s6 : séries entières

s6 : séries entières

I Exercices ccp

NB : les exercices CCP portant sur les séries entières d’une variable com- plexe se traitent sans modification avec une variable réelle.

Rappel :Les exercices CCP 8 points sont corrigés à l’adresse

http ://www.concours-commun-inp.fr/fr/epreuves/les-epreuves-orales.html Analyse 18 On pose :∀n∈N^∗,∀x∈R,u_n(x) = (−1)ⁿxⁿ

n .

On considère la série de fonctionsX

n>1

u_n.

1. Étudier la convergence simple de cette série.

On noteD l’ensemble desxoù cette série converge etS(x)la somme de cette série pourx∈D.

2. (a) Étudier la convergence normale, puis la convergence uniforme de cette série surD.

(b) La fonctionS est-elle continue surD? Analyse 19

1. Prouver que, pour tout entier natureln, fn : t 7−→ tⁿlnt est intégrable sur ]0,1]et calculer In =

Z 1

0

tⁿlnt dt.

2. Prouver quef : t7−→e^t lntest intégrable sur]0,1]et que Z 1

0

e^t lnt dt=

+∞

X

n=1

1 n n!

Indication :utiliser le développement en série entière de la fonction exponen- tielle.

Analyse 20

1. Donner la définition du rayon de convergence d’une série entière de la variable complexe.

2. Calculer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes : (a) X(n!)²

(2n)!z²ⁿ⁺¹. (b) X

n⁽⁻¹⁾ⁿzⁿ (c) X

cosn zⁿ

Analyse 21

1. Donner la définition du rayon de convergence d’une série entière de la variable complexe.

2. Soit(an)_n∈Nune suite bornée telle que la sérieX

an diverge.

Quel est le rayon de convergence de la série entièreX

anzⁿ? Justifier.

3. Quel est le rayon de convergence de la série entière X

n>1

√n(−1)ⁿ

ln

1 + 1

√n

zⁿ?

Analyse 22

1. Que peut-on dire du rayon de convergence de la somme de deux séries entières ? Le démontrer.

2. Développer en série entière au voisinage de0, en précisant le rayon, la fonction f : x7−→ln (1 +x) + ln (1−2x).

La série obtenue converge-t-elle pourx= 1

4?x= 1

2?x=−1 2?

Analyse 23

Soit(an)_n∈Nune suite complexe telle que la suite

|an+1|

|an|

n∈N

admet une limite.

1. Démontrer que les séries entières X

a_nxⁿ et X

(n+ 1)a_n+1xⁿ ont le même rayon de convergence.

On le noteR.

2. Démontrer que la fonctionx7−→

+∞

X

n=0

a_nxⁿ est de classeC¹ sur l’intervalle ]−R, R[.

Analyse 24

1. Déterminer le rayon de convergence de la série entièreX xⁿ (2n)! .

On poseS(x) =

+∞

X

n=0

xⁿ (2n)! .

2. Donner le développement en série entière en 0 de la fonction x 7→ ch(x) et précisez le rayon de convergence.

3. (a) DéterminerS(x).

(b) On considère la fonctionf définie surRpar : f(0) = 1, f(x) =ch√

xpourx >0, f(x) = cos√

−xpourx <0 . Démontrer quef est de classeC^∞ surR.

II Autres exercices

— Détermination d’un rayon de convergence : La règle de d’Alembert est commode, mais ne peut pas s’appliquer très souvent aux problèmes rencontrés (parcequ’il y a une infinité de coefficients nuls, parceque le quotient un+1/un

n’a pas de limite, etc. . .). On revient donc souvent à la caractérisation du rayon de convergence, ce qui permet les considérations suivantes :

Si(unzⁿ)est bornée, alors|z| ≤R.

Si(unzⁿ)est non bornée, alors|z| ≥R.

Si(unzⁿ)converge vers 0, alors|z| ≤R.

Si(unzⁿ)ne converge pas vers 0, alors|z| ≥R.

