. Montrer que contrairement au cas de l'exercice 32 : la matrice M a une valeur propre réelle, on pourra étudier le degré de son polynôme caractéristique. En déduire que soit 1 soit -1 est une valeur propre de M, notonsε une valeur propre de f et −→u un vecteur propre associé. On note H =R−→u etF =H⊥={−→v ∈E;<−→u ,−→v >= 0} l'orthogonal de H.
b. Si M est diagonalisable dans Rquelles sont les diagonales possibles.
c. Si M n'est pas diagonalisable dansR : (1) Montrer que si −→v ∈H alors f(−→v )∈H.
(2) Montrer que si −→v ∈F alors f(−→v )∈F. On pourra calculer la norme de f(−→u +−→v). (3) Soit −→u2,−→u3 une bon deF. Montrer que la matrice def dans la base(−→u ,−→u2,−→u3)appartient
à E de l'exercice 34 :, montrer que la matriceN correspondante est orthogonale.
(4) Montrer que si N est diagonalisable alorsM l'est aussi.
(5) En déduire que dans la base (−→u ,−→u2,−→u3) la matrice de f est de la forme
0 0
0 cos(θ) −sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ)
d. Classer les matrices orthogonales 3×3, interprétation géométrique.
e. Soit A la matrice d'une rotation, déterminer l'angle de cette rotation, expliquer comment l'on pourrait trouver l'axe de la rotation.
A=
√1
3 −√12 √16
√1 3
√1 2
√1 1 6
√
3 0 −2√
6
Réduction des matrices symétriques
Exercice 36 : Soit la matriceM = 1 3
2 −2 −1
−2 −1 −2
−1 −2 2
. a. M est-elle symétrique ?
b. M est-elle orthogonale ? c. M est-elle diagonalisable ?
d. Déterminer une matrice P orthogonale, et une matrice D diagonale telle queM =P DP−1. e. Donner une interprétation géométrique à l'application linéaire de R3 dans R3, dont la matrice
estM dans la base canonique deR3.
Exercice 37 : Soit S une matrice symétrique telle que S5 =I, montrer que S =I.
Soit S une matrice symétrique telle que S4 =I, montrer que S2 =I, a-t-on toujours S=I? Exercice 38 : On pourra avec intérêt relire les énoncés des exercices 29 : et 33 :
Soit A une matrice carrén×n.
a. Montrer que la matrice S=tAA est diagonalisable. On note λ1 ≤λ2 ≤. . .≤λn ses valeurs propres.
b. Montrer que tr(S) =
n
X
k=1
λk= X
1≤i,j≤n
A2i,j.
c. Soit X1 un vecteur propre associé à λ1, en calculant tX1SX1, montrer que λ1 ≥0.
d. En considérant une b.o.n. de vecteurs propres, montrer que pour toute matrice colonne X, n×1 on a :
pλ1kXk ≤ kAXk ≤p
λnkXk
e. Montrer qu'il existe des matrices colonnes non nulle pour lesquelles on a égalité.
Exercice 39 : Soit Γla conique d'équation 5x2+ 2√
3xy+ 7y2 = 1
dans la base canonique. Déterminer une base orthonormée dans laquelle l'équation de Γest réduite.
Exercice 40 : Même question avec la conique d'équation x2+ 2xy−y2 +x−2y= 1. Exercice 41 : Soit S une matrice symétrique.
a. En supposant que toutes les valeurs propres de S sont positives, et en diagonalisant S montrer qu'il existe une matrice symétrique T telle que T2 =S.
b. Appliquer ce qui précède à la matrice S1 =
10 −6
−6 10
. Exercice 42 :
a. Soit S une matrice symétrique à deux lignes, pour X = x1
x2
, calculer tXSX.
b. SoitS une matrice symétrique à n lignes etX une matrice colonne àn lignes, calculer à l'aide des coecients deX et ceux deS la quantité : tXSX.
c. Soit S une matrice symétrique telle que pour toute matrice colonne X on ait :
tXSX ≥0 Montrer que toutes les valeurs propres de S sont positives.
d. La réciproque est-elle vrai ?
e. En écrivant la somme suivante comme une somme de carrées montrer que :
∀x, y, z ∈R, 6x2+ 2y2+ 2z2 + 2xy−2yz ≥0 En déduire que les valeurs propres de S2 =
6 1 0
1 2 −1 0 −1 2
sont positives.
f. En vous inspirant de la méthode précédente montrer que les valeurs propres de la matrice T =
3 2 0
2 6 −3 0 −3 2
sont positives.
Exercice 43 : Représentation plane de Mohr d'une matrice symétrique.
Soit M la matriceM =
a b b c
avecdet(M)6= 0 eta > c. On note C le cercle de diamètre AB avecA(a;b) etB(c;−b).
a. Déterminer l'équation du cercle C.
b. Montrer que les deux points d'intersections de C et de l'axe (Ox) ont pour abscisse les valeurs propres de M. On note L1 celui qui a la plus grande abscisse et L2 l'autre.
c. Soit σ1 la plus grande valeur propre deM et−→u un vecteur propre associé. Déterminer tan((Ox)\−→u) à l'aide de a, b, c, on pourra commencer par déterminer un vecteur−→u possible.
d. Montrer que tan(Ox,\−−→
L2A) = tan((Ox),\−→u)interprétation pour trouver graphiquement l'angle ((Ox),\−→u).
