Calculatrice et document sont interdits. Seule une table de loi normale est autorisée.
Barème indicatif : 6+6+10
Exercice 1 : Diagonalisation
Soit la matrice dénie par A=
0 2 2 2 −1 0 2 0 1
a. Diagonaliser A, c'est à dire déterminer une matrice P inversible et une matrice diagonale D telles que
A=P DP−1.
b. Montrer l'existence puis déterminer Q orthogonale telle que A=QDtQ.
Exercice 2 : Projection orthogonale
Soit E l'espace vectoriel des fonctions continues sur [0; 1], on pose ∀f, g ∈ E, < f, g >=
Z 1 0
f(x)g(x)dx, on admet que < ·,· > dénit un produit scalaire sur E. Soient les fonctions f0, f1 et g dénies parf0(x) = 1, f1(x) =x etg(x) = √
x. a. Calculer < f1, g >.
b. Déterminer la norme de f1.
c. Montrer rapidement que (f0, f1) est une base du sous espace vectoriel A des fonctions anes.
d. Déterminer le projeté orthogonal h de g surA. e. Déterminer une base orthonormale de A.
Exercice 3 : Étude de certaines fréquences dans les génomes
Les brins d'ADN sont une longue succession de nucléotides pouvant porter l'une des 4 bases : adénine a, cytosine c, guanine g, et thymine t. L'ADN peut être considéré comme un texte écrit sur un alphabet de 4 lettres, chaque mot ayant une longueur de 3 lettres que l'on appelle codon. On peut comparer diérents modèles pour modéliser la structure de l'ADN, on étudie un texte de 3N lettres (c'est à dire une suite de N codons). Les trois parties peuvent être traitées dans l'ordre que l'on veut. Les valeurs numériques sont fantaisistes.
Modèle 1 : On suppose que le choix de chaque nucléotide est indépendant des autres, l'adénine a une probabilité d'apparition pa, la cytosine pc, la guanine pg, et la thymine pt.
(1) Si N = 1, quelle est la probabilité d'obtenir le codon : aaa ?
(2) Si N = 2, quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois la séquence : aaaaa ? (3) Pour k ∈ {1,2, . . . , N} quelle est la probabilité que le k-ième codon soit aaa ?
(4) Pour N quelconque, quelle est la probabilité qu'il y ait au moins un des codons qui soit aaa ?
(5) Combien y a-t-il de codons diérents ?
(6) Si N = 2, et pa=pc=pg =pt= 14 quelle est la probabilité d'obtenir deux fois de suite le même codon ?
Modèle 2 : On garde le même modèle mais N = 10000 et pa = q3
1
10. On note Xi une variable aléatoire valant 1 si lei-ème codon est aaa et 0 sinon.
(1) Quelle est la loi de X1? de Xi?
(2) Justier rapidement pourquoi les Xi sont indépendants.
(3) Énoncer le théorème de la limite centrée.
(4) En déduire une valeur approchée de la probabilité d'avoir plus de 1050 fois le codon aaa.
Modèle 3 : On modélise lej-ème nucléotide à l'aide de variables aléatoiresYj à valeur dans {a,c,g,t}. Le premier nucléotide est a ce qui se modèlise parP(Y1 =a) = 1. On fait l'hypothèse que (Yj) est une chaîne de Markov de matrice de transition M :
M =
0,5 0,5 0 0 0,1 0 0,1 0,8
0 0,5 0 0,5 0,1 0 0,9 0
(1) Représenter le graphe de transition de la chaîne de Markov.
(2) Quelle est la loi de Y2? (3) Calculer P(Y3 =a).
(4) Si N = 1, quelle est la probabilité d'obtenir le codon : aaa ? (5) Si N = 1, quelle est la probabilité d'obtenir le codon : act ?
(6) Pour k ∈ {2, . . . , N} quelle est la probabilité que le k-ième codon soit aaa ? On donnera le résultat en fonction de puissance de M.
MS4-I Mai 2008 Durée 3 heures
Examen de Mathématiques
Calculatrice et document sont interdits, seule une table de loi normale est autorisée. Les exercices peuvent être traités dans l'ordre que l'on veut et ne sont pas rangés par diculté croissante. Barème indicatif :6+4+6+6
Exercice 1 : Espace euclidien
Soit E l'espace vectoriel des polynômes à coecients réels, on pose
∀P, Q∈E, < P, Q >=
Z 1
−1
P(x)Q(x)dx On admet que<·,·>dénit un produit scalaire sur E.
a. Soient les fonctions dénies parP0(X) = 1,P1(X) =X, montrer queP0etP1sont orthogonaux, calculer leur norme.
b. Déterminer un polynôme P de degré 2 orthogonal à P0 et à P1 et tel queP(1) = 1.
c. Parmi toutes les fonctions anes (de la formeh(X) = αX+β), quelle est celle qui est "la plus proche" de la fonction dénie par g(X) = X4, au sens de la norme associée à<·,·>.
d. Montrer que ∀P, Q∈E, < XP, Q >=< P, XQ >.
e. Soit (Pn)n une suite de polynômes qui sont orthogonaux deux à deux pour le produit scalaire
<·,·> et tels quePn soit de degrén pour toutn. On rappelle que(P0, P1, . . . , Pn) forme une base du sous espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
(1) Quel est le degré de XPn?
(2) Montrer que < XPn, Xk >= 0 pour tout k≤n−2.
(3) Montrer qu'il existe des réels an, bn et cn tel que XPn=anPn+1+bnPn+cnPn−1.
Exercice 2 : Variables aléatoires discrètes
On jette un dé, et on s'intéresse au nombre de jets nécessaire pour qu'un 6 apparaisse, on modélise ce nombre à l'aide d'une variable aléatoireN.
a. Quelle loi peut-on choisir pour N?
b. Déterminer la fonction génératrice de N. On pourra utiliser l'expression de la somme d'une série géométrique.
c. Calculer E(N).
Exercice 3 : Variables aléatoires à densité
Soient α un réel positif et X une variable aléatoire à densité dont une densité est donnée par f(x) =
K(α2−x2) si x∈[−α;α]
0 sinon
a. Représenter f.
b. Déterminer K en fonction de α.
c. Calculer l'espérance et la variance de X.
d. Déterminer la densité de |X|.
e. Dans cette question on suppose que α= 1. Soit(Xn)une suite de variables aléatoires indépen-dantes de même loi queX, déterminer une valeur approchée de
β =P
125
X
k=1
Xn≥10
!
Exercice 4 : Chaînes de Markov
Une urne contient 3 boules qui peuvent être noires ou blanches, on en tire 2 au hasard. Si elles ont la même couleur, on remet l'une des deux et une blanche dans l'urne, si elles n'ont pas la même couleur on remplace la troisième boule (celle qui est restée dans l'urne) par une boule noire.
a. Justier rapidement que l'on peut modéliser le nombre de boules blanches par une chaîne de Markov (Xn).
b. Représenter le graphe de transition et la matrice de transition de cette chaîne de Markov.
c. Déterminer deux mesures invariantes diérentes pour cette chaîne de Markov.
d. Peut-on appliquer le théorème de Perron Frobenius à cette chaîne de Markov ? On justiera la réponse.
e. On suppose dans cette question qu'au départ il n'y a que des boules noires, montrer que la suite de variables aléatoires converge en loi vers une loi que l'on déterminera. Calculer lim
n→∞E(Xn).