SiX

u_nzⁿ converge, alors|z| ≤R.

SiX

unzⁿ diverge, alors|z| ≥R.

On pensera aussi au critère performant suivant : SiX

unzⁿ est convergente, mais non absolument convergente, alors|z|=R.

On retiendra qu’une détermination de rayon de convergence passe plus par des considérations de suites bornées que par des considérations de séries conver- gentes.

— Problèmes de convergence : Il y a convergence normale (donc uniforme) sur tout compact inclus dans le disque ouvert de convergence, mais il n’y a en général pas convergence uniforme sur le disque, même ouvert (les rapports de concours mentionnent souvent cette erreur. . .). Pour toute utilisation de la convergence uniforme, on a donc besoin d’une distance de sécurité nous séparant du cercle d’incertitude.

Lorsque l’on se rapproche du cercle, ou lorsque l’on se trouve sur le cercle, un seul résultat (très simple) est au programme : si X

|u_n|Rⁿ converge, alors il y a convergence normale (donc uniforme) sur le disque fermé. En-dehors de ce cas, il faut faire une étude directe, et connaître les résultats sur les séries de fonctions.

Toute une famille de théorèmes (dits « taubériens » étudient des comportements de séries entières dans des domaines qui touchent le cercle, mais ils nécessitent souvent de la technique, par exemple la transformation d’Abel.

Dans certains cas, la majoration du reste dans le théorème des séries alternées permet néanmoins d’obtenir sans grande difficulté des convergences uniformes sur des rayons du disque fermé.

— Propriétés de la somme Elle est continue sur le disque ouvert de conver- gence, et de classe C^∞ sur l’intervalle ouvert (variable réelle). On peut, dans

cet intervalle ouvert de convergence, dériver et intégrer terme à terme.

La somme peut se prolonger en certains points du cercle, mais dans ce cas on est ramené à des problèmes du type évoqué ci-dessus.

— Calcul de la somme d’une série entière à l’aide des fonctions usuellesIl se fait en général en utilisant les opérations sur les séries entières : combinaison linéaire, produit de Cauchy, primitivation et dérivation. Il faut bien entendu connaître les développements en série entière usuels.

— Calcul d’une somme de série en utilisant une série entièreLe calcul de la somme de la sérieX

u_n(dont on aura préalablement montré la convergence) peut s’envisager de la manière suivante : on définit la série entièreP

unzⁿ, dont le rayon de convergence est au moins égal à 1. Si on arrive à calculer sa somme au moyen des fonctions usuelles (cf ci-dessus) sur le disque ouvert de rayon 1, si on arrive à montrer la continuité de la somme en 1, on peut achever le calcul.

— Développabilité en série entièreIl s’agit avant tout d’éviter les idées fausses : il n’est pas suffisant que la fonction soit de classeC^∞ pour qu’elle soit DSE. Il n’est pas suffisant non plus que sa série de Taylor ait un rayon de convergence non nul. Et même la conjonction de ces deux propriétés (classe C^∞ et série de Taylor convergente) ne suffit pas pour que la fonction soit développable en série entière. En revanche, si la fonction est DSE, son développement en série entière ne peut être que sa série de Taylor. On utilisera donc principalement deux critères :

∗Les opérations sur les séries entières (combinaison linéaire, produit de Cauchy, dérivation, primitivation) en partant des DSE usuels connus.

∗ La majoration du reste dans la formule de Taylor avec reste intégrale, pour essayer de conclure à la convergence (simple suffit) de la série de Taylor vers la fonction. Autrement dit, on cherche à majorer le reste pour montrer qu’il converge simplement vers 0 sur un intervalle]−R, R[. Rappelons que l’inégalité de Taylor-Lagrange est une majoration (la plus grossière) du reste intégrale, elle suffit parfois pour conclure mais ce n’est pas toujours le cas.

Exercice 1 (Oral Mines). Déterminer les rayons de convergence des séries entières X(sinn)zⁿ etX

3⁻ⁿ(1 + 2/n)ⁿx⁴ⁿ.