Espace de probabilité
Exercice 44 : 4 joueurs jouent au poker, avec un jeu de 52 cartes. On distribue au hasard, une main de 5 cartes à chaque joueur.
a. Quelle est le nombre de mains diérentes qu'un joueur peut recevoir ?
b. Quelle est la probabilité qu'un joueur donné reçoive un carré (4 cartes de même hauteur ?).
c. Quelle est la probabilité pour qu'un joueur donné reçoive une "quinte oche" ( 5 cartes de même couleurs consécutives, sachant qu'il y a 4 couleurs).
d. Quelle est la probabilité qu'un joueur reçoive un full (par exemple 2 valets et 3 as).
e. Quelle est la probabilité qu'un joueur reçoive un brelan (par exemple 3 valets, un as et un sept).
Exercice 45 : On dispose de 10 billes que l'on veut aligner, combien peut-on former de gures diérentes, si les billes de mêmes couleurs ne sont pas discernables et si :
a. les 10 billes sont de couleurs diérentes.
b. si il y a 3 billes rouges, 4 billes vertes et 3 noires.
c. si il y a 3 billes rouges, 4 billes vertes et 3 noires, mais que les rouges doivent être groupées.
Exercice 46 : On choisit deux pointsxetyau hasard dans l'intervalle [0 ;1] quelle est la probabilité que la somme de leur carré soit inférieur à 1. On pourra faire un schéma et représenterxen abscisse ety en ordonnée.
Exercice 47 : On marque n points sur un cercle, on en choisit deux au hasard, quelle est la probabilité qu'ils soient voisins ?
Exercice 48 : On jette 3 fois un dé, quelle est la probabilité qu'au moins un trois sorte ? Et si on le jette 6 fois ? 12 fois ?
Exercice 49 : Combien de triangles diérents peut-on constituer en prenant leur sommet parmi 10 points (Ces points n'étant pas alignés 3 par 3).
Exercice 50 : Si une personne sur 10 000 est centenaire, calculer la probabilité qu'il y ait au moins un centenaire dans un échantillon de 100 personnes, de 1000 personnes, de 10 000 personnes.
Exercice 51 : [dur]Déterminer le nombre de solutions dans N3 du système
x+y+z = 2n x≤y+z y≤z+x z≤x+y
Exercice 52 : Montrer que n
p+ 1
=
n−1
X
m=p
m p
.
Exercice 53 : Montrer que 2n
n
=
n
X
m=0
n m
2
, on pourra calculer le nombre de "chemins crois- sants" allant dansN2 du point (0 ;0) au point (n;n).
Exercice 54 : Une urne contientn boules blanches etn boules noires, combien y a-t-il
d'échantillons contenant k boules noires etn−k boules blanches. En déduire la formule suivante :
n
X
k=0
n k
2
= 2n
n
Exercice 55 : On poseSnp =Pn k=1kp a. Montrer que Sn0 =n, calculer Sn1.
b. En calculant de deux manières diérentes la quantité PN
n=1(n+ 1)p−np montrer que :
∀p∈N∗, (N + 1)p = 1 +
p−1
X
k=0
p k
SNk c. En déduire Pn
k=1k2,Pn k=1k3.
Exercice 56 : Soit φ(x) = (1−x)xn−1 en calculant son intégrale de 0 à 1 de deux façons diérentes : une fois à l'aide de la formule du binome de Newton et une fois à l'aide d'un changement de
variable, montrer que
n
X
k=1
n k
(−1)k k =−
n
X
k=1
1 k Exercice 57 : [Codes de correction d'erreur : code de répétition]
Chaque bit est envoyés 3 fois de suite chacun avec une probabilitép d'être mal transmis. Lorsque l'on décode on ne reprend que le bit le plus fréquent (3 sur 3 ou 2 sur 3). Dans un tel paquet de 3 bits (c.a.d. 3 répétitions du bit de signal). On suppose que les erreurs sont indépendantes entre elles.
a. Quelle est la probabilité que 0,1,2 ou 3 de ces 3 bits soient changés lors de la transmission ? b. Sachant qu'il y a au moins une erreur, quelle est la probabilité que l'erreur de transmission
soit détectée ?
c. Sachant qu'il y a au moins une erreur, quelle est la probabilité que l'erreur soit transmise sans être détectée ?
d. Coder le message suivant : 01110
e. Décoder le message suivant : 001001111100010110011
f. Quel est le taux de transmission d'un tel algorithme. (Le taux de transmission est le rapport entre la longueur du message initial et la longueur du message après codage. Un excellent taux de transmission est donc proche de 1) ?
Exercice 58 : [Codes de correction d'erreur : Code de Hamming]
On cherche à envoyer 4 bits(b1, b2, b3, b4), à la suite des 4 bits on envoie les 3 bits de contrôles suivantsb5 =b1+b2+b3, b6 =b2+b3+b4, b7 =b3+b4+b1. Les 7 bits sont envoyés chacun avec une probabilité pd'être mal transmis, on suppose que les erreurs sont indépendantes entres elles.
