Problème I. Approximation de π et accélération de convergence.

MPSI B 2011-2012 DS 7 29 juin 2019

Problème I. Approximation de π et accélération de convergence.

On dénit ¹ des suites (c _n ) _n∈

N

et (λ _n ) _n∈

N

par les relations c ₁ = 0, c _n+1 =

r 1 + c _n

2 λ ₁ = 2, λ _n+1 = λ _n

c n+1

1. a. Montrer que, pour tout entier n non nul, il existe θ _n ∈ [0, ^π ₂ ] et α _n ∈ R ⁺ tels que c n = cos(θ n ), λ n = α n sin θ n

b. Exprimer θ n en fonction de n . Vérier que (α n ) _n∈N

est géométrique. En déduire que (λ _n ) _n∈N

converge vers π .

2. En utilisant une formule de Taylor, (préciser laquelle) montrer l'inégalité

|π − λ n | ≤ π ³ 6 × 4 ⁿ

3. Soit p ∈ N ^∗ xé. Montrer que (λ n ) _n∈N

admet le développement λ _n = π − π ³

3!

1 4 ⁿ + π ⁵

5!

1

4 ²ⁿ + · · · + (−1) ^p π ^2p+1 (2p + 1)!

1

4 ^pn + o( 1 4 ^pn ) 4. Accélération de convergence.

On dénit une nouvelle suite λ ⁽¹⁾ n

n∈ N

par λ ⁽¹⁾ _n = 1

3 (−λ n + 4λ n+1 )

a. Donner un équivalent de λ ⁽¹⁾ n − π . En déduire que λ ⁽¹⁾ n − π est négligeable devant λ n − π lorsque n tend vers l'inni.

b. Déterminer un réel α tel que la suite λ ⁽²⁾ n

n∈ N

dénie par

λ ⁽²⁾ _n = αλ ⁽¹⁾ _n + (1 − α)λ ⁽¹⁾ _n+1 vérie, lorsque n tend vers l'inni,

λ ⁽²⁾ _n − π ∈ o(λ ⁽¹⁾ _n − π)

1

d'après E.S.M de Saint Cyr 1995

Problème II. Polynômes de Bernoulli et formule somma- toire

Partie I. Polynômes de Bernoulli

1. Préciser les polynômes P 0 , P 1 , P 2 , · · · , P n , · · · tels que P 0 = 1 et :

∀n ∈ N ^∗ , P _n ⁰ = nP _n−1 et P n (0) = 0

2. Montrer qu'il existe une unique suite de polynômes B _n (polynômes de Bernoulli) vé- riant B ₀ = 1 et :

∀n ∈ N ^∗ , B ⁰ _n = nB n−1 et Z 1 0

B f n (t) dt = 0

Vérier que B 1 = X − ¹ ₂ . Calculer B 2 , B 3 et factoriser B 3 . Préciser le degré de B n et son coecient dominant. On note β _n = B _n (0) la valeur en 0 .

3. a. Montrer que B f n (0) = B f n (1) pour n ≥ 2 .

b. Montrer que (−1) ⁿ B c _n (1 − X) = B _n pour tout naturel n . c. Préciser B f n (0) , B f n ( ¹ ₂ ) , B f n (1) pour n ≥ 3 impair.

4. Montrer par récurrence que B n (avec n ≥ 3 impair) n'admet pas de racine dans ]0, ¹ ₂ [ . En déduire que, pour m pair, B m − β m garde un signe constant sur [0, 1] .

5. Fonctions de Bernoulli. Pour tout nombre réel x , on désigne par bxc sa partie entière et on note {x} = x − bxc . On dénit les fonctions de Bernoulli b n par :

∀n ∈ N , ∀x ∈ R , b _n (x) = B f _n ({x}) a. Montrer que b n ∈ C ^∞ ( R \ Z ) et préciser b ⁰ _n (x) pour x / ∈ Z.

b. Montrer que la restriction de b 1 à un segment quelconque de R est intégrable sur ce segment.

c. Montrer que b 2 est continue sur R. Montrer que b n ∈ C ⁿ⁻² ( R ) pour n > 2 .

Partie II. Formule sommatoire d'Euler - Mac Laurin.

On considère deux entiers a et b avec a < b et f ∈ C ^∞ ([a, b] . On note

∀m ∈ N ^∗ , M m = sup

[a,b]

f ^(m)

et R m = Z b

a

f ^(m) (t) b m (t) dt

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1. Pour une fonction f ∈ C ⁿ⁺¹ ([a, b]) , rappeler la formule de Taylor avec reste intégral et le principe de sa démonstration.

2. Montrer que

R ₁ = 1 2

b−1

X

k=a

(f (k) + f (k + 1)) − Z b

a

f (t) dt En déduire

b

X

k=a

f (k) = Z b

a

f (t) dt + 1

2 (f (a) + f (b)) + R 1

3. Montrer les relations suivantes

∀m ≥ 3, R m = β m

f ^(m−1) (b) − f ^(m−1) (a)

− mR _m−1 R 2 = β 2 (f ⁰ (b) − f ⁰ (a)) − 2R 1

En déduire la formule sommatoire d'Euler - Mac Laurin

∀n ∈ N ,

b

X

k=a

f (k) = Z b

a

f (t) dt + 1

2 (f (a) + f (b)) +

n

X

m=1

(−1) ^m+1 β m+1

(m + 1)!

f ^(m) (b) − f ^(m) (a)

+ (−1) ⁿ (n + 1)! R _n+1

4. Majoration du reste. Montrer que, pour tout entier n ≥ 2 , Z b

a

(β n+1 − b n+1 (t)) f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (t) dt = (n + 1)R n

En déduire, pour n impair,

|R n | ≤ b − a

n + 1 M n+1 |β n+1 | 5. Le tableau suivant fournit les premières valeurs des β n .

k 1 2 4 6 8

β k − 1 2

1 6 − 1

30 1 40 − 1

30 Exprimer P n

k=0 k ⁴ polynomialement en fonction de n .

Exercice.

Soit n un entier non nul. On se propose de décomposer en éléments simples dans C [X ] puis dans R [X ] la fraction rationnelle

F = 1

(X ⁿ − 1) ² .

1. Préciser les pôles de F . La partie polaire de F relative au pôle u est notée α(u)

(X − u) ² + β(u) X − u

Comment s'écrit la décomposition en éléments simples de F dans C (X ) ?

2. Soit k un entier entre 1 et n . Former des développements limités à l'ordre 1 en 1 des fonctions suivantes

x ^k , 1 + x + x ² + · · · + x ⁿ⁻¹ , 1 + x + x ² + · · · + x ^{n−1 −2} .

3. Pour un pôle u autre que 1 , exprimer α(u) en fonction de u et α(1) , exprimer β(u) en fonction de u et β (1) .

4. a. Montrer que, au voisinage de 1 , 1

(1 + x + x ² + · · · + x ⁿ⁻¹ ) ² = α(1) + β(1)(x − 1) + o(x − 1).

En déduire la partie polaire de F relative au pôle 1.

b. Former la décomposition en éléments simples de F dans C (X ) . 5. On note w = e

.

a. Soit k ∈ {1, 2, · · · , n − 1} , préciser k ⁰ ∈ {1, 2, · · · , n − 1} tel que w ^k = w ^k

b. En distinguant n pair et n impair, factoriser X ⁿ − 1 en polynômes irréductibles de R [X] .

c. En distinguant n pair et n impair, décomposer F en éléments simples de R (X) .

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