Exercice 2(Oral Mines). Déterminer le rayon de convergence deP

anxⁿ,anétant len-ième chiffre du développement décimal de√

3.

Exercice 3(Oral Centrale). Soit, pourn≥2, a_n= ln√

n+ (−1)ⁿ

√n+ 1

. Déterminer le rayon de convergence de la série entière de terme généralanxⁿ.

Exercice 4. On suppose que(an)est une suite de nombres complexes non nuls, telle que

lim

a2n+2

a2n

=l1 et lim

a2n+1

a_2n−1 =l2

oùl1 etl2sont deux éléments de [0,+∞].

Que peut-on dire du rayon de convergence de la série entièrePanzⁿ?

Exercice 5(Oral X). SoitP

anzⁿune série entière de rayon de convergenceR. Quel est le rayon de convergence de la sériePa²_nzⁿ?

Exercice 6(Oral X). Soit(u_n)_n≥0 une suite de nombres complexes. On définit Sn =

n

X

k=0

uk. Comparer les rayons de convergence des séries entières Xu_n n!xⁿ et XSn

n!xⁿ.

Exercice 7 (Un lemme utile). Montrer que la série entièreX

n≥0

anzⁿ a un rayon de convergence non nul si et seulement s’il existeα > 0 et M > 0 tels que, au moins à partir d’un certain rang :

∀n∈N |an| ≤M αⁿ

Ce lemme est utile lorsqu’une suite(an)est donnée par une relation de récurrence. On trouveα > 0 tel que l’inégalité |an| ≤ M αⁿ soit récurrente. On ajuste M pour que cette inégalité soit vraie pour les petites valeurs den.

Si une suite(a_n)vérifie

∀n≥2 a_n= a_n−1

n + 2a_n−2

montrer queX

n≥0

anzⁿ a un rayon de convergence non nul.

Exercice 8. Déterminer le rayon de convergenceRde la série entière X

n≥1

ln(1 + 1 n)

xⁿ

en la variable réellex.

La série converge-t-elle pour les valeursR et−Rde la variable ? Démontrer que la convergence est uniforme sur le segment[−R,0].

Etudier la limite enR (à gauche) de(R−x)S(x)oùS désigne la fonction somme de la série entière.

Exercice 9. Développer en série entière la fonction t7−→

Z t

0

sin(u²)du

Exercice 10 (Oral ccp). Montrer, pour toutt∈[−1,1[,

+∞

X

n=0

tⁿ

n =−ln(1−t)

Exercice 11.

1. Soit(an)_n≥0une suite de réels positifs, décroissante, ayant pour limite 0.

Démontrer que la série entièreX

n≥0

(−1)ⁿa_nxⁿ a un rayon de convergence supé- rieur ou égal à 1, puis que sa somme est continue sur le segment[0,1].

2. En partant des développements en série entière de ln(1 +x) et arctanx, en déduire les égalités suivantes :

1−1 2 +1

3 −1

4+· · ·= ln 2 1−1

3 +1 5 −1

7+· · ·=π 4

C’est la manière la plus commode, avec le programme, d’aboutir à la somme de la série harmonique alternée. Il est donc intéressant de savoir faire cette démonstration.

Exercice 12 (Transformation d’Abel et théorème d’Abel, voir ccp 05). Soit Panzⁿ une série entière de rayon de convergence R (on suppose que R est un réel strictement positif). Soitz0un nombre complexe de moduleR, tel que la série

+∞

X

n=0

anz₀ⁿ converge. On veut démontrer qu’alors la série P

anzⁿ converge uniformément sur le segment[0, z0].

1. On se place dans le cas où z₀ = R = 1. Justifier l’existence, pour tout entier natureln, deρ_n=

+∞

X

k=n+1

a_k.

Soit x un élément du segment [0,1]. Pour tout entier naturel n et tout en- tier naturel non nul p, démontrer que

n+p

X

k=n+1

akx^k = ρnxⁿ⁺¹ −ρn+px^n+p+

n+p−1

X

k=n+1

ρ_kx^k(x−1)(remarquer quea_k=ρ_k−1−ρ_k).