Lorsque l'on décode on vérie que les relations sont bien vériées.
a. Quel est le taux de transmission d'un tel algorithme. (Le taux de transmission est le rapport entre la longueur du message initial et la longueur du message après codage. Un excellent taux de transmission est donc proche de 1) ?
b. Coder 0101, puis 1110.
c. Si il y a une erreur sur b1, alors les bits de contrôle (5) et (7) sont faux, expliquer pourquoi.
d. Donner les autre relations équivalentes, pour une erreur sur chacun des 7 bits, expliquer comment on décode.
e. Décoder 1000101 puis 1011001. Décoder 1010100 puis 1110101.
f. Si il y a une seule erreur lors de la transmission, quelle est la probabilité que l'erreur de transmission soit détectée et corrigée ?
g. Si il y a exactement 2 erreurs lors de la transmission, quelle est la probabilité que l'erreur de transmission soit détectée ?
h. Si l'on suppose que l'on ne corrige bien que les cas ou il n'y a qu'une erreur, quelle est la probabilité que les 4 bits de départ soit bien transmis ?
Exercice 59 : On note log le logarithme décimal, et pourk = 1,2, ....,9 on note pk = log(1 + 1k). Montrer que lespk dénissent une loi de probabilité. Comparerp1 et p9. Cette loi est appelée loi de Benford, si vous prenez le premier chire de la valeurs des actions en euros, en dollars ou en yen du new york stock exchange ces chires suivent une loi très proche d'une loi de Benford.... Bien sur le premier chire des déclarations d'impôt, des prix des articles d'un supermarché, etc... suivent cette loi.
Conditionnement et indépendance
Exercice 60 : On lance un dé rouge et un dé noir tous deux équilibrés. Calculer les probabilités que l'on obtienne :
a. Un 3 avec le dé rouge sachant que la somme des points est 6.
b. Un nombre pair avec le dé rouge sachant que la somme des points est 6.
c. Un nombre pair avec le dé rouge sachant que la somme des points est au plus 6.
d. Au moins un nombre pair sachant que la somme des points est au plus 10.
Exercice 61 : On jette 2 fois un même dé. SoientA, B et C les évènements suivants :
a)A={la sommes des points obtenus vaut 6}, B ={On obtient 4 au premier jet},C ={la sommes des points vaut 7}.
b)A={le 1 er jet est impair},B ={le 2 ème jet est impair},C ={la somme des points est impaire}.
Dans chacun des cas a) et b) dire si les évènementsA,B etC sont indépendants 2 à 2, puis s'ils sont indépendants ("dans leur ensemble").
Exercice 62 : Lors d'une étude sur les médecins américains, on posait à des enseignants et des étudiants en médecine à Harvard la question : Étant donné une maladie dont la prévalence est de 0,1% et pour laquelle il existe un test de dépistage donnant 5% de faux positifs (c'est à dire la proportion de positif parmi les sains), quel est le risque qu'une personne dont le test est positif soit eectivement malade Il n'y a que 12% des personnes interrogées qui ont répondu correctement à la question. Quelle est cette réponse ?
Reformuler la question sans utiliser de pourcentage, mais en prenant l'exemple d'une population d'une million de personnes.
Exercice 63 : On fait l'hypoyhèse que dans une famille les sexes des enfants sont indépendants les uns des autres et que chaque enfant a la probabilité 12 d'être un garçon et la probabilité 12 d'être une lle.
a. Une famille a deux enfants dont l'un au moins est un garçon . Quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient des garçons ?
b. Une famille a deux enfants. L'aîné est un garçon, quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient des garçons ?
c. Les nouveaux voisins ont deux enfants, je n'en ai vu qu'un, c'était un petit garçon ? quelle est la probabilité que les nouveaux voisins aient deux garçons ?
Exercice 64 : Une machine automatique comprend trois dispositifs D1, D2 et D3, D1 et D2 sont interchangeables et si l'un des deux et défectueux, l'autre prend le relais. Par contre D3 n'a pas de remplaçant en cas de panne. On note p1, p2 et p3 les probabilités de pannes de D1, D2 et D3, on suppose que les pannes sont indépendantes les unes des autres. Calculer la probabilité que la machine tombe en panne.
Exercice 65 : [dur]On note pn la probabilité que sur une suite den piles ou faces, il y ait à un moment 3 piles de suite ou trois face de suite, montrer en conditionnant sur les trois premiers résultats que l'on a la formule de récurrence suivante :
pn = 1 4 +1
2pn−1+ 1 4pn−2 Donner une valeur approchée de p10.
Variables aléatoires discrètes
Exercice 66 : Une urne contient 50 boules dont 10 blanches, on tire un lot de 3 boules, et on veut modéliser le nombre de blanches dans ce lot, à l'aide d'une variable aléatoire H, déterminer une loi raisonnable pour H. Déterminer son espérance. Comparer cette espérance avec celle que l'on aurait trouvée si on avait tiré les trois boules une à une avec remise dans l'urne après chaque tirage.