En déduire que

+∞

X

k=n+1

a_kx^k=ρ_nxⁿ⁺¹+

+∞

X

k=n+1

ρ_kx^k(x−1) En déduire la convergence uniforme deP

anxⁿ sur le segment[0,1].

2. Démontrer que le cas général peut se ramener au cas précédent.

3. Soit θ un élément de R\2πZ. On rappelle (cela se démontre à l’aide d’une transformation d’Abel) que la série

+∞

X

n=1

cosnθ

n converge. On considère la série entière

+∞

X

n=1

cosnθ

n zⁿ. Son rayon de convergence est donc au moins égal à 1. On noteφsa somme. Démontrer que, pour tout réelt∈[0,1[,

φ(t) =−1

2ln 1−2tcosθ+t²

(on pourra d’abord calculerφ⁰(t)). En déduire, en utilisant le résultat dua., que

+∞

X

n=1

cosnθ

n =−ln 2

sinθ 2

4

4. Calculer, de manière analogue,

+∞

X

n=1

sinnθ n .

Exercice 13 (Oral TPE). Calculer Z 1

0

lnx 1−xdx.

Exercice 14. Ecrire comme somme d’une série simple l’intégrale Z 1

0

lntln(1−t)

t dt

après avoir prouvé son existence.

Exercice 15 (Oral Centrale).

1. Trouver le rayon de convergence de la série entière

+∞

X

n=0

(−1)ⁿxⁿ

(n!)² . On notef(x) sa somme.

2. Existence et calcul de Z +∞

0

e^−xtf(t)dt, six >0.

Exercice 16. Soit X

a_nxⁿ de rayon de convergence R > 0. On note, si |x| < R, f(x) =

+∞

X

n=0

anxⁿ.

Quel est le rayon de convergence de la série entièreXa_n

n!xⁿ? On noteF sa somme ; démontrer que, si|x|< R,

f(x) = Z +∞

0

F(xz)e^−zdz

Exercice 17 (Oral Centrale).

SoitX

anxⁿ de rayon de convergenceR >0. On note, si|x|< R, f(x) =

+∞

X

n=0

anxⁿ. Quel est le rayon de convergence de la série entièreXan

n!xⁿ? On noteg(x)sa somme.

Démontrer que, six >1/R, 1 xf1

x

= Z +∞

0

g(t)e^−xtdt

Exercice 18. SoitPa_nzⁿ une série entière de rayon de convergence R. On définit, pour tout entier natureln,

bn=

n

X

k=0

ak .

Démontrer que le rayon de convergence de la série entièreP

bnzⁿ est au moins égal à min(1, R), et calculer sa somme à l’aide de la somme de la sériePa_nzⁿ.

Exercice 19. Pour chacune des séries entières suivantes, préciser le rayon de conver- gence et calculer la somme au moyen des fonctions usuelles.

X

n≥0

n³xⁿ X

n≥0

n⁽⁻¹⁾ⁿxⁿ X

n≥0

(sinn)xⁿ X

n≥0

n³+ 2

n! xⁿ X

n≥1

xⁿ n(n+ 2)

X

n≥0

xⁿ (2n)!

X

n≥0

(3 + 2(−1)ⁿⁿ xⁿ

Exercice 20 (Oral Mines). Démontrer queφdéfinie par φ(x) =

+∞

X

n=2

(−1)ⁿ n(n−1)xⁿ

est continue sur [−1,1], et exprimer φ au moyen des fonctions usuelles (on utilisera deux méthodes : dérivation, et décomposition en éléments simples).

Exercice 21 (Oral Centrale). Calculer

+∞

X

n=0

xⁿ

2n+ 1 sur son domaine de définition.

Exercice 22 (Oral Mines). Déterminer

+∞

X

n=0

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)² .

Exercice 23 (Oral Mines). Calculer

+∞

X

n=0

x²ⁿ⁺²

n

X

k=1

k²

sur son domaine de définition.

Exercice 24 (Oral Centrale). On définit une suite (a_n)par a₀ =a₁ = 1 et, pour n∈N_∗,an+1=an+a_n−1

n+ 1. Trouver le rayon de convergence deP

anxⁿ et calculer sa somme à l’aide d’une équation différentielle.

Exercice 25 (oral X, dénombrement et série génératrice). Soitb_n le nombre de partitions d’un ensemble ànéléments. Calculerb0, b1, b2etb3. Trouver une relation de récurrence entre lesbn; exprimer

+∞

X

n=0

bn

xⁿ

n! à l’aide des fonctions élémentaires.

Exercice 26 (Oral TPE, dénombrement et série génératrice). Pour n∈N^∗, soitdn le nombre de permutations sans point fixe de{1, . . . , n}. On convientd0= 1.

1. Montrer que le rayon de convergence deXd_nxⁿ

n! est ≥1.

2. Pourn∈N, prouver :n! =

n

X

k=0

n k

dn−k.

3. Sixest dans]−1,1[, calculere^x

+∞

X

n=0

dnxⁿ

n! et en déduire :dn =n!

n

X

k=0

(−1)^k k! .

4. Déterminer la limite de dn

n!. Interprétation ?

Exercice 27. Développer en série entière, si c’est possible, les fonctions suivantes.

Préciser le rayon de convergence.

x7−→(1 +x) ln(1 +x) x7−→ ln(1 +x) x(1 +x)

x7−→ln(1 +x+x²) (une petite astuce permet d’obtenir des calculs simples) x7−→(arcsinx)² en utilisant une équation différentielle liant la dérivée et la dérivée seconde.

x7−→sin²x sans, quasiment, faire de calculs.

Exercice 28. Soitf une application de classe C^∞ sur un intervalle[a, b[(a < b), à valeurs dansR, positive sur cet intervalle ainsi que toutes ses dérivées.

1. Démontrer que la fonctiontanvérifie ces hypothèses sur [0, π/2[.

2. Soitc un élément quelconque de[a, b[,xun élément de[a, c]. On écrit f(x) =

n

X

k=0

(x−a)^k

k! f^(k)(a) +Rn(x)

Rappeler l’expression deR_n(x)sous forme d’intégrale. En ramenant par change- ment de variable cette intégrale à une intégrale sur le segment[0,1], démontrer que

0≤Rn(x)≤x−a z−a

n+1

Rn(z)≤x−a z−a

n

f(z) pour tout élémentzde]c, b[.

3. Démontrer que, pour tout élémentxde[a, b[, f(x) =

+∞

X

n=0

(x−a)ⁿ n! f⁽ⁿ⁾(a)

et que la convergence est uniforme sur tout compact de[a, b[.

Exercice 29 (Oral Centrale). On pose F(x) =

Z 1

0

t^x 1 +tdt 1. Donner le domaine de définition deF.

2. Montrer queF est développable en série entière au voisinage de 0, préciser sur quel intervalle.

III Autres exercices

Exercice 30 (Oral Ulm-Lyon-Cachan). Démontrer quex7→ x

e^x−1 est dévelop- pable en série entière, ses coefficients étant rationnels.

Exercice 31 (Lyon). SoitP

anzⁿ une série entière de rayon de convergenceR >0, q dans C_∗ tel que |q < |R et (b_n)_n≥0 ∈ (C_∗)^N telle que b_n ∼qb_n+1. Déterminer la limite de la suite de terme généralun= 1

bn n

X

k=0

akb_n−k.

Exercice 32 (Formules de Newton, aplication à la méthode de Fadeev-Le- verrier de calcul du polynôme caractéristique d’un matrice carrée). Soit λ1, . . . , λn les racines (complexes, pas nécessairement distinctes) du polynôme caracté- ristiqueχA de la matrice carrée d’ordren(réelle ou complexe)A. On note

χA(t) =tⁿ−p1tⁿ⁻¹− · · · −pn

et, pour tout entier naturelksupérieur ou égal à 1 : s_k=λ^k₁+· · ·+λ^k_n .