Exercice 67 : On jette deux dés , on note X le résultat du 1er et Y le résultat du 2ème. Z = max(X;Y). Déterminer la loi deZ, son espérance et sa variance.
Exercice 68 : On suppose que le nombre d'appels téléphoniques arrivant à un standard pendant un intervalle d'une heure suit une loi de Poisson de paramètre 20 (P(N =k) =e−20 20k!k).
a. Calculer le nombre moyen d'appels reçus en une heure.
b. Calculer la probabilité que le standard reçoive moins de 5 appels en une heure.
Exercice 69 : Soient b, r∈N∗ et c∈N . Une urne contient b boules blanches etr boules rouges.
On eectue des tirages successifs de la manière suivante : une boule étant tirée, on la remet dans l'urne avec en plus cboules de la même couleur. On noteXn la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la boule obtenue au nième tirage est rouge, la valeur 0 si elle est blanche. On posera
p= r
b+r q = b b+r
a. Déterminer la loi du couple (X1, X2). En déduire la loi de X2 la comparer à celle de X1. b. Trouver les lois conditionnelles de X1 sachant X2 et de X2 sachantX1.
c. Déterminer la loi de la variable S2 =X1+X2.
d. Déterminer la loi de X3 sachant que S2 =k pour k∈N.
e. Déduire du 4) que la loi de X3 est la même que celle de X1. f. Exprimer la loi de Xn+1 à l'aide de E(Sn).
g. Montrer que toutes les variables aléatoires Xn ont même loi de probabilité.
Exercice 70 : On dit qu'une variable aléatoire X a la propriété de non vieillissement si
∀k, l P(X ≥k+l|X ≥l) = P(X ≥k)
a. Si X représente l'instant ou un certain événement se passe, justier le nom de la propriété.
b. Montrer que la loi géométrique (P(X =k) =p(1−p)k−1) a la propriété de non vieillissement.
c. Montrer que la seule loi sur N ayant la propriété de non vieillissement est la loi géométrique, on pourra pour cela montrer que la suite Rk =P(X ≥k)est une suite géométrique.
Exercice 71 : Soient p∈]0; 1[; X une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre λ P(X =k) = e−λλk
k!
etY telle que
P(Y =k|X =n) = n
k
pk(1−p)n−k Déterminer la loi deY.
Exercice 72 : Un premier joueur lance un dé rouge, un deuxième joueur lance deux dés verts : Si le dé rouge a une valeur supérieur à la somme des verts le deuxième joueur verse 1 euro au premier, si cette valeur est égal à la somme des verts il lui verse 11 euros, dans les autres cas c'est le premier joueur qui verse 1 euro au deuxième.
a. Modéliser les gains algébriques du premier joueur.
b. Quelle est la probabilité que le joueur 1 gagne.
c. Quel est le "gain moyen" du premier joueur.
d. Vaut-il mieux être le joueur 1 ou le joueur 2.
Exercice 73 : Une urne contienta boules blanches et b noires, on tire sans remisen boules, et on modélise le nombre de boules blanches obtenues par une variable aléatoire X. Déterminer la loi de X, on dit que X suit une loi hypergéométrique de paramètre(n, a, b) oun≤a+b.
a. Montrer que l'esperance d'une loi hypergéométrique de paramètre (n, a, b)est an
a+b
b. On note Xi la variable aléatoire valant 1 si la ième boule blanche a été tirée, 0 sinon, déterminer la loi de Xi, retrouver le résultat de la question précédente.
Variables aléatoires à densité
Exercice 74 : Soit X une variable aléatoire de densité fX avec fX(t) =
t si t ∈]0, α]
0 sinon a. Représenter la densité de X.
b. Déterminer α.
c. Calculer et représenter la fonction de répartition de X. d. Déterminer θ tel que P(X > θ) = 12.
e. Calculer la fonction de répartition FY de la variable aléatoireY = 2∗X−1, en déduire sa densitéfY.
Exercice 75 : Soit X une variable aléatoire de densité fX : fX(t) = Kt2 si t∈[−α;α], 0sinon a. Représenter la densité de X.
b. Déterminer K en fonction de α.
c. Déterminer puis représenter la fonction de répartition de X : FX. d. Calculer P(X > α2) puis E(X).
Exercice 76 : Soit X une variable aléatoire de densité fX avec
fX(t) =
1 +t si t ∈[−1; 0]
K si t ∈]0,2]
0 sinon
a. Représenter la densité de X. b. Déterminer K.
c. Calculer et représenter la fonction de répartition de X. d. Calculer P(X > 12) puis E(X).
e. Calculer la fonction de répartition FY de la variable aléatoireY =X2, en déduire sa densité fY.
f. Représenter les deux fonctions fY et FY.
g. Calculer E(Y)d'une part à l'aide de fY d'autre part à l'aide de fX.
Exercice 77 : La densité de probabilité fX d'une variable aléatoire X est donnée par fX(t) = c
1 +t2 a. Représenter fX.
b. Déterminer c.
c. Montrer que pour tout α∈R, P(X ≥α) =P(X ≤ −α). d. Calculer P(X >√
3).
e. Montrer que X ne possède pas d'espérance.
f. Déterminerh tel que P(X < h) = 0,1.
Exercice 78 : On considère deux variables aléatoires exponentielles indépendantes X1 etX2 de paramètres a1 eta2, fX1(t) =a1e−a1t sit >0, 0 sinon
. On poseY = min(X1;X2). On note FX1, FX2 et FY leur fonction de répartition.
a. Calculer P(Y ≥t) en fonction deFX1 etFX2. b. Déterminer FY
c. Calculer la densité, et l'espérance de Y.
Exercice 79 : SoitXune V.A. uniforme sur [-1,2] etY =X2, déterminer la fonction de répartition deY, en déduire sa densité, calculer P(X ≤Y).
Exercice 80 : Soit X une V.A. Gaussienne de paramètres (3; 4)
a. Calculer P(X <4);P(X <1); P(X >2);P(|X|<4); P(|X|<4|X >2). b. Déterminer α le plus grand possible tel que P(X−2> α)>10−2.
c. Quelle est la loi de X−13 .
Exercice 81 : L'éclairage d'une commune est assurée par 2000 lampes dont la durée de vie moyenne est 10000 heures. Cette durée de vie suit une distribution normale d'écart typeσ = 2000.
a. Quel est le nombre de lampes hors d'usage au bout de 5000 H ? de 7500 H ? de 15000 H ? b. Au bout de combien d'heure 5% sont hors d'usage ?
c. D'autres ampoules ont une durée de vie qui suit une loi N(10500; 30002). Quelles ampoules faut-il choisir si l'on veut :
(1) que la durée de vie moyenne soit maximale.
(2) que la durée durant laquelle 95% des ampoules fonctionnent soit maximale.
Exercice 82 : Les notes d'un contrôle de probabilité suivent une loi normale de paramètre (8,5; 22).
a. Quelle est la proportion d'étudiants ayant la moyenne.
b. On veut améliorer les notes à l'aide d'un transformation ane Y =aX+b. Déterminer a, b pour que 50% des étudiants aient la moyenne et 75% ait une note supérieur à 8.
c. Comment peut-on faire pour garder la même moyenne et avoir 80% des étudiants entre 5 et 15.
Exercice 83 : Si Z suit une loi normale on dit que X =eZ suit une loi log-normale, de mêmes paramètres queZ.
a. Déterminer E(X) et var(X)en fonction de E(Z) et varZ. b. calculer P(2< X < 4)sachant que E(X) = 2 et varX = 2.
c. On suppose que la distribution des revenus R d'une population suit une loi log-normale généralisée c'est à direR =a+X (X suivant une loi log normale), calculer les paramètres de R: (a;m;σ)sachant que la moitié gagne moins de 1100 euros , 10% gagne plus de 2000 euros et 10% gagne moins de 200 euros.
Exercice 84 : SoitX une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre 1. Déterminer la loi de la partie entière de X, puis déterminer son espérance.
Couples de variables aléatoires
Exercice 85 : Une urne contientN jetons numérotés de 1 à N. On tire dans cette urne p jetons au hasard, successivement et sans remise. On appelle Xi la V.A. qui au cours d'une succession de tirages modélise le numéro du jeton extrait au tirage de rang i.
a. Déterminer la loi de probabilité de Xi.
b. Les variables aléatoires Xi etXj sont-elles indépendantes ? c. On pose S=X1+X2+...+Xp.
(1) Calculer E(Xi) puis E(S). (2) Calculer var(Xi).
(3) Calculer P(Xi =k, Xj =k0), puis cov(Xi, Xj). (4) Pour n= 2, calculer var(S).
Exercice 86 : Soit (X;Y) un couple de variables aléatoires de loi
f(x;y) = 1 2πσ1σ2e−
(x−µ1)2 2σ2
1
+(y−µ2)
2 2σ2
2
a. Déterminer les lois marginales de X etY.
b. Montrer que X et Y sont indépendantes ? c. Déterminer la loi de X+Y.
Exercice 87 : 1. Soit (X;Y) un couple de variables aléatoires de densité f(x;y) = 8xy si x∈[0; 1] ety∈[0;x],0sinon.
a. Déterminer la fonction de répartition de X : FX, en déduire une densité de X. b. Calculer E(X).
c. Même question pour Y. d. Calculer P(X < 12).
e. Calculer P(X < 12|Y > 12).X et Y sont-elles indépendantes ? f. Calculer P(X+Y >1).
Exercice 88 : Soient X1, ..., Xn des v.a. indépendantes suivant la loi de Poisson de paramètres respectifs λi (λi >0, i= 1, ...n).
a. Calculer la fonction génératrice de Sn =X1+...+Xn. b. Quelle est la loi de Sn.
c. On suppose que λ1 =λ2 =λ, déterminer la loi de X1+X2, puis de X1+X1.
Exercice 89 : Soit (X, Y) un couple de v.a. suivant la loi uniforme sur le disque de centre O et de rayon 1.
a. Quelle est la densité du couple (X, Y)? b. Quelles sont les lois de X et de Y ?
c. Montrer que X et Y ne sont pas indépendantes ? d. Déterminer la loi de X+Y.