1. On veut démontrer que les p_i et les s_k sont liés entre eux par les formules suivantes, dites de Newton :

si1≤k≤n : kpk =sk−p1s_k−1− · · · −p_k−1s1 ;

sik≥n+ 1 : sk =p1s_k−1+· · ·+pns_k−n .

On pourra, pour cela, démontrer que la dérivée logarithmique f⁰

f de la fonction définie par

f(u) =

n

Y

i=1

(1−ux_i)

est une fraction rationnelle enu, obtenir sa décomposition en éléments simples et en déduire son développement en série entière au voisinage de 0.

2. Démontrer que, pour toutk≥1:

s_k =trA^k

3. On construit deux suites de matrices et une suite de nombres par l’algorithme suivant :

A1=A q1=trA1 B1=A1−q1In

A2=AB1 2q2=trA2 B2=A2−q2In

... ... ...

An=AB_n−1 nqn=trAn Bn=An−qnIn

Montrer que lesqk sont lespk en utilisant les formules de Newton. Montrer que B_n est nulle en utilisant le théorème de Cayley-Hamilton.

4. On définit enfin le polynôme matriciel

Q(t) =tⁿ⁻¹In+tⁿ⁻²B1+· · ·+B_n−1

et on suppose connue une valeur propreλdeA. Démontrer que chaque colonne non nulle de la matriceQ(λ)fournit un vecteur propre de la matriceA.

Exercice 33(Oral Centrale). Déterminer le rayon de convergence de la série entière X

n≥1

1 + 1 n

ⁿxⁿ n!

puis déterminer un équivalent de sa somme quandxtend vers+∞.

Exercice 34 (Oral Paris, Lyon, Cachan). Soit I un intervalle non vide etf une fonction complexe définie sur I. On suppose f analytique, i.e. pour tout a ∈ I il existe >0 et une suite complexe (bn)telle que, pour toutx∈I∩]a−, a+[ on a f(x) =

+∞

X

n=0

bn(x−a)ⁿ.

1. On suppose qu’il existea∈Itel que la suite

|f⁽ⁿ⁾(a)|^1/n

est bornée. Montrer quef admet un prolongement analytique unique àRtout entier. On noteg ce prolongement.

2. On suppose en outre que la série de terme généralf⁽ⁿ⁾(a) converge. Montrer que pour tout réelxla série de terme généralg⁽ⁿ⁾(x)converge.

Exercice 35. On se propose d’établir la formule suivante, dûe à Ramanujan, et dont la première démonstration était basée sur les fonctions elliptiques :

1 π= 3

16+9 4

+∞

X

k=1

^2k−2

k−1

k

² 4k²−1 2^4k(k+ 1)² .

On admettra les formules de Wallis, démontrées dans un exercice d’intégration : Z ^π₂

0

sin^2kx dx = π 2

2k k

2^2k et

2n n

2²ⁿ ∼

n→+∞

√1 nπ .

En effectuant un calcul direct de l’intégrale d’une part, en utilisant le développement en série entière de √

1 +u d’autre part, démontrer l’égalité suivante, pour tout xde l’intervalle[0,1[:

Z x

0

tp

1−t²dt= 1

3 1−(1−x²)³²

=x² 2 −

+∞

X

j=2

2j−4 j−2

(j−1)2^2j−3 x^2j

2j .

Puis justifier que cette égalité est encore vraie pour x= 1. On remplace alors xpar sinu dans l’égalité, et on intègre entre 0 et ^π₂. Montrer que l’on obtient la formule annoncée.

Des formules dûes à Ramanujan, la suivante est sans doute l’une des plus belles :

π= 9801

√8 ^+∞

X

n=0

(4n)!(1103 + 26390n) (n!)⁴(396)⁴ⁿ

−1