Exercice 90 : Soit (X, Y) un couple de variable aléatoire de densité : f(x, y) =α(x+y) si0< x, y <1 sinon0 a. Déterminer α.
b. Déterminer la loi de X et celle de Y.
c. Montrer que les variables aléatoires X etY ne sont pas indépendantes.
d. Déterminer la loi de X+Y.
Convergence des suites de variables aléatoires
Exercice 91 : 1. On jette 10 pièces, non truquées, soit X le nombre de pile, déterminer la loi de X.Tracer la fonction de répartition deXpuis comparer là à la fonction de répartition de l'approximation centrale.
Exercice 92 : Dans une société, les employés d'un bâtiment A ont souvent besoin d'appeler au téléphone un bâtiment B. Le bâtiment A contient 200 employés et l'on constate que chacun d'entre eux veut téléphoner en moyenne 3mn par heure au bâtiment B. Quel nombre de lignes, minimal k faut-il établir entre les 2 bâtiments pour qu'un employé de A, désirant téléphoner en B, ait une probabilité inférieur à 1% que toutes les lignes soient occupées.
Exercice 93 : On possède une réserve de 50 ampoules, on suppose que la durée de vie d'une ampoule électrique est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètreλ= 10−3h−1 . Si l'on
remplace une ampoule dès qu'elle " claque ". Quelle est la probabilité qu'au bout de 45 000 heures on se retrouve dans le noir ?
Exercice 94 : Soit (Xn) une suite de variables aléatoires exponentielles de paramètre n, montrer que cette suite converge en probabilité vers la variable aléatoire nulle.
Exercice 95 : Soit (Un)une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi uniforme sur[0; 1]. On note Mn =max(U1, . . . , Un)et Xn =n(1−Mn).
a. Déterminer la fonction de répartition de Mn. b. Étudier la convergence en loi de la suite (Mn).
c. Comment faut-il choisir n0 pour que P(Mn0 ≥0,99)≥95%? d. Déterminer la fonction de répartition de Xn.
e. Étudier la convergence en loi de la suite (Xn).
Exercice 96 : Démontrer la formule de Bienaymé Tchebychev pour une variable aléatoire à densité de moyennem et de varianceσ2 :
∀ >0, P(|X−m|> )≤ σ2 2
On pourra partir de la dénition de la variance et l'écrire à l'aide d'une intégrale puis découper cette intégrale en trois, suivant que x > m+ oux−m < m− ou sinon.
Exercice 97 :
Soit (Xn)une suite de variable aléatoire telle que ∀n∈N∗ : P(Xn =−n) = 2n12
P(Xn =n) = 2n12
P(Xn = 0) = 1− n12
a. Calculer l'espérance de Xn, on la notem. b. Calculer la variance de Xn.
c. Étudier la convergence en probabilité de (Xn).
d. Étudier la convergence de la suite de réels E(|Xn−m|) .
Exercice 98 : On considère une suite (Xn) de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre p et on pose :
Yn=Xn−1Xn
Zn = n1 Pn k=1Yk
a. Déterminer la loi de Yk déterminer son espérance et sa variance.
b. Calculer l'espérance de Zn.
c. Montrer que Yk et Yk+1 ne sont pas indépendantes ?
d. Montrer que Yk et Yk+m sont indépendantes lorsque m≥1. e. Calculer la variance de Zn en fonction de n etp.
f. Étudier la convergence en loi de la suite (Zn).
Exercice 99 : Soit(Xn)une suite de variables aléatoires à valeurs dansNde fonctions génératrices GXn, telle que ∀x ∈]−1; 1[ (GXn(x)) converge vers GX(x), GX étant la fonction génératrice d'une variable aléatoire X. Montrer qu'alors ∀k∈N, limn→∞P(Xn =k) = P(X =k).
Exercice 100 : Suite de l'exercice 57 :
On modélise la bonne transmission du ième bit à transmettre (et non le ième bit du message codé) à l'aide d'une variable aléatoire Xi valant 1 si ce ième bit après décodage est erroné et 0 si il correspond bien au bit avant encodage. On suppose que p= 1/1000.
a. Montrer que la loi de Xi suit une loi de Bernoulli de paramètre proche de 3.10−6.
b. On veut transmettre 10Mb d'information, quel est le nombre moyen de bits erroné après décodage.
c. Quelle est la probabilité qu'il y ait plus de 100 bits faux.
Exercice 101 : Suite de l'exercice 58 :
On décompose notre message den bits en n/4 blocs de 4 bits. On modélise la bonne transmission du ième blocs à transmettre (et non le ième bit du message codé) à l'aide d'une variable aléatoireYi valant 1 si ce ième bloc après décodage est erroné et 0 si il correspond bien au bloc avant
transmission. On suppose quep= 1/1000.
a. Montrer que la loi de Yi suit une loi de Bernoulli de paramètre proche de 2.10−5.
b. On veut transmettre 10Mb d'information, quel est le nombre moyen de bits erroné après décodage.
c. Quelle est la probabilité qu'il y ait plus de 100 bits faux.
Chaînes de Markov
Exercice 102 : Soit (Xn)n une chaîne de Markov à valeurs dans[−1; 0; 1; 2], de matrice de transition Π :
Π = 1 2
1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1
On suppose de plus queP(X0 =−1) =P(X0 = 0) =P(X0 = 1) = 16. a. Représenter le graphe de transition de la chaîne de Markov.
b. Quelle est la loi de X3.
c. Montrer qu'il existe une unique mesure invariante et la déterminer.
d. Déterminer :
n→∞lim P(Xn=k) e. Calculer : E(X0), E(X1) etlimn E(Xn).
Exercice 103 : Une urne contientN boules blanches. En une étape on tire une boule et on la remplace par une autre boule (blanche avec la probabilité p et noire avec la probabilité q= 1−p).
On veut modéliser le nombre de boules blanches aprèsn étapes, à l'aide de variables aléatoires Xn. a. Pourquoi est-il raisonnable de choisir une chaîne de Markov pour modéliser ce problème.
b. Représenter le graphe de transition.
c. Comment choisir la matrice de transition de (Xn).
d. Montrer qu'il existe une unique mesure invariante µ, montrer que µk = Nk
pk(1−p)N−k. e. Calculer la limite de P(Xn=k)quand n → ∞.
f. En déduire que(Xn) converge en loi vers une loi binomiale.
Exercice 104 : Soit 0≤p≤ 12 et considérons une chaîne de Markov (X0, X1, ...Xn) telle que chacune des variables aléatoires Xi prend ses valeurs dans {1,2,3} et telle que sa matrice de transition soit donnée par
Π =
1
2 −p 12 p
1 2
1
2 0
p 0 1−p
a. Représenter le graphe de transition de la chaîne de Markov.
b. Trouver une loi stationnaire pour la matrice Π. Pour quelles valeurs de p, cette loi est-elle unique ?
c. On suppose que P(X0 = 1) = 0, et P(X0 = 2) =P(X0 = 3) = 12. (1) Calculer l'espérance E(X1) et la variance var(X1).
(2) Selon les valeurs de p, déterminerlimn→∞E(Xn).
Exercice 105 : Soit Xn une suite des variables aléatoires indépendantes, de même loi telle que : P Xn = 1
=P Xn =−1
= 1 2. PosonsSn=Pn
k=1Xk.
a. Montrer que (Sn)est une chaîne de Markov.
b. Déterminer la loi de (Sn).
c. Déterminer la matrice de transition M, c'est une matrice inni.
Exercice 106 : Soit a un réel appartenant à ]0,1 2[.
Dans une bourse de valeurs, un titre donné peut monter, rester stable ou baisser.
Dans un modèle mathématique, on considère que : le premier jour le titre est stable.
si un jour n le titre monte, le journ+ 1,il montera avec la probabilité 1−2a, restera stable avec la probabilité a et baissera avec la probabilitéa.
si un jour n le titre est stable, le jour n+ 1 il montera avec la probabilité a, restera stable avec la probabilité 1−2a et baissera avec la probabilitéa.
si un jour n le titre baisse, le jour n+ 1 il montera avec la probabilité a, restera stable avec la probabilité a et baissera avec la probabilité 1−2a.
On note Mn (resp. Sn, resp. Bn) l'événement le titre donné monte (resp. reste stable, resp. baisse) le jour n . On pose pn =P(Mn), qn=P(Sn)et rn=P(Bn).
a. Quelle hypothèse supplémentaire faut-il faire pour modéliser ce problème à l'aide d'une chaîne de Markov. Sous cette hypothèse on tracera le graphe de transition. On note A la matrice de transition.
b. Expliciter pn+1, qn+1 etrn+1 en fonction depn,qn, rn etA. c. Diagonaliser A, en déduire pn, qn puis rn en fonction de n.
d. Donner la limite de ces trois suites et interpréter le résultat.
Exercice 107 : Soit (Xn)une chaine de Markov à valeur dans [1,2,3], de matrice de transition A= 12
0 1 1 2 0 0 2 0 0
.
a. Représenter le graphe de transition de (Xn).
b. Déterminer l'unique mesure invariante de (Xn). Les hypothèse de Perron Frobenbius sont-elles remplies ?
c. Soit α=P(X1 = 1), β =P(X1 = 2), γ =P(X1 = 3), montrer que P(X2n = 1) =β+γ et P(X2n+1 = 1) =α, en déduire que si γ 6= 12 alors (Xn) ne converge pas en loi.
Exercices corrigés
Exercice 108 : Dans le plan soient une droiteD:ax+by+c= 0 et un point M0(x0;y0). Montrer que la distance entre M0 et la droiteD est égale à
d(M0;D) = |ax0+by0+c|
√a2+b2
On pourra pour cela étudier la fonction dénie parf(y): le carré de la distance de M(−by−c;y)à A.
Exercice 109 : On constitue une le d'attente en attribuant au hasard des numéros d'ordre à n personnes. On note Dla variable aléatoire représentant le nombre de personnes se trouvant entre deux amis dans la queue.
a. Déterminer P(D=k).
b. Pour quelle valeur de k, P(D=k)est-il maximum ?
c. Déterminer l'espérance de D. On pourra utiliser les formules classiques suivantes :
n
X
k=1
k = 1
2n(n+ 1)
n
X
k=1
k2 = 1
6n(n+ 1) (2n+ 1)
Exercice 110 : On jette un dé, et on s'intéresse au nombre de jets nécessaire pour qu'un 6 apparaisse, on modélise ce nombre à l'aide d'une variable aléatoire N.
a. Quelle loi peut-on choisir pour N? b. Déterminer la fonction génératrice de N.
c. Calculer E(N).
Exercice 111 : Quelle est la dénition de l'espérance d'une variable aléatoire discrète ? Soit X une variable aléatoire telle que pour p∈[0; 1], P(X =−1) =p, et P(X = 1) = 1−p. Calculer E(X)et var(X).
Exercice 112 : Soit un jeu de dominos (chaque domino porte 2 nombres, élément de {0; 1;. . .; 6}, éventuellement identiques, on parle alors de double)
a. Combien existe-t-il de dominos diérents ? Cela forme un jeu de Dominos.
b. Quelle est la 'probabilité' que dans une poignée de 5 dominos pris au hasard dans un jeu, il n'y ait aucun double ?
c. En tirant deux dominos au hasard, quelle est la 'probabilité' qu'ils soient compatibles c'est à dire qu'ils aient un nombre commun ?
Exercice 113 : Soient n un entier strictement positif, X etY deux variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur{0;. . .;n} :
∀k ∈ {0;. . .;n}, P(X =k) =P(Y =k) = 1 n+ 1 En utilisant les probabilités conditionnelles, calculer P(X =Y).
Corrigés
Corrigé de l'exercice 108 : Deux preuves sont possibles en utilisant le projeté orthogonal ou en déterminant le minimum de la distance. On suppose quea6= 0 et quitte à diviser paraon peut considérer que l'équation de la droite estx+by+c= 0,D={(−by−c;y)/y∈R} posons alorsf(y) le carré de la distance deM(−by−c;y) à A.
f(y) = (−by−c−x0)2+ (y−y0)2 = (1 +b2)y2+ 2(bc+bx0−y0)y+ ((c+x0)2y20) Cette fonction polynôme de degré deux possède un minimum en
α=−2(bc+bx0−y0) 2(1 +b2) La valeur de ce minimum est donc
f(α) = (bc+bx0−y0)2
(1 +b2) −2(bc+bx0−y0)2
(1 +b2) + ((c+x0)2y02)
on peut faire les calculs mais on peut aussi remarquer astucieusement quef0(α) = 0 et donc que 2b(bα+c+x0) + 2(α−y0) = 0
on a donc
f(α) = 1
b2(α−y0)2+ (α−y0)2= 1 +b2
b2 (α−y0)2 on a donc bien la distance deD àA qui vaut :
d(A;D) =p
f(α) =
√ 1 +b2
b
−2(bc+bx0−y0)−2y0−2b2y0
2(1 +b2)
= |x0+by0+c|
p(1 +b2) Le cas oub= 0 se fait directement en remarquant queα=y0 :
f(α) = (c+x0)2 d'ou le résultat, le casa= 0 se traite de la même façon.
Corrigé de l'exercice 109 : a) Il y a plusieurs modélisations possibles, par exemple, on prend pourΩ l'ensemble des parties à deux éléments de{1; 2;· · ·;n−1;n}, correspondant aux deux numéros des deux amis, on raisonne donc sans ordre et sans remise, on pourrait aussi raisonner avec ordre et sans remise. Sur cet ensembleΩde cardinal n2
on pose l'équiprobabilité.D est donc une fonction deΩdansR, en regardant un petit peu sur des exemples on peut prendre
D({ω1, ω2}) =|ω1−ω2| −1 =max(ω1, ω2)−min(ω1, ω2)−1, par exemple si les deux amis ont les numéros 6 et 9, il y a entre eux 9-6-1=2 personnes.
(D= 0) =
{1,2},{2,3}, . . . ,{n−1, n}
DoncP(D= 0) = n−1
(n2) = n2. De même
(D= 1) =
{1,3},{2,4}, . . . ,{n−2, n}
DoncP(D= 1) = n−2
(n2) et ainsi de suite P(D=k) = n−k−1
(n2) = 2n(n−1)n−k−1 b) 2n−k−1n(n−1) est décroissant en k, donc le maximum est atteint en k= 0.
Remarque : Pourn= 100P(D= 0) = 0,02 etP(D= 98)'0,0002, donc la loi deDn'est pas du tout uniforme.
c)E(D) = Pn−2
k=02kn(n−1)n−k−1 =Pn−2
k=0kn2 −2n(n−1)k2 . Il sut alors d'appliquer les formules qui sont rappelées, pour obtenirE(D) = n−23 , qui correspond à la distance moyenne entre les deux amis.
Corrigé de l'exercice 110 : a) (N = 1)correspond au fait que le premier lancé est un
6.P(N = 1) = 16.(N = 2) correspond à : "Le premier lancé est tout sauf un 6, le deuxième est un 6, on peut donc poserP(N = 2) = 56 ×16. De mêmeP(N =k) = 56k−1
×16.
